Ctoobgr hợp công thức kì 1 toán 11 năm 2024

Học mãi chia sẻ bộ tài liệu tóm tắt công thức và lý thuyết hình học 11. Tài liệu bao gồm các kiến thức cơ bản và nâng cao giúp các em học sinh có thể giải các dạng bài tập hình học một cách hiệu quả và nhanh chóng.

Chương 1: Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng

- Phép biến hình

- Phép tịnh tiến

- Phép đối xứng trục

- Phép đối xứng tâm

- Phép đối xứng tâm

- Phép quay

- Phép vị tự

- Phép đồng dạng

Chương 2: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian quan hệ song song

- Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng

- Hai đường thẳng song song

- Đường thẳng song song với mặt phẳng

- Hai đường thẳng song song

- Phép chiếu song song

Chương 3: Vectơ trong không gian - quan hệ vuông góc

- Vectơ trong không gian. Sự đồng phẳng của các vecto

- Đường thẳng vuông góc

- Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

- Hai mặt phẳng vuông góc

- Khoảng cách

Hy vọng với bộ tài liệu mà Học Mãi cung cấp, các em học sinh sẽ được tổng hợp kiến thức một cách cô đọng nhất, giúp các em dễ dàng giải các dạng bài tập hình học trong chương trình toán 11.

Để được các thầy cô của Học Mãi trực tiếp hướng dẫn và chia sẻ các phương pháp học và làm bài tập, các em có thể đăng ký khóa học: Học tốt Toán 11 với rất nhiều chương trình ưu đãi hấp dẫn.

TỔNG HỢP CÔNG THỨC TOÁN HỌC LỚP 11

HỌC KÌ 1

ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH

CHƯƠNG I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

9. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

1. Hàm số y = sinx
2. TXĐ: D = R và −  1 sin x  1,  x R
3. Là hàm số lẻ
4. Là hàm số tuần hoàn chu kì là 2 
5. Hàm số đồng biến trên k2 ; k

2 2

 −    +  +   

• Hàm số nghịch biến trên

3 k2 ; k 2 2

     +  +   

1. Hàm số y =cosx
2. TXĐ: D = R và −  1 cosx  1,  x R
3. Hàm số chẵn
4. Là hàm số tuần hoàn chu kì là 2 
5. Hàm số đồng biến trên ( − + k2 ;k2 )
6. Hàm số nghịch biến trên ( k2 ;  + k2)
7. Hàm số y = tanx
8. TXĐ: D \ k ,k 2

   =  +     

R Z

• Hàm số lẻ
• Là hàm số tuần hoàn chu kì là 
• Hàm số đồng biến trên k ; k

2 2

     − +  +   

• Có các đường tiệm cận x k

2

 = + 

1. Hàm số y =cotx
2. TXĐ: D = R \ k ,k   Z
3. Hàm số lẻ
4. Là hàm số tuần hoàn chu kì là 
5. Hàm số nghịch biến trong ( k ;  + k)

cos(  −  ) = -cos 

tan(  −  ) = -tan 

cot(  −  ) = -cot .

• Cung hơn kém  :  và (  + ) sin (  +  )= -sin cos (  + ) = -cos tan (  +  )= tan cot (  +  )= cot 
• Cung phụ nhau:  và

2

    −   

sin

2

    −   

\= cos 

cos

2

    −   

\= sin 

tan

2

    −   

\= cot 

cot

2

    −   

\= tan .

⎯⎯→ cos đối, sin bù, phụ chéo, hơn kém  tan và cot.

