 Loading Preview Show Sorry, preview is currently unavailable. You can download the paper by clicking the button above. Ảnh đẹp,18,Bài giảng điện tử,10,Bạn đọc viết,225,Bất đẳng thức,74,Bđt Nesbitt,3,Bổ đề cơ bản,9,Bồi dưỡng học sinh giỏi,39,Cabri 3D,2,Các nhà Toán học,129,Câu đố Toán học,83,Câu đối,3,Cấu trúc đề thi,15,Chỉ số thông minh,4,Chuyên đề Toán,289,Công thức Thể tích,11,Công thức Toán,101,Cười nghiêng ngả,31,Danh bạ website,1,Dạy con,8,Dạy học Toán,259,Dạy học trực tuyến,20,Dựng hình,5,Đánh giá năng lực,1,Đạo hàm,16,Đề cương ôn tập,38,Đề kiểm tra 1 tiết,29,Đề thi - đáp án,936,Đề thi Cao đẳng,15,Đề thi Cao học,7,Đề thi Đại học,157,Đề thi giữa kì,16,Đề thi học kì,130,Đề thi học sinh giỏi,123,Đề thi THỬ Đại học,378,Đề thi thử môn Toán,45,Đề thi Tốt nghiệp,41,Đề tuyển sinh lớp 10,98,Điểm sàn Đại học,5,Điểm thi - điểm chuẩn,210,Đọc báo giúp bạn,13,Epsilon,8,File word Toán,33,Giải bài tập SGK,16,Giải chi tiết,185,Giải Nobel,1,Giải thưởng FIELDS,24,Giải thưởng Lê Văn Thiêm,4,Giải thưởng Toán học,5,Giải tích,29,Giải trí Toán học,170,Giáo án điện tử,11,Giáo án Hóa học,2,Giáo án Toán,17,Giáo án Vật Lý,3,Giáo dục,349,Giáo trình - Sách,80,Giới hạn,20,GS Hoàng Tụy,8,GSP,6,Gương sáng,192,Hằng số Toán học,19,Hình gây ảo giác,9,Hình học không gian,106,Hình học phẳng,88,Học bổng - du học,12,Khái niệm Toán học,64,Khảo sát hàm số,36,Kí hiệu Toán học,13,LaTex,12,Lịch sử Toán học,80,Linh tinh,7,Logic,11,Luận văn,1,Luyện thi Đại học,231,Lượng giác,55,Lương giáo viên,3,Ma trận đề thi,7,MathType,7,McMix,2,McMix bản quyền,3,McMix Pro,3,McMix-Pro,3,Microsoft phỏng vấn,11,MTBT Casio,26,Mũ và Logarit,36,MYTS,8,Nghịch lí Toán học,11,Ngô Bảo Châu,50,Nhiều cách giải,36,Những câu chuyện về Toán,15,OLP-VTV,33,Olympiad,280,Ôn thi vào lớp 10,1,Perelman,8,Ph.D.Dong books,7,Phần mềm Toán,26,Phân phối chương trình,5,Phụ cấp thâm niên,3,Phương trình hàm,4,Sách giáo viên,12,Sách Giấy,10,Sai lầm ở đâu?,13,Sáng kiến kinh nghiệm,8,SGK Mới,6,Số học,55,Số phức,34,Sổ tay Toán học,4,Tạp chí Toán học,37,TestPro Font,1,Thiên tài,95,Thơ - nhạc,9,Thủ thuật BLOG,14,Thuật toán,3,Thư,2,Tích phân,77,Tính chất cơ bản,15,Toán 10,129,Toán 11,173,Toán 12,363,Toán 9,64,Toán Cao cấp,26,Toán học Tuổi trẻ,26,Toán học - thực tiễn,100,Toán học Việt Nam,29,Toán THCS,16,Toán Tiểu học,4,Tổ hợp,36,Trắc nghiệm Toán,220,TSTHO,5,TTT12O,1,Tuyển dụng,11,Tuyển sinh,270,Tuyển sinh lớp 6,7,Tỷ lệ chọi Đại học,6,Vật Lý,24,Vẻ đẹp Toán học,108,Vũ Hà Văn,2,Xác suất,28,
Đã gửi 23-07-2013 - 18:14
TUYỂN TẬP CÁC BÀI TOÁN VỀ ELIP LUYỆN THI ĐẠI HỌC --------------------- Các bài tập về Elip thường hay xuất hiện trong các đề thi Đại học, cao đẳng. Vì vậy tài liệu này nhằm mục đích giúp việc tự ôn tập của học sinh và việc giảng dạy của các thầy cô giáo thêm hiệu quả. Tài liệu bao gồm 3 phần chính: Phần 1: Tóm tắt lý thuyết Phần 2: Một số lưu ý khi giải toán Phần 3: Tuyển tập các bài toán, lời giải hoặc hướng dẫn Phần 1 và 2 là một phần chuyên đề mà tác giả đã viết trước đó có bổ sung thêm một mục nhỏ về bài toán cực trị trong Elip. Phần 3 cũng là nội dung chính của tài liệu, là tuyển tập các bài toán về Elip với các dạng bài thường xuất hiện trong kì thi Đại học, cao đẳng. Các bài tập được tác giả sưu tập từ các đề thi thử Đại học 2013 và trên các diễn đàn toán học như Diendantoanhoc.net/forum - VMF, Boxmath.vn, K2pi.net. Do thời gian có hạn nên mặc dù đã cố gắng nhưng số lượng bài tập tác giả sưu tập được chưa nhiều (khoảng 40 bài) và chắc chắn vẫn còn những sai sót. Vì vậy, trong quá trình sử dụng tài liệu, rất mong các bạn và các thầy cô có những ý kiến đóng góp hoặc gửi thêm các bài tập hay để tài liệu này hoàn thiện hơn trong một phiên bản khác. Tác giả: Lê Minh An File gửi kèm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhansp: 23-07-2013 - 18:17
Hãy tìm hiểu trước khi hỏi! Facebook: Cùng nhau học toán CoolMath Website: Cungnhauhoctoan.com
Đã gửi 23-07-2013 - 18:32
Cám ơn thầy nhiều ạ !!!
