Trang chủ Show
Sách ID Khóa học miễn phí Luyện thi ĐGNL và ĐH 2023 Cách tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng trong không gianChia sẻ cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng trong hình học không gian trong hệ tọa độ Oxyz, kiến thức Toán 11.Phương pháp tính khoảng cách từ: Điểm ${M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ tới mặt phẳng $(\alpha ):ax + by + cz + d = 0.$  Công thức: $d\left( {{M_0};(\alpha )} \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c{z_0} + d} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}.$ Hệ quả: * ${M_0} \in (\alpha )$ $ \Leftrightarrow d\left( {{M_0};(\alpha )} \right) = 0.$ * $ d\left( {{{M}_{0}};(\alpha )} \right)$ với $\left\{\begin{array}{l}M_{0} H \perp(\alpha) \\ H \in(\alpha)\end{array}\right.$ * Với mọi $M \in (\alpha ):$ $d\left( {{M_0};(\alpha )} \right) \le {M_0}M.$ Bài tập tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳngCâu 1: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, tính khoảng cách $d$ từ $A(1;2;3)$ đến mặt phẳng $(Oxy).$ A. $d=1.$ B. $d=2.$ C. $d=3.$ D. $d = \sqrt 5 .$ Lời giải: Mặt phẳng $(Oxy)$ có phương trình: $z = 0.$ $ \Rightarrow d(A;(Oxy)) = \frac{{|3|}}{{\sqrt 1 }} = 3.$ Chọn đáp án C. Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, gọi $A’$ là điểm đối xứng của điểm $A(1;2;3)$ qua mặt phẳng $(Oxy).$ Tính độ dài đoạn thẳng $AA’.$ Lời giải: Mặt phẳng $(Oxy)$ có phương trình: $z = 0$ $ \Rightarrow d(A;(Oxy)) = \frac{{|3|}}{{\sqrt 1 }} = 3.$ Suy ra: $AA’ = 2d(A;(Oxy)) = 6.$ Chọn đáp án D. Kết quả lưu ý: Với $\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ ta có: $d(M;(Oxy)) = \left| {{z_0}} \right|.$ $d(M;(Oyz)) = \left| {{x_0}} \right|.$ $d(M;(Oxz)) = \left| {{y_0}} \right|.$ Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A(1;2;-3)$ trên mặt phẳng $(Oxy).$ Tính diện tích $S$ tam giác $OHA.$ A. $S = \frac{{\sqrt {13} }}{2}.$ B. $S = \sqrt {10} .$ C. $S = \frac{{3\sqrt 5 }}{2}.$ D. $S = \frac{{5\sqrt {15} }}{2}.$ Lời giải: Ta có: $OA = \sqrt {14} $, $AH = d(A;(Oxy)) = 3.$ Tam giác $OHA$ vuông tại $H$ suy ra: $OH = \sqrt {O{A^2} – A{H^2}} = \sqrt 5 .$ Vậy $S = \frac{1}{2}AH.OH = \frac{{3\sqrt 5 }}{2}.$ Chọn đáp án C. Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A(1;2;-3)$ trên mặt phẳng $(Oxz).$ Tính diện tích $S$ tam giác $OHA.$ A. $S = \frac{{\sqrt {13} }}{2}.$ B. $S = \sqrt {10} .$ C. $S = \frac{{3\sqrt 5 }}{2}.$ D. $S = \frac{{5\sqrt {15} }}{2}.$ Lời giải: Ta có: $OA = \sqrt {14} $, $AH = d(A;(Oyz)) = 2.$ Tam giác $OHA$ vuông tại $H$ suy ra: $OH = \sqrt {O{A^2} – A{H^2}} = \sqrt {10} .$ Vậy $S = \frac{1}{2}AH.OH = \sqrt {10} .$ Chọn đáp án B. Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, tính khoảng cách $d$ từ $A(1;3;-2)$ đến mặt phẳng $(P):x + 2y – 2z + 1 = 0.$ A. $d=4.$ B. $d=2.$ C. $d=3.$ D. $d = \sqrt 5 .$ Lời giải: Ta có: $d(A;(P)) = \frac{{|1 + 6 + 4 + 1|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{( – 2)}^2}} }} = 4.$ Chọn đáp án A. Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, tính bán kính $R$ của mặt cầu tâm $A(1;3;2)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(P):x + 2y + 2z + 1 = 0.$ Lời giải: Do mặt cầu tâm $A$ tiếp xúc với mặt phẳng $(P):$ $ \Leftrightarrow R = d(A;(P))$ $ = \frac{{|1 + 6 + 4 + 1|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{( – 2)}^2}} }} = 4.$ Chọn đáp án A. Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A(1;1;-2)$ và mặt phẳng $(P):2x+2y+z+1=0.$ Gọi $M$ là điểm bất kì thuộc $(P)$, tính độ dài nhỏ nhất của đoạn thẳng $AM.$ A. $2.$ B. $1.$ C. $\sqrt 2 .$ D. $\sqrt 3 .$ Lời giải: Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $(P).