Hướng dẫn row 100 of pascals triangle - hàng 100 của tam giác pascal

Được tạo bởi Maciej Kowalski, ứng cử viên tiến sĩMaciej Kowalski, PhD candidate

Được xem xét bởi Bogna Szyk và Jack BowaterBogna Szyk and Jack Bowater

Cập nhật lần cuối: ngày 26 tháng 9 năm 2022

Chào mừng bạn đến với máy tính tam giác của chúng tôi, nơi bạn sẽ học cách sử dụng hình tam giác của Pascal và lý do tại sao bạn nên sử dụng nó ngay từ đầu. Đừng lo; Khái niệm này không yêu cầu các công thức khu vực hoặc tính toán đơn vị, như với một tam giác điển hình. Tam giác của Pascal là gì? Chà, đó là một cách gọn gàng để tính toán số lượng kết hợp và trực quan hóa mở rộng nhị thức. Nhưng trước khi chúng ta bắt đầu mô tả các mẫu hình tam giác của Pascal, hãy bắt đầu với những điều cơ bản.Pascal's triangle calculator, where you will learn how to use Pascal's triangle and why you should use it in the first place. Don't worry; this concept doesn't require area formulas or unit calculations, as with a typical triangle. What is Pascal's triangle, then? Well, it's a neat way to calculate the number of combinations and visualize binomial expansion. But before we begin describing Pascal's triangle patterns, let's start with the basics.

Tam giác của Pascal là gì?

Tam giác của Pascal là một bảng các số có hình tam giác đều, trong đó số ____ 0-th ở hàng ____ 1-W cho bạn biết có bao nhiêu kết hợp mà không lặp lại các yếu tố k có từ một tập hợp các yếu tố ____. Nó được đặt theo tên của nhà toán học người Pháp Blaise Pascal. in the shape of an equilateral triangle, where the k-th number in the n-th row tells you how many combinations without repetition of k elements there are from a set of n elements. It is named after French mathematician Blaise Pascal.

Nếu thuật ngữ "kết hợp" có vẻ hiếm đối với bạn, hãy kiểm tra máy tính kết hợp của chúng tôi.

(Lưu ý rằng chúng tôi tuân theo quy ước rằng hàng trên cùng, cái có 1, được coi là hàng không , toàn bộ hàng ____ ____ 1, tính tất cả các tập hợp con có thể của bộ ____ 1 phần tử. Có thể là các bộ phim cho một cuộc đua phim, các nước châu Âu đến thăm vào mùa hè này, hoặc các nguyên liệu từ tủ lạnh của bạn cho bữa tối ngày mai, tuyên bố kết hợp này luôn luôn đúng (chúng tôi chắc chắn rằng cái cuối cùng không chính xác là cách thức hoạt động của nấu ăn, nhưng một số Trong chúng ta phải bù đắp cho việc thiếu kỹ năng với sự sáng tạo).the top row, the one with the single 1, is considered to be row zero, while the first number in a row, also a 1, is considered the 0th number of that row.) As such, the n-th row, as a whole, counts all possible subsets of an n-element set. Be they films for a movie marathon, European countries to visit this summer, or ingredients from your fridge for tomorrow's dinner, this statement of combinations always remains true (we're pretty sure that the last one is not precisely how cooking works, but some of us have to make up for a lack of skills with creativity).

Mỗi số được hiển thị trong máy tính tam giác của chúng tôi được đưa ra bởi công thức mà giáo viên toán của bạn gọi là hệ số nhị thức (hệ số được gọi là nCr trong máy tính phân phối nhị thức). Tên không quá quan trọng, nhưng hãy xem tính toán trông như thế nào. Nếu chúng ta biểu thị số lượng kết hợp của các phần tử k từ một phần tử ____ 1 được đặt là C(n,k), thì:let's see what the computation looks like. If we denote the number of combinations of k elements from an n-element set as C(n,k), then:

n0.

Dấu chấm than ở trên là những gì các nhà toán học gọi là "giai thừa", được định nghĩa là sản phẩm của tất cả các số lên đến và bao gồm n, tức là,the product of all numbers up to and including n, i.e.,

n2.

