Hệ thống được xây dựng và vận hành bởi Novaedu - Đơn vị chính thức đồng hành cùng với Bộ Giáo dục và Đào tạo trong việc triển khai đề án "Hỗ trợ học sinh, sinh viên khởi nghiệp đến năm 2025" (Đề án 1665) của Thủ tướng Chính phủ. Novaedu cũng là đơn vị đầu tiên và duy nhất được Bộ GD&ĐT phê duyệt triển khai chương trình "Kỹ năng toàn diện - Nền tảng cốt lõi để khởi nghiệp thành công" dành cho HSSV, Giảng viên tại các cơ sở giáo dục trên toàn quốc.  Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thoi \(ABCD\) cạnh \(a\), góc \(\widehat {BAD} = 60^0\) và \(SA = SB = SD = {{a\sqrt 3 } \over 2}\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng định lí Pitago tính \(SH\) và \(SC\).
Quảng cáo Lời giải chi tiết
Do \(SA = SB = SD\) suy ra \(HA = HB = HC\) \(⇒ H\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \( ABD\). Ta có: \(AB = AD = a\) và \(\widehat{ BAD} = 60^0\) nên \(\Delta ABD\) là tam giác đều cạnh \(a\) \( \Rightarrow AO = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2},\,\,AH = \dfrac{2}{3}AO = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\) Trong tam giác vuông \(SAH\), ta có: \(SA = {{a\sqrt 3 } \over 2};AH = {{a\sqrt 3 } \over 3}\) \( \Rightarrow SH = \sqrt {S{A^2} - A{H^2}} = \sqrt {\dfrac{{3{a^2}}}{4} - \dfrac{{{a^2}}}{3}} = \dfrac{{a\sqrt {15} }}{6}\) \(CH = AC - AH = 2AO - AH \) \(= 2.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} - \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3} = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}\) Trong tam giác vuông \(SHC\): \(S{C^2} = S{H^2} + H{C^2}\Rightarrow SC = {{a\sqrt 7 } \over 2}\)
\(S{C^2} = \dfrac{{7{a^2}}}{4};\,\,B{C^2} = {a^2};\,\,S{B^2} = \dfrac{{3{a^2}}}{4}\) \( \Rightarrow S{C^2} = B{C^2} + S{B^2}\) \(\Rightarrow \Delta SBC\) vuông tại \(B\) \( \Rightarrow SB \bot BC.\) Cách khác: Ta có: \(SH \bot \left( {ABD} \right) \Rightarrow SH \bot AD\). \(H\) là tâm tam giác \(ABD\) nên \(BH\bot AD\) \(\left\{ \begin{array}{l} BH \bot AD\\ SH \bot AD \end{array} \right. \Rightarrow AD \bot \left( {SBH} \right)\) Mà \(BC//AD\) nên \(BC \bot \left( {SBH} \right)\) \( \Rightarrow BC \bot SB\)
\(\eqalign{ & \left. \matrix{ DB \bot AC \hfill \cr SH \bot (ABCD) \Rightarrow SH \bot DB \hfill \cr} \right\} \cr &\Rightarrow DB \bot (SAC) \cr & \Rightarrow \left\{ \matrix{ DB \bot {\rm{OS}} \hfill \cr {\rm{DB}} \bot AC \hfill \cr} \right. \cr} \) \(\left\{ \begin{array}{l} \left( {SBD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BD\\ SO \bot BD,AC \bot BD\\ SO \subset \left( {SBD} \right)\\ AC \subset \left( {ABCD} \right) \end{array} \right.\) Nên góc giữa (SBD) và (ABCD) bằng góc giữa SO và AC hay \(\widehat{ SOH}\) là góc giữa hai mặt phẳng \((SBD)\) và \((ABCD)\) Ta có: \( SH = \dfrac{{a\sqrt {15} }}{6}\) và \(OH = \dfrac{1}{3}AO = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}\) \(\Rightarrow \tan \varphi = \dfrac{{SH}}{{OH}} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt {15} }}{6}}}{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}}} = \sqrt 5 \) |