$ Ta có: $AM \ge AH$ $ \Rightarrow A{M_{\min }} = AH = d(A;(P)) = 1.$ Chọn đáp án B. Ví dụ 8: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $K(1;1;0)$ và mặt phẳng $(\alpha ):x + y + z – 1 = 0.$ Gọi $(C)$ là đường tròn giao tuyến của mặt cầu tâm $K$, bán kính $R=2$ với mặt phẳng $(\alpha )$, tính diện tích $S$ của $(C).$ A. $S = \frac{{22\pi }}{3}.$ B. $S = \frac{{44\pi }}{3}.$ C. $S = \frac{{\sqrt {33} \pi }}{3}.$ D. $S = \frac{{11\pi }}{3}.$ Lời giải: Ta có: $d(K;(\alpha )) = \frac{{\sqrt 3 }}{3}.$ Gọi $r$ là bán kính đường tròn $(C)$, ta có: $r = \sqrt {{R^2} – {{[d(K;(\alpha ))]}^2}} = \frac{{\sqrt {33} }}{3}.$ Vậy $S = \pi {r^2} = \frac{{11\pi }}{3}.$ Chọn đáp án D. Tin tức - Tags: công thức, hình học không gian, khoảng cách, mặt phẳng
Cơ sở lý thuyếtTrong không gian Oxyz có điểm P(a; b; c) không thuộc mặt phẳng (α), biết rằng mặt phẳng này có phương trình (α): Ax + By + Cz + D = 0. Để tính khoảng cách từ điểm P(a; b; c) tới mặt phẳng (α) ta sử dụng công thức: Xem thêm: Các dạng bài phương trình mặt cầu thường gặp trong đề thi d(P, (α)) = $\frac{{\left| {a.A + b.B + c.C + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}$ Bài tập có lời giảiBài tập 1.Trong không gian có mặt phẳng (α): x – 2y + 3z – 4 = 0. Hãy tìm khoảng cách từ P(1; 1; 1) tới mặt phẳng (α)? Hướng dẫn giải Áp dụng công thức tính khoảng cách ở trên: d(P, (α)) = $\frac{{\left| {1.1 + 1.\left( { – 2} \right) + 1.\left( 3 \right) – 4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { – 2} \right)}^2} + {3^2}} }} = \frac{{\sqrt {14} }}{7}$ Kết luận: d(P, (α)) = $\frac{{\sqrt {14} }}{7}$ Bài tập 2. Cho mặt phẳng (α): x + y + z – 9 = 0. Một điểm P nằm trên trục tọa độ Oz thuộc hệ trục Oxyz, cách (α) là 5. Hãy tìm tọa độ của M? Xem thêm: 2 cách tìm cực trị của hàm số siêu nhanh Hướng dẫn giải Vì P thuộc Oz nên nó có tọa độ là P( 0; 0; z). Theo công thức khoảng cách ở trên: d(P, (α)) = 5 $5 = \frac{{\left| {1.0 + 1.0 + 1.z – 9} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} \Leftrightarrow z = 5\sqrt 3 + 9$ Kế luận: P( 0; 0; $5\sqrt 3 + 9$) Bài tập 3. Hãy tính khoảng cách từ gốc tọa độ O của hệ trục Oxyz tới mặt phẳng (Q): 2x – 3y – 5z + 2 = 0 Hướng dẫn giải Gốc tọa độ của hệ trục Oxyz có tọa độ O(0; 0; 0) Áp dụng công thức tính khoảng cách ở trên: d(O, (Q)) = $\frac{{\left| {2.0 + \left( { – 3} \right).0 + \left( { – 5} \right).0 + 2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { – 3} \right)}^2} + {{\left( { – 5} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt {38} }}{{19}}$ Bài tập 4. Một mặt phẳng (α): – x + 2y + 3z – 4 = 0. Biết khoảng cách từ mp (α) tới P thuộc trục Ox là 2. Hãy xác định tọa độ điểm P. Xem thêm: Tìm đồng biến nghịch biến bằng máy tính casio FX - 580VN Hướng dẫn giải Vì P thuộc Ox nên nó có tọa độ P(x; 0; 0) Theo đề bài: d(P, (α)) = 2 Áp dụng công thức tính khoảng cách: 2 = $\frac{{\left| {\left( { – 1} \right).x + 2.0 + 3.0 – 4} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { – 1} \right)}^2} + {2^2} + {3^2}} }} \Leftrightarrow x = 2\sqrt {14} – 4$ Vậy P( $2\sqrt {14} – 4$; 0; 0) Bài viết khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng tạm dừng ở đây. Với mong muốn mỗi bài viết sẽ giúp bạn hiểu và vận dụng thành thạo công thức nên nếu còn thắc mắc hay góp ý hãy để lại và Toanhoc.org sẽ giúp bạn giải quyết. Véc tơ đơn vị trên trục \(Oy\) là: Điểm \(M\left( {x;y;z} \right)\) nếu và chỉ nếu: Hình chiếu của điểm \(M\left( {1; - 1;0} \right)\) lên trục ${\rm{O}}z$ là: Điểm \(M \in \left( {Oxy} \right)\) thì tọa độ của \(M\) là: Tọa độ điểm \(M\) là trung điểm đoạn thẳng \(AB\) là: Tọa độ trọng tâm tam giác \(ABC\) là: Tọa độ trọng tâm tứ diện \(ABCD\) là: |