Bạn có thể sử dụng máy tính giai thừa của chúng tôi để tránh tất cả các phép nhân phức tạp đó.

Làm thế nào để sử dụng hình tam giác của Pascal?

Nói rằng bạn đang chuẩn bị một cuộc đua marathon phim cho chính mình và đối tác của bạn. Bạn có một danh sách hai mươi bộ phim yêu thích của bạn và đối tác của bạn đã nói với bạn rằng bạn có thể chọn ba bộ ba họ có thể thích. Chà, đây là những bộ phim hay nhất tồn tại, vì vậy rõ ràng họ sẽ thích từng người trong số họ, và nó không thực sự quan trọng bạn chọn bộ phim nào. Ngoài ra, thứ tự bạn xem họ cũng không quan trọng. Vậy có bao nhiêu lựa chọn?you're preparing a movie marathon for yourself and your partner. You have a list of your favorite twenty movies, and your partner told you to pick three they might like. Well, these are the best films in existence, so clearly they will like each and every one of them, and it doesn't really matter which ones you choose. Also, the order in which you watch them doesn't matter either. So how many options are there?

Số bạn tìm kiếm là số thứ ba trong hàng thứ hai, 1140. MAGIC? Không hoàn toàn, chỉ là toán học (nhưng một lần nữa, chúng có khác không?). Thật vậy, theo công thức tam giác của Pascal, con số đó tương ứng với biểu thức n3, đó là số lượng bộ ba từ một tập hợp hai mươi yếu tố. Hoặc, trong trường hợp của chúng tôi, số cách chúng ta có thể chọn ba bộ phim từ một đống hai mươi.Magic? Not quite, just mathematics (but then again, are they that different?). Indeed, according to Pascal's triangle formula, that number corresponds to the expression n3, which is the number of triples from a set of twenty elements. Or, in our case, the number of ways we can choose three movies from a pile of twenty.

Các mẫu hình tam giác của Pascal

Blaise Pascal tập trung vào một số thuộc tính hình tam giác thú vị. Thật vậy, số lượng kết hợp, được mã hóa như các số riêng lẻ trong các hàng liên tiếp, đã được biết đến trong thời gian của anh ấy. Tuy nhiên, tam giác thường được đưa ra bằng cách sử dụng một quy tắc đơn giản hơn nhiều. Quan sát rằng ngoài các 1 ở đầu xa của tam giác, mỗi số khác là tổng của hai số ngay phía trên nó. focused on several interesting triangular properties. Indeed the number of combinations, which is encoded as the individual numbers in consecutive rows, was already known during his time. However, the triangle is often introduced using a much simpler rule. Observe that apart from the 1s on the far ends of the triangle, each of the other numbers is the sum of the two that are directly above it.

Đây chính xác là quan sát (hoặc thuộc tính nếu bạn thích) thường được sử dụng để xây dựng tam giác. Sử dụng công thức tam giác của Pascal, chúng ta có thể mô tả quan sát này:

n4.

Cụ thể, hãy nhìn vào số thứ hai từ bên trái trong mỗi hàng. Mỗi người có một ở phía trên bên trái của nó, và ở phía trên bên phải của nó là số hàng của hàng trước. Do đó, tổng của chúng là một cộng với số hàng trước (bản chất của máy tính chuỗi số học của chúng tôi) và kết quả là hàng chúng tôi đang ở.Each of those has one to its upper left, and to its upper right is the row number of the previous row. Therefore, their sum is one plus the previous row number (the essence of our arithmetic sequence calculator), and the result is the row we are in.

Một trong số rất nhiều mẫu hình tam giác của Pascal thú vị là sự đối xứng của nó. Quan sát rằng trong bất kỳ hàng nào, nếu chúng ta đọc các số liên tiếp từ bên trái, chúng ta sẽ có được giống như khi chúng ta đọc chúng từ bên phải. Đó là phép thuật hay toán học một lần nữa? Chà, chúng ta hãy cố gắng hiểu những gì đang xảy ra ở đây.Pascal's triangle patterns is its symmetry. Observe that in any row, if we read the consecutive numbers from the left, we will obtain the same as if we read them from the right. Is it magic or mathematics again? Well, let's try to understand what's happening here.