+) Hai cung hơn kém

2

 :  và 2

    +   

sin

2

    +   

\= cos 

cos

2

    +   

\= -sin 

tan 2

    +   

\= -cot 

cot

2

    +   

\= -tan 

1. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

+) Công thức cộng

cos(a - b) = cosa cosb + sina sinb

cos(a + b) = cosa cosb - sina sinb

sin(a - b) = sina cosb - cosa sinb

sin(a + b) = sina cosb + cosa sinb

tan(a - b) =

tan a tan b

1 tan a tan b

−

tan(a + b) =

tan a tan b

1 tan a tan b

−

+) Công thức nhân đôi

sin2a = 2sina cosa

cos2a = cos

2 a - sin

2 a = 2cos

2 a - 1 = 1 - 2sin

2 a

tan2a = 2

2 tan a

1 −tan a

+) Công thức nhân ba

sin3a = 3sina - 4sin

3 a

cos3a = 4cos

3 a - 3cosa

tan3a =

3

2

tan a 3tan a

3tan a 1

−

−

sina = ( ) ( )

1 sin a b sin a b 2

 + + − 

cosa = ( ) ( )

1 sin a b sin a b 2

 + − − 

cosa = ( ) ( )

1 cos a b cos a b 2

 + + − 

sina = ( ) ( )

1 cos a b cos a b 2

−  + − − 

+) Công thức biến đổi tổng thành tích:

sina + sinb =

a b a b 2sin cos 2 2

• −

sina - sinb =

a b a b 2cos sin 2 2

• −

cosa + cosb =

a b a b 2cos cos 2 2

• −

cosa - cosb =

a b a b 2sin sin 2 2

• − −

+) Đặc biệt khi a = b = 

sin  + cos  = 2 sin

4

    +   

sin  - cos  = 2 sin

4

    −   

cos  + sin  = 2cos 4

    −   

cos  - sin  = 2 cos

4

    +   

.

III. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

1. Phương trình lượng giác cơ bản
2. ( )

u v k cos u cos v k u v k

 = +  =   

 = − + 

Z

2. ( )

u v k sin u sin v k u v k

 = +  =     =  − + 

Z

3. tan u = tan v  u = v + k ( kZ)d) cot u = cot v  u = v + k  ( kZ)

Đặc biệt:

sin u = 0  u = k

sin u 1 u k 2

 =  = + 

sin u 1 u k 2

 = −  = − + 

sin u 1 u k 2

 =   = + 

cos u 0 u k 2

 =  = + 

cosu = 1  u = k2

cosu = −  1 u =  + k2

cosu =   1 u = k

1. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

Dạng Đặt Điều kiện

asin

2 x + bsinx + c = 0 t = sinx −  1 t  1

acos

2 x + bcosx + c = 0 t = cosx −  1 t  1

atan

2 x + btanx + c = 0 t = tanx x k 2



 +  ( k  )

Đặt t sin u cos u 2 sin u 4

  =  =     

với t  − 2; 2   

2 t 1 sin u u 2

−  = 

Thay vào phương trình đã cho ta được phương trình bậc hai theo t.

Chú ý:

cos x sin x 2 cos x 2 sin x 4 4

    

• \=  −  =  +     

cos x sin x 2 cos x 2 sin x 4 4

     − =  +  = −  −     

CHƯƠNG II. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT

9. Đại số tổ hợp

1. Quy tắc cộng

Công việc chia làm 2 trường hợp:

• Trường hợp 1: có m cách.
• Trường hợp 2: có n cách.

Khi đó, tổng số cách thực hiện là m + n.

1. Quy tắc nhân

####### Sự vật 1 có m cách. Ứng với 1 cách chọn trên ta có n cách chọn sự vật 2.

####### Khi đó, tất cả số cách chọn liên tiếp 2 sự vật là mn.

1. Giai thừa n! = 1.2  ( n −1 n)

Qui ước: 0! = 1

Lưu ý:

n! = ( n −1 !n) = ( n − 2! n) ( −1 n ) = 

1. Hoán vị

####### n vật sắp xếp vào n chỗ, số cách xếp là: Pn =n!

1. Chỉnh hợp n vật, lấy ra k ( k  ,0  k )vật rồi sắp xếp thứ tự, số cách xếp là:( )

k n

n! A n k!

\= −

1. Tổ hợp n vật, lấy ra k ( k  ,0  k )vật nhưng không sắp xếp thứ tự, số cách xếp là:( )

k n

n! C k! n k!

