Phương trình bậc 2 một ẩn là một trong những kiến thức quan trọng trong chương trình toán trung học cơ sở. Vì vậy, hôm nay Kiến Guru xin giới thiệu đến bạn đọc bài viết về chủ đề này. Bài viết sẽ tổng hợp các lý thuyết căn bản, đồng thời cũng đưa ra những dạng toán thường gặp và các ví dụ áp dụng một cách chi tiết, rõ ràng. Đây là chủ đề ưa chuộng, hay xuất hiện ở các đề thi tuyển sinh. Cùng Kiến Guru khám phá nhé:
Phương trình bậc 2 một ẩn - Lý thuyết.
Phương trình bậc 2 một ẩn là gì?
Cho phương trình sau: ax2+bx+c=0 (a≠0), được gọi là phương trình bậc 2 với ẩn là x.
Công thức nghiệm: Ta gọi Δ=b2-4ac.Khi đó:
- Δ>0: phương trình tồn tại 2 nghiệm:.
- Δ=0, phương trình có nghiệm kép x=-b/2a
- Δ<0, phương trình đã cho vô nghiệm.
Trong trường hợp b=2b’, để đơn giản ta có thể tính Δ’=b’2-ac, tương tự như trên:
- Δ’>0: phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
- Δ’=0: phương trình có nghiệm kép x=-b’/a
- Δ’<0: phương trình vô nghiệm.
Định lý Viet và ứng dụng trong phương trình bậc 2 một ẩn.
Cho phương trình bậc 2 một ẩn: ax2+bx+c=0 (a≠0). Giả sử phương trình có 2 nghiệm x1 và x2, lúc này hệ thức sau được thỏa mãn:
Dựa vào hệ thức vừa nêu, ta có thể sử dụng định lý Viet để tính các biểu thức đối xứng chứa x1 và x2
- x1+x2=-b/a
- x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=(b2-2ac)/a2
- …
Nhận xét: Đối với dạng này, ta cần biến đổi biểu thức làm sao cho xuất hiện (x1+x2) và x1x2 để áp dụng hệ thức Viet.
Định lý Viet đảo: Giả sử tồn tại hai số thực x1 và x2 thỏa mãn: x1+x2=S, x1x2=P thì x1 và x2 là 2 nghiệm của phương trình x2-Sx+P=0
Một số ứng dụng thường gặp của định lý Viet trong giải bài tập toán:
- Nhẩm nghiệm phương trình bậc 2: cho phương trình ax2+bx+c=0 (a≠0),
- Nếu a+b+c=0 thì phương trình có nghiệm x1=1 và x2=c/a
- Nếu a-b+c=0 thì phương trình có nghiệm x1=-1 và x2=-c/a
- Phân tích đa thức thành nhân tử: cho đa thức P(x)=ax2+bx+c nếu x1 và x2 là nghiệm của phương trình P(x)=0 thì đa thức P(x)=a(x-x1)(x-x2)
- Xác định dấu của các nghiệm: cho phương trình ax2+bx+c=0 (a≠0), giả sử x1 và x2 là 2 nghiệm của phương trình. Theo định lý Viet, ta có:
- Nếu S<0, x1 và x2 trái dấu.
- Nếu S>0, x1 và x2 cùng dấu:
- P>0, hai nghiệm cùng dương.
- P<0, hai nghiệm cùng âm.
II. Dạng bài tập về phương trình bậc 2 một ẩn:
Dạng 1: Bài tập phương trình bậc 2 một ẩn không xuất hiện tham số.
Để giải các phương trình bậc 2, cách phổ biến nhất là sử dụng công thức tính Δ hoặc Δ’, rồi áp dụng các điều kiện và công thức của nghiệm đã được nêu ở mục I.
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:
Hướng dẫn:
Ngoài ra, ta có thể áp dụng cách tính nhanh: để ý
suy ra phương trình có nghiệm là x1=1 và x2=2/1=2
Tuy nhiên, ngoài các phương trình bậc 2 đầy đủ, ta cũng xét những trường hợp đặc biệt sau:
Phương trình khuyết hạng tử.