Theo định nghĩa, số trên vị trí ____ đồng 0 trong hàng ____ 1-WT mô tả có bao nhiêu cách chúng ta có thể chọn các phần tử ____00 từ một tập hợp các phần tử n. Nhưng điều gì sẽ xảy ra nếu, thay vào đó, chúng ta đã chỉ ra các yếu tố mà chúng ta không chọn? Nghe có vẻ hơi mơ hồ, vậy tại sao chúng ta không cho bạn thấy một ví dụ?what if, instead, we pointed out the elements that we don't choose? It may sound a bit vague, so why don't we show you an example?

Nhớ lại kịch bản từ phần thứ hai, nơi chúng tôi muốn chọn ba bộ phim để xem từ danh sách hai mươi. Nhưng điều gì sẽ xảy ra nếu khó có thể chọn ba người bạn muốn nhìn thấy nhất thì sao? Có lẽ việc loại bỏ từng người một mà bạn không muốn xem là dễ dàng hơn? Chắc chắn, nếu sau đó chúng ta vượt qua mười bảy trong số họ, chúng ta sẽ bị bỏ lại với sự lựa chọn ba. Đó chính xác là những gì chúng tôi mô tả ở trên - thay vào đó chúng tôi chọn mười bảy mà chúng tôi không muốn xem. Điều này, được viết bằng ký hiệu từ công thức tam giác của Pascal trong phần đầu tiên, là:the second section, where we wanted to pick three movies to watch from a list of twenty. But what if it's difficult to choose the three you want to see most? Maybe it's easier to eliminate one by one those that you don't feel like watching? Surely, if we then cross out seventeen of them, we'll be left with our choice of three. That is precisely what we described above - we instead choose seventeen that we don't want to watch. This, written using notation from Pascal's triangle formula in the first section, is:

n9,

trong đó, đối với chúng tôi, được dịch là số trong điểm chính xác từ bên trái cũng giống như số trên ________ 0 khi đếm từ bên phải cho bất kỳ hàng nào n.the number in the k -th spot counting from the left is the same as the one on the k-th when counting from the right for any row n.

Ví dụ: Mở rộng nhị thức

Về mặt toán học, câu trả lời cho "Tam giác của Pascal là gì?" chỉ là điều này: mở rộng nhị thức. Đừng lo; Chúng tôi không ở đây để âm thanh tự mãn bằng cách sử dụng một số từ và biểu tượng ưa thích khi một lời giải thích đơn giản sẽ làm. Vì lợi ích của mọi người, chúng tôi sẽ chỉ cho bạn thông qua một kịch bản thực tế về cách trả lời câu hỏi này, giải thích cách sử dụng máy tính tam giác của Pascal trên đường đi.binomial expansion. Don't worry; we're not here to sound smug by using some fancy words and symbols when a simple explanation will do. For everyone's benefit, we'll show you through a real-life scenario how to answer this question, explaining how to use Pascal's triangle calculator along the way.

Nói rằng con chó của bạn sẽ có chó con, và bạn biết rằng sẽ có sáu người trong số chúng, nhưng bạn không biết giới tính của chúng. Nếu chúng ta đánh số những con chó con theo thứ tự chúng đến thế giới này, chúng ta có thể bắt đầu suy nghĩ về xác suất chúng sẽ là gì. Chắc chắn sáu chàng trai không có khả năng như, ví dụ, hai chàng trai và bốn cô gái. Đó là bởi vì hai cậu bé có thể đến như hai chú chó con đầu tiên, hoặc hai người cuối cùng, hoặc hai người giữa, v.v., và do đó, có nhiều sự kết hợp hơn cho điều đó xảy ra., and you know that there will be six of them, but you don't know their sexes. If we number the puppies in the order they come into this world, we can start thinking about the probability of what sex they will be. Surely six boys are not as likely as, e.g., two boys and four girls. That is because the two boys may come as the first two pups, or the last two, or the middle two, etc., and so there are far more combinations for that to happen.