Đã gửi 23-07-2013 - 18:49
Bài viết hay quá ạ ĐCG !
Đã gửi 27-08-2013 - 16:33
Đã gửi 21-05-2014 - 09:06
Chuyên đề về Elip và các đường Conic khác thường là dành cho đối tượng HS khá - giỏi, trong đề thi ĐH - CĐ nó hay cấu trúc ở phần tự chọn cho ban KHTN
Tài liệu "Chuyên đề elip luyện thi đại học Đầy đủ lí thuyết và các dạng bài tập từ dễ đến khó" có mã là 549125, file định dạng pdf, có 10 trang, dung lượng file 228 kb. Tài liệu thuộc chuyên mục: Tài liệu chuyên ngành > Kỹ Thuật Công Nghệ > Toán Học. Tài liệu thuộc loại Đồng Nội dung Chuyên đề elip luyện thi đại học Đầy đủ lí thuyết và các dạng bài tập từ dễ đến khóTrước khi tải bạn có thể xem qua phần preview bên dưới. Hệ thống tự động lấy ngẫu nhiên 20% các trang trong tài liệu Chuyên đề elip luyện thi đại học Đầy đủ lí thuyết và các dạng bài tập từ dễ đến khó để tạo dạng ảnh để hiện thị ra. Ảnh hiển thị dưới dạng slide nên bạn thực hiện chuyển slide để xem hết các trang. Xem preview Chuyên đề elip luyện thi đại học Đầy đủ lí thuyết và các dạng bài tập từ dễ đến khóNếu bạn đang xem trên máy tính thì bạn có thể click vào phần ảnh nhỏ phía bên dưới hoặc cũng có thể click vào mũi bên sang trái, sang phải để chuyển nội dung slide.Nếu sử dụng điện thoại thì bạn chỉ việc dùng ngón tay gạt sang trái, sang phải để chuyển nội dung slide.
Diễn đàn Toán học – http://www.diendantoanhoc.net/forumTUYỂN TẬP CÁC BÀI TOÁN VỀ ELIPLUYỆN THI ĐẠI HỌCLê Minh AnTrường Đại học sư phạm Thái NguyênThành viên VMF - http://www.diendantoanhoc.net/forum14 − 07 − 2013Diễn đàn Toán học – http://www.diendantoanhoc.net/forumLỜI NÓI ĐẦUCác bài tập về Elip thường hay xuất hiện trong các đề thi Đại học, cao đẳng. Vì vậy tài liệu nàynhằm mục đích giúp việc tự ôn tập của học sinh và việc giảng dạy của các thầy cô giáo thêm hiệu quả.Tài liệu bao gồm 3 phần chính:Phần 1: Tóm tắt lý thuyếtPhần 2: Một số lưu ý khi giải toánPhần 3: Tuyển tập các bài toán, lời giải hoặc hướng dẫnPhần 1 và 2 là một phần chuyên đề mà tác giả đã viết trước đó có bổ sung thêm một mục nhỏ vềbài toán cực trị trong Elip. Phần 3 cũng là nội dung chính của tài liệu, là tuyển tập các bài toán vềElip với các dạng bài thường xuất hiện trong kì thi Đại học, cao đẳng. Các bài tập được tác giả sưu tậptừ các đề thi thử Đại học 2013 và trên các diễn đàn toán học như Diendantoanhoc.net/forum - VMF,Boxmath.vn, K2pi.net.Do thời gian có hạn nên mặc dù đã cố gắng nhưng số lượng bài tập tác giả sưu tập được chưa nhiều(khoảng 40 bài) và chắc chắn vẫn còn những sai sót. Vì vậy, trong quá trình sử dụng tài liệu, rất mongcác bạn và các thầy cô có những ý kiến đóng góp hoặc gửi thêm các bài tập hay để tài liệu này hoànthiện hơn trong một phiên bản khác.Email: ễn đàn Toán học – http://www.diendantoanhoc.net/forumMục lục1 Tóm tắt lý thuyết 51.1 Định nghĩa: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Phương trình chính tắc của Elip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Hình dạng và tính chất của Elip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Một số lưu ý khi giải toán 62.1 Viết phương trình chính tắc của elip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2 Tìm điểm thuộc elip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3 Bài toán cực trị liên quan đến Elip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Tuyển tập các đề toán 103.1 Bài toán Elip qua các kì thi thử 2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.2 Các bài tập sưu tầm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 Lời giải hoặc hướng dẫn 154.1 Bài toán Elip qua các kì thi thử 2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.2 Các bài tập sưu tầm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 Phụ Lục 305.1 Các bài toán Elip đã thi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.2 Một topic thảo luận trên VMF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31Diễn đàn Toán học – http://www.diendantoanhoc.net/forumDiễn