\= −

1. Một số kiến thức cần nhớ

Số chia hết cho 2 : tận cùng là 0;2;4;6;

Số chia hết cho 5 : tận cùng là 0;

Số chia hết cho 10 : tận cùng là 0

Số chia hết cho 100 khi tận cùng là 00;25;50;

Số chia hết cho 3 : tổng các chữ số chia hết cho 3.

Số chia hết cho 9 : tổng các chữ số chia hết cho 9.

Khi gặp bài tập số tự nhiên mà trong đó có liên quan số 0 nên chia trường hợp.

+) Tính chất

0 n Cn = Cn = 1

1 n 1 Cn Cn n

− = =

k n k C n Cn

−

k 1 k k C n Cn Cn 1

− + = +

II. Nhị thức Newton

1. Khai triển nhị thức Newton

4. A là biến cố đối của biến cố A thì: P A ( )= 1 −P A ( )

Hay ta có: P A ( )+ P A ( )= 1

1. X là biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị là {x 1 ; x 2 ;...;xn}

1. Kỳ vọng của X là E(X) =

n

i i i 1

x p

 với pi = P(X = xi), i = 1,2,3,...,n

2. Phương sai của X là V(X) = ( )

n 2 i i i 1

x p

\=

 −  hay ( )

n 2 2 i i 1

V X x p

\=

\=  −  trong đó

p i = P X ( = xi ),i = 1,2,3,...,nvà = E X ( )c) Độ lệch chuẩn: ( X ) = E X( )

CHƯƠNG III. DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG. CẤP SỐ NHÂN

1. Phương pháp quy nạp toán học Có nhiều cách để chứng minh một biểu thức P n ( )đúng. Một trong những cách

chính là qui nạp toán học:

Bước 1. Kiểm tra với n = 1: P 1 ( )đúng hay không.Bước 2. Giả sử với n = k : P k ( )đúng.Với n = k + 1 , ta chứng minh P k ( + 1 )đúng.

1. Dãy số Dãy số ( u n)là hàm số đi từ
2. N đến R. Có 3 cách xác định dãy số: cho số hạng

tổng quát; mô tả; cho hệ thức truy hồi.

1. Dãy số tăng - dãy số giảm +) ( u n)là dãy số tăng
2.  un 1 + − u n 0,  n N

Khi un > 0, ta có thể dùng

n 1 *

n

u 1, n u

•    N +) ( u n)là dãy số tăng
•  un 1 + − u n 0,  n N

Khi un > 0, ta có thể dùng

n 1 *

n

u 1, n u

•    N
• Dãy số bị chặn +) ( u n)bị chặn trên
•  M : u n  M,  n N +) ( u n)bị chặn dưới
•  m : u n m,  n N ( u n)bị chặn ( u n)vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới
•  M : u n  M, n  N
• Cấp số cộng Dãy ( u n)được gọi là CSC nếu thỏa u n = u n 1− + d với d không đổi là công sai.

Ta có:

1. u n = u 1 + ( n −1 d)2) u ( n)là CSC  2u n = un 1 − +un 1+n 1 2 n ( 1 n)

n 3)S u u u u u 2

\= + ++ = + 1 ( )

n u n 1 d 2

\=  + −   

1. Cấp số nhân Dãy ( u n)được gọi là CSN nếu thỏa u n = u n 1−.q với q không đổi là công bội.

Ta có:

n 1

1. u n u q1.

−

2. u ( n)là CSN

2  u n =u n 1− .un 1+

n

n 1 2 n 1

1 q 3)S u u u u. khi q 1 1 q

− = + + + =  −

4)S n = n 1 khi q = 1

( )

( )

I;

IM IM

Q : M M IM;IM



 =    =  



  

1. Phép vị tự (PVT) tâm I tỉ số k , kí hiệu ( I k ;)

V

( I;k)

V : M M  IM =kIM

1. Phép đồng dạng (PĐD)

PĐD tỉ số k k (  0 ) là PBH sao cho với hai điểm A;B bất kì và ảnh A ;B  của nó

ta có A B  = kAB

PĐD biến

{

3 điểm thẳng hàng ⟶ 3 điểm thẳng hàng (bảo toàn thứ tự)

đường thẳng ⟶ đường thẳng;đoạn thẳng ⟶ đoạn thẳng tỉ lệ 𝑘 lần với nó;tia ⟶ tia

tam giác ⟶ tam giác đồng dạng tỉ số 𝑘;góc ⟶ góc bằng nó

đường tròn bán kính 𝑅 ⟶ đường tròn bán kính 𝑘𝑅

1. Biểu thức tọa độ

Giả sử M ( x y ; ) ; M  ( x ;y' ).