Khuyết hạng tử bậc nhất: ax2+c=0 (1).
Phương pháp:
- Nếu -c/a=0, nghiệm x=0
- Nếu -c/a<0, phương trình vô nghiệm.
Khuyết hạng tử tự do: ax2+bx=0 (2). Phương pháp:
Ví dụ 2: Giải phương trình:
Hướng dẫn:
- x2-4=0 ⇔ x2=4 ⇔ x=2 hoặc x=-2
- x2-3x=0 ⇔ x(x-3)=0 ⇔ x=0 hoặc x=3
Phương trình đưa về dạng bậc 2.
Phương trình trùng phương: ax4+bx2+c=0 (a≠0):
- Đặt t=x2 (t≥0).
- Phương trình đã cho về dạng: at2+bt+c=0
- Giải như phương trình bậc 2 bình thường, chú ý điều kiện t≥0
Phương trình chứa ẩn ở mẫu:
- Tìm điều kiện xác định của phương trình (điều kiện để mẫu số khác 0).
- Quy đồng khử mẫu.
- Giải phương trình vừa nhận được, chú ý so sánh với điều kiện ban đầu.
Chú ý: phương pháp đặt t=x2 (t≥0) được gọi là phương pháp đặt ẩn phụ. Ngoài đặt ẩn phụ như trên, đối với một số bài toán, cần khéo léo lựa chọn sao cho ẩn phụ là tốt nhất nhằm đưa bài toán từ bậc cao về dạng bậc 2 quen thuộc. Ví dụ, có thể đặt t=x+1, t=x2+x, t=x2-1…
Ví dụ 3: Giải các phương trình sau:
Hướng dẫn:
- Đặt t=x2 (t≥0), lúc này phương trình trở thành:
4t2-3t-1=0, suy ra t=1 hoặc t=-¼
- t=1 ⇔ x2=1 ⇔ x=1 hoặc x=-1.
- t=-¼ , loại do điều kiện t≥0
Vậy phương trình có nghiệm x=1 hoặc x=-1.
Dạng 2: Phương trình bậc 2 một ẩn có tham số.
Biện luận số nghiệm của phương trình bậc 2.
Phương pháp: Sử dụng công thức tính Δ, dựa vào dấu của Δ để biện luận phương trình có 2 nghiệm phân biệt, có nghiệm kép hay là vô nghiệm.
Ví dụ 4: Giải và biện luận theo tham số m: mx2-5x-m-5=0 (*)
Hướng dẫn:
Xét m=0, khi đó (*) ⇔ -5x-5=0 ⇔ x=-1
Xét m≠0, khi đó (*) là phương trình bậc 2 theo ẩn x.
- Vì Δ≥0 nên phương trình luôn có nghiệm:
- Δ=0 ⇔ m=-5/2, phương trình có nghiệm duy nhất.
- Δ>0 ⇔ m≠-5/2, phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
Xác định điều kiện tham số để nghiệm thỏa yêu cầu đề bài.
Phương pháp: để nghiệm thỏa yêu cầu đề bài, trước tiên phương trình bậc 2 phải có nghiệm. Vì vậy, ta thực hiện theo các bước sau:
- Tính Δ, tìm điều kiện để Δ không âm.
- Dựa vào định lý Viet, ta có được các hệ thức giữa tích và tổng, từ đó biện luận theo yêu cầu đề.
Ví dụ 5: Cho phương trình x2+mx+m+3=0 (*). Tìm m để phương trình (*) có 2 nghiệm thỏa mãn:
Hướng dẫn:
Để phương trình (*) có nghiệm thì:
Khi đó, gọi x1 và x2 là 2 nghiệm, theo định lý Viet:
Mặt khác:
Theo đề:
Thử lại:
- Khi m=5, Δ=-7 <0 (loại)
- Khi m=-3, Δ=9 >0 (nhận)
vậy m = -3 thỏa yêu cầu đề bài.