đàn Toán học – http://www.diendantoanhoc.net/forum1 TÓM TẮT LÝ THUYẾT1 Tóm tắt lý thuyết1.1 Định nghĩa:Cho hai điểm cố định F1,F2với F1F2= 2c và một độ dài không đổi 2a(a > c). Elip là tập hợpnhững điểm M sao cho:F1M +F2M = 2aTa gọi: F1,F2: Tiêu điểm, F1F2= 2c: Tiêu cự, F1M,F2M: Bán kính qua tiêu.F1F2A1A2B1B2OM1.2 Phương trình chính tắc của ElipTrong mặt phẳng tọa độ Oxy với F1(−c; 0),F2(c; 0):M(x; y) ∈ (E) ⇔x2a2+y2b2= 1 (1).Trong đó: b2= a2−c2(1) được gọi là phương trình chính tắc của (E)1.3 Hình dạng và tính chất của ElipElip có phương trình (1) nhận các trục tọa độ là trục đối xứng và gốc tọa độ làm tâm đối xứng.+ Tiêu điểm: Tiêu điểm trái F1(−c; 0), tiêu điểm phải F2(c; 0)+ Các đỉnh: A1(−a; 0),A2(a; 0),B1(0; −b),B2(0; b)+ Trục lớn: A1A2= 2a, nằm trên trục Ox; Trục nhỏ: B1B2= 2b, nằm trên trục Oy+ Hình chữ nhật cơ sở: Là hình chữ nhật tạo bởi các đường thẳng x = ±a, y = ±bTừ đó ta thấy hình chữ nhật cơ sở có chiều dài là 2a và chiều rộng là 2b+ Tâm sai: e =ca< 1+ Bán kính qua tiêu của điểm M (xM,yM) ∈ (E) là:MF1= a + exM= a +cxMa, MF2= a −exM= a −axMc+ Đường chuẩn của Elip:Đường thẳng ∆1: x+ae= 0 được gọi là đường chuẩn của elip, ứng với tiêu điểm F1(−c; 0)Đường thẳng ∆2: x−ae= 0 được gọi là đường chuẩn của elip, ứng với tiêu điểm F2(c; 0)Email: 5 Lê Minh An - ĐHSP Thái NguyênDiễn đàn Toán học – http://www.diendantoanhoc.net/forum2 MỘT SỐ LƯU Ý KHI GIẢI TOÁN2 Một số lưu ý khi giải toán2.1 Viết phương trình chính tắc của elipCác bước thực hiện:Bước 1: Giả sử phương trình chính tắc của elip là:x2a2+y2b2= 1 (a > b > 0) (E)Bước 2: Sử dụng các dữ kiện bài toán thiết lập các phương trình tìm a, b (hoặc tìm trực tiếp a2,b2)Chú ý các kiến thức liên quan đến a,b, chẳng hạn: tọa độ tiêu điểm, tọa độ đỉnh, tâm sai, b2= a2−c2 Ví dụ: (B-2012) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có AC = 2BD và đường tròntiếp xúc với các cạnh của hình thoi có phương trình x2+y2= 4. Viết phương trình chính tắc của elip(E) đi qua các đỉnh A,B,C,D của hình thoi. Biết điểm A nằm trên trục OxNhận định:- Các đặc điểm của hình thoi:Đường tròn nội tiếp có phương trình: x2+ y2= 4. (Tâm O(0; 0), bán kính R = 2)Tâm đường tròn nội tiếp là tâm của hình thoi −→ Gốc tọa độ O là tâm của hình thoi. O = AC ∩BDA ∈Ox −→C ∈Ox, BD⊥AC −→ B, D ∈Oy- A,B,C,D ∈ (E) −→ A,C = (E)∩Ox; B,D = (E) ∩Oy −→ A,B,C,D là các đỉnh của (E)!- Như vậy ta xác định được mối liên hệ giữa đỉnh của (E) và hình thoi. Với hai điều kiện AC = 2BDvà đường tròn nội tiếp hình thoi có bán kính R = 2 ta lập được hai phương trình giải quyết bài toán.CADBOHLời giải:Giả sử phương trình của elip (E) là:x2a2+y2b2= 1(a > b > 0)Ta có: Đường tròn (C): x2+ y2= 4 là đường tròn nội tiếp hình thoi ABCD, có tâm O(0; 0), bán kínhR = 2Vì tâm của (C) là tâm của hình thoi nên AC và BD vuông góc với nhau tại trung điểm O của mỗiđườngMà A ∈ Ox ⇒C ∈Ox và B,D ∈OyLại có: A,B,C,D ∈ (E) ⇒A,B,C, D là bốn đỉnh của (E)Nếu đổi chỗ A và C cho nhau hoặc B và D cho nhau thì Elip không thay đổi nên ta có thể giả sử A,Blần lượt nằm ở nửa trục dương của Ox và Oy, khi đó tọa độ của chúng là A(a; 0),B(0;b)Email: 6 Lê Minh An - ĐHSP Thái NguyênDiễn đàn Toán học – http://www.diendantoanhoc.net/forum2.2 Tìm điểm thuộc elip 2 MỘT SỐ LƯU Ý KHI GIẢI TOÁN⇒ OA = a,OB = b. Vì AC = 2BD nên OA = 2OB ⇒a = 2bKẻ OH vuông góc với AB tại H ⇒OH = R = 2Vì tam giác ABO vuông tại O⇒1OH2=1OA2+1OB2⇔14=1a2+4a2⇔ a2= 20 ⇒b2= 5Vậy phương trình (E) là:x220+y25= 12.2 Tìm điểm thuộc elipCác bước thực hiện:Bước 1: Xác định "từ khóa" liên quan đến điểm cần tìm, cố gắng chuyển chúng thành công thứctương ứng.Bước 2: Từ giả thiết, thiết lập phương trình tìm tọa độ của điểm. Chú ý rằng ta luôn có một phươngtrình do điểm cần tìm thuộc (E).Ví dụ: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho elip (E) :x29+y21= 1. Tìm trên (E) những điểm t/m:1. Có bán kính qua tiêu điểm này bằng 3 lần bán kính qua tiêu điểm kia?2. Nhìn hai tiêu điểm dưới góc vuông.Lời giải:(E) :x29+y21= 1 ⇒a = 3,b = 1 ⇒ c =a2−b2= 2√21. Từ khóa cần quan tâm "bán kính qua tiêu"Gọi M(xo,yo) là điểm phải tìm. Khi đó bán kính qua tiêu của M là:MF1= a + exo= a +cxoa, MF2= a −exo= a −cxoaTừ giả thiết suy ra:MF1= 3MF2MF2= 3MF1⇔MF1−3MF2= 0MF2−3MF1= 0⇔ (MF1−3MF2)(MF2−3MF1) = 0 (1)Khai triển rút gọn ta được:(1) ⇔ 16MF1.MF2−3 (MF1+ MF2)2= 0 ⇔16 (a + exo)(a −exo) −3(2a)2= 0⇔ x2o=a24e2=a44c2=8132⇔ xo= ±9√28Lại có: M ∈ (E) ⇒y2o= 1 −x2o9=2332⇔ yo= ±√468.