Được rồi, bây giờ là phần khó khăn. Chúng tôi sẽ cố gắng thuyết phục bạn rằng những con chó con có thể được mô tả bằng một biểu tượng (x + y). Để xem điều này, liên kết X với "Boy" và Y với "Cô gái". Bây giờ, hãy nhìn vào việc mở rộng:the pups can be described by a symbolic (x + y)⁶. To see this, associate x with "boy" and y with "girl." Now, look at the expansion:

(x + y) = (x + y) × (x + y) × ... × (x + y)..

Làm thế nào để mỗi bản tóm tắt xuất hiện sau khi chúng ta nhân ra biểu thức trên? Chà, nó xuất phát từ việc lấy một trong những bản tóm tắt trong mỗi dấu ngoặc đơn, tức là, bằng cách lấy khung X hoặc Y sau khung. Trong bản dịch của chúng tôi, điều đó có nghĩa là việc xác định giới tính của từng trong số sáu đứa trẻ một. Điều này có nghĩa là mỗi bản tóm tắt của biểu mẫu, giả sử, x² × y⁴, tương ứng với hai lần chọn X từ bên trong ngoặc và chọn y bốn lần, chuyển thành một lứa của hai chàng trai và bốn cô gái. Well, it comes from taking one of the summands in each of the parentheses, i.e., by taking either x or y bracket after the bracket. In our translation, that means determining the sex of each of the six pups one by one. This means that every summand of the form, say, x² × y⁴, which corresponds to twice picking x from inside the brackets and picking y four times, translates to a litter of two boys and four girls.

Bây giờ chúng ta hãy xem xét mở rộng sau khi nhân và tổ chức lại các đơn phân tương tự:the expansion after the multiplication and reorganizing the similar monomials:

..

So sánh nó với cấp độ thứ sáu của hình tam giác của Pascal, được trả lại bởi máy tính tam giác của Pascal:the sixth level of Pascal's triangle, returned by Pascal's triangle calculator:

k3.

Những con số này tương ứng với các hệ số trong việc mở rộng ở trên. Nói cách khác, mức thứ sáu (hoặc n-th nói chung) của tam giác tương ứng với các hệ số của (x + y) (tương ứng: với công suất n) trong mở rộng nhị thức của chúng. Và điều này, như chúng ta đã thấy với kịch bản chó của chúng ta, dịch thêm để trả lời một số vấn đề thực tế.the sixth (or n-th in general) level of the triangle corresponds to the coefficients of (x + y)⁶ (respectively: to the power n) in their binomial expansion. And this, as we saw with our dog scenario, translates further to answer some real-life problems.

Câu hỏi thường gặp

Làm cách nào để tính toán các hàng trong tam giác của Pascal?

Nếu bạn muốn tính toán một hàng tam giác của Pascal:

1. Bắt đầu bằng cách viết xuống đỉnh của Tam giác: Hàng Zeroth chứa một k4.
2. Sau đó, hàng đầu tiên chứa hai k4s.
3. Tất cả các hàng còn lại tuân theo cùng một nguyên tắc: viết ra một k4 ở đầu và cuối của nó. Mỗi một trong số các số còn thiếu là tổng của hai số nằm ngay trên nó (ở hàng trước).
4. Thực hiện theo các quy tắc này cho đến khi bạn nhận được hàng bạn cần.

Làm thế nào để tôi tìm thấy tổng của các hàng trong tam giác của Pascal?

Tổng số của ____ ____ Hàng 1 của hình tam giác của Pascal bằng k8. Thật vậy, chúng tôi dễ dàng xác minh rằng các khoản tiền tiếp theo là k9, v.v ... Điều này xuất phát từ thực tế là tập hợp các phần tử n có các tập hợp k8.

Hàng thứ 7 của Tam giác Pascal là gì?

Hàng thứ bảy của hình tam giác của Pascal là n2.n2.

Hàng thứ 10 của Tam giác Pascal là gì?

Hàng thứ mười của Tam giác Pascal là n3.n3.

Maciej Kowalski, ứng cử viên tiến sĩ, PhD candidate

Số học SequenceCollatz Conjecturefibonacci 4Collatz conjectureFibonacci… 4 more

Hai số đầu tiên trong hàng thứ 100 của Tam giác Pascal là gì?

Hàng tam giác của Pascal là gì?

Có bao nhiêu hàng trong hình tam giác Pascals?

Hàng 10 của Tam giác Pascal là gì?