Trên đây là tổng hợp của Kiến Guru về phương trình bậc 2 một ẩn. Hy vọng qua bài viết, các bạn sẽ hiểu rõ hơn về chủ đề này. Ngoài việc tự củng cố kiến thức cho bản thân, các bạn cũng sẽ rèn luyện thêm được tư duy giải quyết các bài toán về phương trình bậc 2. Các bạn cũng có thể tham khảo thêm các bài viết khác trên trang của Kiến Guru để khám phá thêm nhiều kiến thức mới. Chúc các bạn sức khỏe và học tập tốt!
Các phương pháp tìm điều kiện về nghiệm của phương trình là :” Phương pháp so sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với số 0” ;” Phương pháp so sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với 1 số bất kỳ ”; “so sánh nghiệm của phương trình quy về phương trình bậc 2 ”.
Các phương pháp tìm điều kiện về nghiệm của phương trình là :” Phương pháp so sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với số 0” ;” Phương pháp so sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với 1 số bất kỳ ”; “so sánh nghiệm của phương trình quy về phương trình bậc 2 ”.
ĐIỀU KIỆN VỀ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Giải phương trình, tìm điều kiện về nghiệm của phương trình bậc hai là một nội dung quan trọng trong chương trình THCS, nhất là bồi dưỡng toán 9
Các em cần phải nắm được các kiến thức về công thức nghiệm phương trình bậc 2, định lý Vi-ét, các kiến thức có liên quan, các em cần có sự say mê, hứng thú với loại này và có điều kiện tiếp cận với nhiều dạng bài tập điển hình.
Các phương pháp tìm điều kiện về nghiệm của phương trình là :” Phương pháp so sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với số 0” ;” Phương pháp so sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với 1 số bất kỳ ”; “so sánh nghiệm của phương trình quy về phương trình bậc 2 ”.
A- Dấu của các nghiệm của phương trình bậc hai
Theo hệ thức Vi-ét nếu phương trình bậc hai \[a{{x}^{2}}+bx+c=0(a\ne 0)\]: có nghiệm \[{{x}_{1}},{{x}_{2}}\] thì \[S={{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{-b}{a};\] \[P={{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\frac{c}{a}\].
Do đó điều kiện để một phương trình bậc 2 :
– Có 2 nghiệm dương là: \[\Delta \ge 0;P>0;S>0\]
– Có 2 nghiệm âm là: \[\Delta \ge 0;P>0;S<0\]<>
– Có 2 nghiệm trái dấu là: \[P<0\]>0).
B- So sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với một số
I/ So sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với số 0
Trong nhiều trường hợp ta cần so sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với một số cho trước, trong đó có nhiều bài toán đòi hỏi tìm điều kiện để phương trình bậc 2: \[a{{x}^{2}}+bx+c=0(a\ne 0)\] có ít nhất một nghiệm không âm.
VD1: Tìm các giá trị của m để phương trình sau có ít nhất một nghiệm không âm:
\[{{x}^{2}}+mx+2m-4=0\] (1)
Cách 1:
\[\Delta ={{m}^{2}}-4(2m-4)={{(m-4)}^{2}}\ge 0\] \[\forall m\] khi đó phương trình có 2 nghiệm \[{{x}_{1}},{{x}_{2}}\] thỏa mãn: \[P=2m-4;S=-m\]
Trước hết ta tìm điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm đều âm. Điều kiện đó là :
Vậy điều kiện để phương trình (1) có ít nhất một nghiệm không âm là \[m\le 2\].
Cách 2: \[\Delta ={{m}^{2}}-4(2m-4)={{(m-4)}^{2}}\ge 0\forall m\]; \[P=2m-4;S=-m\].
- Nếu \[P\le 0\]\[\Leftrightarrow m\le 2\], thì phương trình (1) tông tại nghiệm không âm.
- Nếu \[P>0\] thì phương trình có 2 nghiệm cùng dấu. Để thỏa mãn đề bài ta phải có \[S>0\]. Giải điều kiện \[P>0;S>0;\] ta được m > 2 và m < 0 không xảy ra.
Kết luận: \[m\le 2\].