Đáp số: M19√28;√468; M29√28; −√468; M3−9√28;√468; M4−9√28; −√468Nhận xét:− Trong giải toán, ta thường chỉ quen với chiều biến đổi AB = 0 ⇒A = 0B = 0nhưng trong nhiềuEmail: 7 Lê Minh An - ĐHSP Thái NguyênDiễn đàn Toán học – http://www.diendantoanhoc.net/forum2.3 Bài toán cực trị liên quan đến Elip 2 MỘT SỐ LƯU Ý KHI GIẢI TOÁNtrường hợp biến đổi theo chiều ngược lại sẽ giúp việc giải bài toán ngắn gọn hơn rất nhiều, mà bàitoán trên là một ví dụ.− Ở bài toán này, việc biến đổi rút gọn cũng là một công việc khá vất vả nếu không có những nhậnxét tinh tế, cần chú ý rằng MF1+ MF2= 2a− Khi kết luận cần chú ý lấy đủ nghiệm, nhiều bạn thường nhầm lẫn chỉ lấy hai nghiệm M1,M4.2. Từ khóa "góc vuông"F1F2MOVới gócF1MF2= 90othì ta có các "công thức" tương đương:1. MF21+ MF22= F1F22; 2. MO =F1F22= OF2; 3.−−→MF1.−−→MF2= 0Với từng "công thức" ta sẽ được các hướng làm khác nhau tương ứng, dưới đây tôi trình bày hai cáchcó thể nói là khá ngắn gọn.Gọi M(xo; yo) là điểm cần tìm. M ∈(E) nênx2o9+ y2o= 1 (1)Cách 1:Chú ý rằng MF1,MF2là bán kính qua tiêu, nên ta có:F1MF2= 90o⇔ MF21+ MF22= F1F22⇔ (a + exo)2+ (a −exo)2= 32 ⇔x2o=(16 −a2)a2c2=638Từ (1) suy ra: y2o=18.Cách 2:Điểm M nhìn F1,F2dưới một góc vuông nên ∆MF1F2vuông tại M.Mà dễ thấy O là trung điểm của F1F2nên OM =F1F22⇔ x2o+ y2o= 8 (2)Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:(I)x2o9+ y2o= 1x2o+ y2o= 8⇔x2o=638y2o=18⇔xo= ±3√144yo= ±√24Nhận xét: Ở cách 2 có thể giải thích theo cách khác như sau:Do M nhìn F1,F2dưới một góc vuông nên M nằm trên đường tròn (C) nhận F1F2làm đường kính.Tức là (C) có tâm O bán kínhF1F22= 2√2⇒ M là giao điểm của (E) và (C) : x2+ y2= 8. Do đó tọa độ M là nghiệm hệ (I).Đáp số: M13√144;√24; M23√144; −√24; M3−3√144;√24; M4−3√144; −√242.3 Bài toán cực trị liên quan đến Elip∀M(xM,yM) ∈ (E) :x2a2+y2b2= 1Email: 8 Lê Minh An - ĐHSP Thái NguyênDiễn đàn Toán học – http://www.diendantoanhoc.net/forum2.3 Bài toán cực trị liên quan đến Elip 2 MỘT SỐ LƯU Ý KHI GIẢI TOÁNTa có:1. xM∈ [−a; a] và yM∈ [−b; b]2. Dox2Ma2+y2Mb2= 1, nên nếu đặtxMa= sin α ⇔ xM= a sin α, thìyMb= cos α ⇔ yM= b cos α⇒ ∀M ∈(E) tọa độ M có thể viết thành M(a sin α ;bcosα) (α ∈−π2;π2)3. Thường sử dụng các BĐT quen thuộc:(mn + pq)2≤ (m2+ p2)(n2+ q2)Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi mq = np.mn ≤12(m2+ n2)Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi m = n.Ví dụ: (Thi Thử tạp chí THTT 05 - 2013)Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A(3; 4), B(5;3). Xác định điểm M trên đường elip(E) :x28+y22= 1 sao cho diện tích tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất.Lời giải:Cách 1: Ta có AB =√5 và AB : x + 2y −11 = 0.Vì M ∈(E) nên ta có thể gọi M(2√2 sin α;√2 cos α) với α ∈−π2;π2. Khi đód(M,AB) =2√2(sin α + cos α) −11√5=11 −4 sinα +π4√5≥7√5Suy ra(d(M,AB))min=7√5⇐⇒ sinα +π4= 1 ⇐⇒ α =π4.Do đó,min S∆AMB=12(d(M,AB))min·AB = 7 ⇐⇒ M(2; 1).Cách 2: Ta có AB =√5 và AB : x + 2y −11 = 0. Gọi M(a;b) ∈ (E). Khi đóa28+b22= 1(∗)Từ (∗) suy ra |a| ≤2√2, |b| ≤√2 ⇒a + 2b < 11d(M,AB) =|a + 2b −11|√5=11 −(a + 2b)√5Sử dụng Cauchy −Schwarz ta có(a + 2b)2≤ (8 + 8)a28+b22= 16 ⇒−4 ≤a + 2b ≤ 4Suy ra d(M,AB) ≥7√5Do đó,min S∆AMB=12(d(M,AB))min·AB = 7 ⇐⇒ M(2; 1).