+) PTT theo u = ( a;b)là

x ' x a

y y b

 − =   − =

+) Phép đối xứng tâm I a;b ( )là

x 2a x

y 2b y

 = −   = −





+) Phép đối xứng trục 𝑑 khi

{

𝑑 ≡ 𝑂𝑥 là { 𝑥

′ = 𝑥

𝑦

′ = −𝑦

𝑑 ≡ 𝑂𝑦 là {𝑥

′ = −𝑥

𝑦

′ = 𝑦

𝑑 là phân giác thứ nhất {𝑥

′ = −𝑥

𝑦

′ = −𝑦

+) Phép quay tâm I a;b ( ), góc  là

x x cos ysin

y x sin ycos

 =  −    =  + 





Đặc biệt: Tâm quay là O 0;0( )thì

0 x y 90 : y x

 = −   =

 = 



0 x y 90 : y x

 = 





\= − 

 = −

0 x x 180 : y y

 = −   = −

 = 



Phép vị tự tâm I a;b ( ), tỉ số k là( )( )

x kx 1 k a

y ky 1 k b

 = + −   = + −





1. Ảnh của đường thẳng d qua PTT; phép ĐXT; PQ; PVT

Giả sử F : d d ( F ở đây là u I ( I; ) ( I;k)

T ;Đ ;Q  ;V ). Lấy M x; y ( ) d. Giả sửF : M M với M  ( x ; y' )

Viết biểu thức tọa độ tương ứng với PBH đề cho

x

y

 =   

 = 

Ta có M  d (thay x; y vào đường thẳng d ) ta được đường thẳng d .

1. Ảnh của đường tròn Giả sử F: C ( ) ( C' )( F ở đây là

u I ( I; ) ( I;k) T ;Đ ;Q ;V 

)

Xác định tâm I của đường tròn ( C ). Tìm ảnh I của I qua PBH F.Ta có: ( )

tâm I C' : bán kính R R





   =

(riêng phép vị tự thì R  = k R). Từ đó ta có phương

trình ( C').

1. Tâm vị tự của hai đường tròn

TH1: Nếu I  I thì PVT tâm O  I, tỉ số

R

R

 và PVT tâm O  I, tỉ số

R

R

 −.

CHƯƠNG II. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN.

QUAN HỆ SONG SONG

1. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng d (  ) d  = ( )d c t ( ) d   = ( ) M ( ) ( )

d    d   =d

1. Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng (  ) ( )     =  ( ) ( )(   ) ( )    =  ( ) ( ) ( )(  )cắt ( )    = ( ) ( ) d
2. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

( )

( )

a

a b b

a b

       

  =  

a cắt b

 a  b =O

a b

 a  b = a

a;b chéo nhau

 a;bkhông

đồng phẳng.

1. Cách xác định giao tuyến giữa hai mặt phẳng

Cách 1: Tìm hai điểm chung của hai mặt phẳng.

( )( )( ) ( )

M a;a M M b;b

             

Chú ý: Để tìm điểm chung của hai mặt phẳng ta thường tìm hai đường thẳng đồng

phẳng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng. Giao điểm, nếu có, của hai đường thẳng

này chính là điểm chung cần tìm

Cách 2: Tìm một điểm chung của hai mặt phẳng và phương giao tuyến (tức tìm

trong hai mặt phẳng hai đường thẳng song song với nhau).

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

M

a b Mx

a ;b

           =

     

với Mx a b

1. Cách xác định giao điểm giữa đường thẳng và mặt phẳng Để tìm giao điểm của d và (  ), ta tìm trong (  )một đường thẳng a cắt d tại M.Khi đó: M = d  ( ).