Cách 3: Giải phương trình (1): \[\Delta ={{m}^{2}}-4(2m-4)={{(m-4)}^{2}}\ge 0\forall m\]
Ta có: \[{{x}_{1}}=\frac{-m-(m-4)}{2}=2-m\]; \[{{x}_{2}}=\frac{-m+(m-4)}{2}=-2\]
Do \[{{x}_{2}}=-2<0\]>
Ví dụ 2: Cho phương trình \[{{x}^{2}}-2(m+3)x+4m-1=0\] (2). Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm dương.
Giải
Phương trình (2) có hai nghiệm dương
II/ So sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với một số bất kỳ
Trong nhiều trường hợp để so sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với một số bất kỳ ta
có thể quy về trường hợp so sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với số 0:
Ví dụ 1: Tìm các giá trị của m để phương trình sau có ít nhất một nghiệm lớn hơn hoặc bằng 2: \[{{x}^{2}}+mx+1=0\] (1)
Cách 1: Đặt y = x – 2 \[\Rightarrow x=y+2\] thay vào phương trình (1), ta được:
\[{{\left( y+2 \right)}^{2}}+m\left( y+2 \right)-1=0\Leftrightarrow {{y}^{2}}+\left( 4+m \right)y+3-2m=0\] (2)
Ta cần tìm nghiệm m để phương trình (2) có ít nhất một nghiệm không âm.
\[\Delta ={{\left( m+4 \right)}^{2}}-4\left( 2m+3 \right)={{m}^{2}}+4>0\forall m\]
\[P=2m+3;S=-\left( m+4 \right)\]. Điều kiện để phương trình (2) có 2 nghiệm đều âm là :
Vậy với \[m\le \frac{-3}{2}\] thì phương trình (2) có ít nhất một nghiệm không âm tức là (1) có ít nhất một nghiệm lớn hơn hoặc bằng 2.
Cách 2:
Giải phương trình (1) ta được: \[{{x}_{1}}=\frac{-m+\sqrt{{{m}^{2}}+4}}{2}\]; \[{{x}_{2}}=\frac{-m-\sqrt{{{m}^{2}}+4}}{2}\].
Ta thấy \[{{x}_{1}}>{{x}_{2}}\] nên chỉ cần tìm m để \[{{x}_{1}}\ge 2\]. Ta có:
\[\frac{-m+\sqrt{{{m}^{2}}+4}}{2}\ge 2\Leftrightarrow \sqrt{{{m}^{2}}+4}\ge m+4\] (3)
- Nếu \[m\le -4\] thì (3) có vế phải âm, vế trái dương nên (3) đúng.
- Nếu \[m>-4\] thì (3) \[\Leftrightarrow {{m}^{2}}+4={{m}^{2}}+8m+16\Leftrightarrow m\le \frac{-3}{2}\]. Ta được \[-4\le m\le \frac{-3}{2}\].
Gộp \[m\le -4\] và \[-4\le m\le \frac{-3}{2}\Rightarrow m\le \frac{-3}{2}\] là giá trị cần tìm của m.
Ví dụ 2:
Tìm các giá trị của m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt nhỏ hơn 2:
\[3{{x}^{2}}-4x+2\left( m-1 \right)=0\] (1)
Giải
Cách 1: đặt \[y=x-2\Rightarrow x=y+2\] thay vào (1) ta được:
\[3{{\left( y+2 \right)}^{2}}-4\left( y+2 \right)+2\left( m-1 \right)=0\Leftrightarrow 3{{y}^{2}}+8y+2m+2=0\] (2)
Cần tìm m để phương trình (2) có 2 nghiệm âm phân biệt. Ta giải điều kiện:
Kết luận: Với \[-1
Cách 2:
Xét phương trình (1). Giải điều kiện:
Giải (2) được \[m<\frac{5}{3}\].<>
Giải (3): \[{{x}_{1}}.{{x}_{2}}-2\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+4>0\Leftrightarrow \frac{2\left( m-1 \right)}{3}-2.\frac{4}{3}+4>0\Leftrightarrow m>-1\]
Giải (4): \[{{x}_{1}}+{{x}_{2}}-4<0\leftrightarrow>
Vậy ra được \[-1
Cách 3: giải phương trình (1): \[{{\Delta }^{'}}=4-6\left( m-1 \right)=10-6m\]
Nếu \[{{\Delta }^{'}}>0\Leftrightarrow m<\frac{5}{3}\]>
\[{{x}_{1}}=\frac{2-\sqrt{10-6m}}{3}\]; \[{{x}_{2}}=\frac{2+\sqrt{10-6m}}{3}\]
Do \[{{x}_{1}}<{{x}_{2}}\]>
\[{{x}_{2}}<2\leftrightarrow>-1\]
Vậy ta được: \[-1
III/ Điều kiện về nghiệm của phương trình quy về phương trình bậc 2
Ví dụ 1 Tìm giá trị m để phương trình sau có nghiệm
\[{{x}^{4}}+m{{x}^{2}}+2n-4=0\] (1)
Giải
Đặt \[{{x}^{2}}=y\ge 0\]. Điều kiện để phương trình (1) có nghiệm là phương trình \[{{y}^{2}}+my+2m-4=0\] có ít nhất một nghiệm không âm.
Theo kết quả ở VD1 mục I, các giá trị của m cần tìm là \[m\le 2\]
Ví dụ 2: TÌm các giá trị của m để tập nghiệm của phương trình
\[x-\sqrt{1-{{x}^{2}}}=m\] (1) chỉ có 1 phần tử
Giải
Do đó tập nghiệm của phương trình (1) chỉ có một phần tử khi và chỉ khi có 1 và chỉ 1 nghiệm của phương trình (2) thoản mãn điều kiện \[x\ge m\]. Đặt x –m =y. Khi đó phương trình (2) trở thành \[2{{y}^{2}}+2my+{{m}^{2}}-1=0\] (3)
Cần tìm m để có một nghiệm của phương trình (3) thỏa mãn \[y\ge 0\].
Có 3 trường hợp xảy ra:
a) Phương trình (3) có nghiệm kép không âm
b) Phương trình (3) co s2 nghiệm trái dấu:
\[P<0\leftrightarrow>
c) Phương trình (3) có một nghiệm âm, nghiệm còn lại bằng 0:
Kết luận \[m=-\sqrt{2}\] hoặc \[-1
Ví dụ 3: Tìm các giá trị của m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt:
\[x\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)\left( x+4 \right)=m\] (1)
Giải
(1) \[\Leftrightarrow \left( {{x}^{2}}+2x \right)\left( {{x}^{2}}+2x-8 \right)=m\]
Đặt \[{{x}^{2}}+2x+1=y\ge 0\], khi đó (1) trở thảnh \[\left( y-1 \right)\left( y-9 \right)=m\Leftrightarrow {{y}^{2}}-10y+\left( 9-m \right)=0\] (2)
Với cách đặt ẩn phụ như trên, ứng với mỗi giá trị dương của y có hai giá trị của x.
Do đó:
(1) có 4 nghiệm phân biệt \[\Leftrightarrow \](2) có 2 nghiệm dương phân biệt. Do đó, ở (2) ta phải có:
Bài tập đề nghị:
Bài 1: Tìm các giá trị của m để tồn tại nghiệm không âm của phương trình: \[{{x}^{2}}-2x+\left( m-2 \right)=0\]
Bài 2: Tìm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm: \[{{x}^{2}}+2m\left| x-2 \right|-4x+{{m}^{2}}+3=0\]
Bài 3: Tìm các giá trị của m để phương trình: \[\left( m-1 \right){{x}^{2}}-\left( m-5 \right)x+\left( m-1 \right)=0\]
có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn -1.
Bài 4: Tìm các giá trị của m để phương trình: \[{{x}^{2}}+mx-1=0\] có ít nhất 1 nghiệm lớn hơn hoặc bằng -2.
Bài 5: Tìm các giá trị của m để tập nghiệm của phương trình: \[{{x}^{4}}-2\left( m-1 \right){{x}^{2}}-\left( m-3 \right)=0\]
a) Có 4 phần tử.
b) Có 3 phần tử.
c) Có 2 phần tử.
d) Có 1 phần tử.