[k2pi.net]Email: 9 Lê Minh An - ĐHSP Thái NguyênDiễn đàn Toán học – http://www.diendantoanhoc.net/forum3 TUYỂN TẬP CÁC ĐỀ TOÁN3 Tuyển tập các đề toánPhần đề toán được tách riêng giúp các bạn học sinh thuận tiện trong quá trình tự luyện tập. Trướckhi đọc lời giải các bạn nên tự mình tìm cách giải quyết bài toán đó, như thế tư duy sẽ không bị bóbuộc. Biết đâu các bạn sẽ có lời giải độc đáo hơn đáp án, lúc ấy hãy chia sẻ với mình để hoàn thiệnhơn tuyển tập này nhé!3.1 Bài toán Elip qua các kì thi thử 20131. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC đều có A(0; 2) và có trục đối xứng Oy,SABC=49√312. Viết phương trình chính tắc của elip (E) qua 3 điểm A,B,C(Sở GDĐT Bắc Ninh)2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(2√3; 2). Viết phương trình chính tắc của elip(E) đi qua M, biết M nhìn hai tiêu điểm của (E) dưới một góc vuông.(Chuyên ĐH Vinh 03)3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : x2+y2= 16. Viết phương trình chínhtắc của elip (E) biết tâm sai của (E) là e =12, (E) cắt (C) tại bốn điểm phân biệt A,B,C,D saocho AB song song với trục hoành và AB = 2BC(Chuyên Lê Quý Đôn - Quảng Trị 02)4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, viết phương trình chính tắc của elip (E) biết khi M thay đổitrên (E) thì độ dài nhỏ nhất của OM bằng 4 và độ dài lớn nhất của MF1bằng 8 với F1là tiêuđiểm có hoành độ âm của (E).(Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An 01)5. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, lập phương trình chính tắc của elip (E), biết có một đỉnhvà hai tiêu điểm của (E) tạo thành một tam giác đều và chu vi hình chữ nhật cơ sở của (E) là12(2 +√3).(Chuyên Vĩnh Phúc 05 - Tạp chí THTT 06)6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip (E) có phương trìnhx29+y25= 1. Gọi F1,F2là haitiêu điểm của (E). Tìm điểm M ∈ (E) sao cho MF1= 2MF2(THPT Phan Đăng Lưu - Nghệ An)7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip (E) :x216+y29= 1 và đường thẳng d : 3x+4y−12 =0. Gọi các giao điểm của đường thẳng d và elip (E) là A,B. Tìm trên (E) điểm C sao cho tamgiác ABC có diện tích bằng 6.(THPT Mai Anh Tuấn - Thanh Hóa)Email: 10 Lê Minh An - ĐHSP Thái NguyênDiễn đàn Toán học – http://www.diendantoanhoc.net/forum3.1 Bài toán Elip qua các kì thi thử 2013 3 TUYỂN TẬP CÁC ĐỀ TOÁN8. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho elip (E) :x29+y24= 1 và các điểm A(−3;0), I(−1; 0).Tìm tọa độ các điểm B,C ∈ (E) sao cho I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.(Chuyên Vĩnh Phúc - Lần 2)9. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip (E) :x24+y21= 1 và hai điểm A(−√3; 0), B(√3; 0).Tìm điểm M ∈(E) sao choAMB = 60o(THPT Phan Đăng Lưu - Nghệ An)10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho elip (E) :x2100+y225= 1. Tìm tọa độ điểm K nằm trên elip saocho K nhìn các tiêu điểm dưới một góc 120o.(Diễn đàn Truonghocso.vn)11. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip (E) : 9x2+25y2= 225. Gọi F1,F2là hai tiêu điểmcủa (E) (xF1< xF2). Xét tứ giác F1F2BA có tổng độ dài hai đường chéo là 6 (A,B ∈ (E)). Hãyxác định tọa độ của A,B để chu vi tứ giác F1F2BA nhỏ nhất.(Chuyên Lê Hồng Phong - TP. Hồ Chí Minh)12. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip (E) :x225+y29= 1 có hai tiêu điểm F1,F2. Tìm tọađộ điểm M ∈ (E) sao cho bán kính đường tròn nội tiếp tam giác MF1F2bằng43(Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An 02)13. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip (E) :x225+y29= 1. Một hình chữ nhật M NPQ cócác đỉnh nằm trên (E) và hai đường chéo của hình chữ nhật hợp với nhau góc 60o. Tìm tọa độđỉnh M biết xM> 0, yM> 0.(THPT Thanh Thủy - Phú Thọ 02)14. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip (E) thỏa mãn khoảng cách giữa hai đường chuẩncủa (E) bằng8√33, điểm M có hoành độ dương thuộc (E) sao cho độ lớn 2 bán kính qua tiêulà52và32. Tìm tọa độ điểm M và viết phương trình chính tắc của (E).(Diễn đàn K2pi 14)15. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip (E) :x216+y25= 1 và hai điểm A(−5;−1),B(−1;1).Xác định tọa độ điểm M ∈(E) sao cho diện tích ∆MAB lớn nhất.(THPT Minh Khai - Hà Tĩnh)16. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip (E) :x216+y29= 1 và hai điểm A(4;−3),B(−4;3).Tìm tọa độ điểm C ∈ (E) sao cho diện tích tam giác ABC đạt giá trị lớn nhất.(THPT Hà Trung - Thanh Hóa)Email: 11 Lê Minh An - ĐHSP Thái NguyênDiễn đàn Toán học – http://www.diendantoanhoc.net/forum3.1 Bài toán Elip qua các kì thi thử 2013 3 TUYỂN TẬP CÁC ĐỀ TOÁN17. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông cân tại A(−2;0), nội tiếp elip(E) :x24+ y2= 1. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.(Chuyên Lê Quý Đôn - Quảng Trị 03)18. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(3; 0) và elip (E) có phương trìnhx29+ y2= 1.Tìm tọa độ điểm B,C ∈ (E) sao cho tam giác ABC vuông cân tại A, biết B có hoành độ dương.(Chuyên Nguyễn Quang Diệu - Đồng Tháp 02)19. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : 2x+y +3 = 0 và elip (E) :x24+y21= 1.Viết phương trình đường thẳng ∆ vuông góc với d cắt (E) tại hai điểm A, B sao cho SOAB= 1.( THPT Cù Huy Cận - Hà Tĩnh)20. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip (E) :x29+y24= 1 và điểm M(2; 1). Viết phươngtrình đường thẳng ∆ đi qua M và cắt (E) tại hai điểm phân biệt A,B sao cho M là trung điểmcủa AB.(Chuyên Lý Tự Trọng - Cần Thơ 02)21. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip (E) :x216+y29= 1 và đường thẳng ∆ : x +y+9 = 0.Viết phương tr ình đường tròn (C) có bán kính nhỏ nhất sao cho tâm của (C) thuộc đường thẳng∆ và (C) có một điểm chung duy nhất với (E).(THPT Thuận Thành - Bắc Ninh 03)22. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip (E) :x2a2+y2b2= 1 và đường thẳng ∆ :xoa2x +yob2y −1 = 0. Trong đó M (xo,yo) ∈(E). CMR: Tích khoảng cách từ các tiêu điểm của (E) tới ∆ bằngb2.(Tạp chí THTT 07)23. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip (E) :x22013+y22012= 1. Gọi F1,F2là hai tiêu điểmcủa (E), M là điểm tùy ý trên (E). CMR: MF1.MF2+ OM2= 4025( THPT Dương Đình Nghệ - Thanh Hóa)24. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng ∆ : x + y + 4 = 0 và hai elip (E1) :x210+y26= 1, (E2) :x2a2+y2b2= 1 (a > b > 0) có cùng tiêu điểm. Biết rằng (E2) đi qua điểm M ∈∆.Tìm tọa độ điểm M sao cho (E2) có độ dài trục lớn nhỏ nhất.(THPT Quỳnh Lưu - Nghệ An 02)25. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d : 2x +y +3 = 0 và elip (E) :x24+y21= 1. Viếtphương trình đường thẳng ∆ vuông góc với đường thẳng d cắt (E) tại hai điểm A,B sao cho diệntích tam giác AOB bằng 1.(Thi thử Hocmai - Thầy Lê Bá Trần Phương - Đề 02)Email: 12 Lê Minh An - ĐHSP Thái NguyênDiễn đàn Toán học – http://www.diendantoanhoc.net/forum3.2 Các bài tập sưu tầm 3 TUYỂN TẬP CÁC ĐỀ TOÁN3.2 Các bài tập sưu tầm1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(1,2) và đường tròn (C) : x2+ y2= 21. Viếtphương trình chính tắc của elip (E) biết hình chữ nhật cơ sở của (E) nội tiếp (C) và điểm Mnhìn hai tiêu điểm của (E) dưới một góc 60o2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(0; 5). Lập phương trình chính tắc của elip (E) biết(E) đi qua A và có hình chữ nhật cơ sở nội tiếp đường tròn (C) : x2+ y2= 41.3. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : x −√5 = 0. Lập phương trìnhchính tắc của elip (E), biết một cạnh hình chữ nhật cơ sở của (E) nằm trên d và hình chữ nhậtđó có độ dài đường chéo bằng 6.4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(−√3; 1) đường elip (E) đi qua điểm M và có khoảngcách giữa hai đường chuẩn là 6. Lập phương trình chính tắc của (E).5. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình x2+y2= 9. Lập phươngtrình chính tắc của elip có tâm sai e =13. Biết (E) cắt (C) tại 4 điểm phân biệt A,B,C,D saocho AB song song với Ox và AB = 3BC.6. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho elip (E) có độ dài trục lớn là 6 và qua điểmM3√22;√2.Điểm N nằm trên (E) cách O một đoạn có độ dài bằng√5. Tìm tọa độ N?7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, viết phương trình đường thẳng đi qua M23;23và cắt elip(E) :x24+y21= 1 tại hai điểm phân biệt A,B sao cho MA = 2MB8. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M di động trên elip (E) :x29+y24= 1. Gọi H,K là hìnhchiếu của M lên các trục tọa độ. Xác định tọa độ của M diện tích OHMK đạt giá trị lớn nhất.9. Trong mặt phẳng Oxy cho elip (E) :x29+y24= 1 và đường thẳng d : y = x+m. d cắt (E) tại haiđiểm P,Q. Gọi P,Qlần lượt là điểm đối xứng của P,Q qua O. Tìm m để PQPQlà hình thoi.10. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip (E) :x225+y29= 1. Tìm điểm M ∈ (E) sao chođường phân giác trong gócF1MF2đi qua điểm N−4825; 0[k2pi.net]11. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip (E) :x2a2+y2b2= 1 (a > b > 0) thỏa mãn√a2−b2a=√22. Hình chữ nhật cơ sở cắt Ox tại A,A, cắt Oy tại B,B, đường tròn nội tiếp tứ giác ABABcódiện tích bằng 4π . Tìm a,b[k2pi.net]Email: 13 Lê Minh An - ĐHSP Thái NguyênDiễn đàn Toán học – http://www.diendantoanhoc.net/forum3.2 Các bài tập sưu tầm 3 TUYỂN TẬP CÁC ĐỀ TOÁN12. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho Elip (E)x29+y24= 1. Từ điểm A có tọa dương thuộc(E) ta dựng hình chữ nhật ABCD nội tiếp trong (E) có các các cạnh song song với các trục tọađộ và diện tích hình chữ nhật ABCD là lớn nhất. Hãy tìm tọa độ đỉnh A[k2pi.net]13. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip (E) :x24+y23= 1. Tìm M ∈ (E) sao cho MF21+7MF22đạt giá trị nhỏ nhất.[Boxmath.vn]14. Trong mặt phẳng tọa độ Ox y, cho elip (E) :x28+y24= 1 có các tiêu điểm F1,F2. Đường thẳngd đi qua F2và song song với đường phân giác của góc phần tư thứ nhất cắt (E) tại A,B. Tínhdiện tích tam giác ABF1.[Boxmath.vn]15. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip (E) :x28+y22= 1. Viết phương trình đường thẳngd cắt (E) tại hai điểm phân biệt có tọa độ nguyên.[Boxmath.vn]Email: 14 Lê Minh An - ĐHSP Thái NguyênDiễn đàn Toán học – http://www.diendantoanhoc.net/forum4 LỜI GIẢI HOẶC HƯỚNG DẪN4 Lời giải hoặc hướng dẫn4.1 Bài toán Elip qua các kì thi thử 20131. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC đều có A(0; 2) và có trục đối xứng Oy,SABC=49√312. Viết phương trình chính tắc của elip (E) qua 3 điểm A,B,CLời giải:Gọi phương trình elip(E) :x2a2+y2b2= 1 (a > b > 0)Ta có: A(0; 2) = (E) ∩Oy nên A là một đỉnh của elip ⇒b = 2Lại có: SABC=12.d(A,BC).BC49√312. Mà ∆ABC đều nên:d(A,BC ) = AB.sinABC = BC.sin 60o⇒ BC =2√3d(A,BC )⇒12d(A,BC ).2√3d(A,BC ) =49√312⇔ d(A, BC) =72(1)Mặt khác: Oy là trục đối xứng của ∆ABC đều nên BC⊥Oy⇒ Phương trình BC : y = m với m ∈ (−2;2) (2)Từ (1) và (2) ⇒ |m −2| =72⇔m = −32m =112⇒ m = −32Elip không thay đổi nếu ta thay đổi vị trí của B và C với nhau nên ta có thể giả sử xB< 0⇒ B−7√36; −32. Thay vào phương trình (E) ta được:4912a2+916= 1 ⇔a2=283(Thỏa mãn)Vậy phương trình elip là (E) :x2283+y24= 12. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(2√3; 2). Viết phương trình chính tắc của elip(E) đi qua M, biết M nhìn hai tiêu điểm của (E) dưới một góc vuông.Lời giải:Giả sử phương trình chính tắc của elip (E) là:x2a2+y2b2= 1 (a > b > 0)M ∈ (E) ⇔12a2+4b2= 1F1MF2= 90o⇒ MO =12F1F2= c ⇒a2−b2= 16Suy raa2= 24b2= 8⇒ (E) :x224+y28= 1Email: 15 Lê Minh An - ĐHSP Thái NguyênDiễn đàn Toán học – http://www.diendantoanhoc.net/forum4.1 Bài toán Elip qua các kì thi thử 2013 4 LỜI GIẢI HOẶC HƯỚNG DẪN3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : x2+ y2= 16. Viết phương trình chínhtắc của elip (E) biết tâm sai của (E) là e =12, (E) cắt (C) tại bốn điểm phân biệt A, B,C,D sao choAB song song với trục hoành và AB = 2BCLời giải:Giả sử phương trình chính tắc của (E) là:x2a2+y2b2= 1 (a > b > 0)Ta có: e =ca=√a2−b2a=12⇔ b2=34a2(∗)Vì (E) và (C) đều nhận Ox,Oy làm các trục đối xứng và AB = 2BC nên giả sử tọa độ B(2t;t), (t > 0)Thay tọa độ B vào phương trình trình (C ) ta được t2=15, thay vào phương trình (E) cùng với (∗) tađược a2=25615; b2=645Vậy phương trình chính tắc của (E) là:x225615+y2645= 14. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, viết phương trình chính tắc của elip (E) biết khi M thay đổitrên (E) thì độ dài nhỏ nhất của OM bằng 4 và độ dài lớn nhất của MF1bằng 8 với F1là tiêu điểmcó hoành độ âm của (E).Lời giải:Cách 1:Giả sử phương trình chính tắc của elip (E) làx2a2+y2b2= 1 (a > b > 0)M(x,y) ∈(E) ⇒ MF1= a +cxa, mà −a ≤ x ≤ a nên MF1lớn nhất bằng a + c khi x = a,y = o.Vì a > b nênx2a2≤x2b2⇒ 1 =x2a2+y2b2≤x2+ y2b2=OM2b2⇒ OM ≥b.Do đó giá trị nhỏ nhất của OM bằng b khi x = 0, y = ±b.Kết hợp giả thiết ta có:b = 4a + c = 8⇔b = 4a = 5Vậy phương trình (E) :x225+y216= 1Cách 2:Gọi M (x0; y0) ∈ (E) khi dó ta cóMF1= a +cx0a≤ a + c →MaxMF1= a + c → a + c = 8Mặt khácOM =x20+ y20=a2sin2α + b2cos2α =a2−c2cos2α ≥a2−c2→a2−c2= 4. Vói x0= asinα ; y0= bcosα . Khi đó ta có hệa + c = 8a2−c2= 16→ a = 5,c = 3,b = 4Email: 16 Lê Minh An - ĐHSP Thái NguyênDiễn đàn Toán học – http://www.diendantoanhoc.net/forum4.1 Bài toán Elip qua các kì thi thử 2013 4 LỜI GIẢI HOẶC HƯỚNG DẪN5. lập phương trình chính tắc của elip (E), biết có một đỉnh và hai tiêu điểm của (E) tạo thành mộttam giác đều và chu vi hình chữ nhật cơ sở của (E) là 12(2 +√3).Lời giải:Gọi phương trình chính tắc của elip (E) là:x2a2+y2b2= 1 (a > b > 0)⇒ Chu vi của hình chữ nhật cơ sở là 2(2a + 2b)⇒ 2(2a + 2b) = 12(2 +√3) ⇔ a + b = 3(2 +√3) (1)Do các đỉnh A1(−a; 0), A2(a; 0) và F1(−c; 0), F2(c; 0) cùng nằm trên Ox nên theo giả thiết F1, F2cùngvới đỉnh B2(0; b) trên Oy tạo thành một tam giác đều ⇔B2F2= F1F2= B2F1(∗)Ta thấy: F1,F2đối xứng nhau qua Oy nên ∆B2F1F2luôn là tam giác cân tại B2Do đó: (∗) ⇔ B2F2= F1F2⇔√c2+ b2= 2c ⇔b2= 3c2Lại có: a2−c2= b2⇒ 3a2= 4b2(2)Từ (1) và (2) suy ra: a = 6 và b = 3√3Vậy phương trình chính tắc của (E) là:x236+y227= 16. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip (E) có phương tr ìnhx29+y25= 1. Gọi F1,F2là haitiêu điểm của (E). Tìm điểm M ∈ (E) sao cho MF1= 2MF2.Lời giải:Ta có: (E) :x29+y25= 1 ⇒a = 3,b =√5 ⇒c =√a2−b2= 2 ⇒F1(−2; 0), F1(2; 0)Khi đó: MF1= a +acxM= 3 +23xM, MF2= a −acxM= 3 −23xMMà MF1= 2MF2⇔ 3 −23xM= 23 +23xM⇒ xM= −32, yM= ±√152Vậy có hai điểm M thỏa mãn: M−32;√152; M−32;√1527. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip (E) :x216+y29= 1 và đường thẳng d : 3x+4y−12 = 0.Gọi các giao điểm của đường thẳng d và elip (E) là A,B. Tìm trên (E) điểm C sao cho tam giác ABCcó diện tích bằng 6.Lời giải:Ta có: A,B = d ∩(E) nên tìm được tọa độ là A(4; 0),B(0; 3) hoặc B(4; 0),A(0; 3) ⇒ AB = 5Gọi C(a, b) ∈(E) ⇒a216+b29= 1 (1)Mặt khác: SABC=12AB.d(C, AB) =12AB.d(C, d) =|3a + 4b −12|2Mà SABC= 6 ⇒|4a + 3b −12| = 12 ⇔3a + 4b = 243a + 4b = 0(2)Từ (1) và (2) ta tìm được C2√2; −3√2hoặc C−2√2;3√2Email: 17 Lê Minh An - ĐHSP Thái NguyênDiễn đàn Toán học – http://www.diendantoanhoc.net/forum4.1 Bài toán Elip qua các kì thi thử 2013 4 LỜI GIẢI HOẶC HƯỚNG DẪN8. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho elip (E) :x29+y24= 1 và các điểm A(−3; 0), I(−1;0).Tìm tọa độ các điểm B,C ∈ (E) sao cho I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.Lời giải:Gọi (C) là phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, (C) có tâm I(−1; 0) bán kính IA = 2.Phương trình (C) : x2+ y2+ 2x −3 = 0.Do B,C ∈ (E) nên tọa độ của B,C là nghiệm hệ:x2+ y2+ 2x −3 = 0x29+y24= 1⇒x = −3x = −35− Với x = −3 ⇒y = 0 ⇒ B tức là trùng với A hoặc C trùng với A (không thỏa mãn)− Với x = −35⇒ y = ±4√65.Đáp số: B1−35;4√65,C1−35; −4√65; B2−35; −4√65,C2−35;4√659. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip (E) :x24+y21= 1 và hai điểm A(−√3; 0), B(√3; 0).Tìm điểm M ∈(E) sao choAMB = 60o.Lời giải:Giả sử M(x,y) ∈ (E)Ta thấy A,B chính là các tiêu điểm của elip (E) ⇒ MA = a+ex = 2 +√32x, MB = a −ex = 2 −√32xAB2= MA2+ MB2−2MA.MB.cos 60o= (MA + MB)2−3MA.MB (1)Mà AB2= 12, MA + MB = 4, ,MA.MB = 4 −34x2. Thay vào (1) ta tìm được x = ±4√23Mà M ∈ (E) ⇒y2= 1 −x24=19⇒ y = ±13. Vậy có 4 điểm thỏa mãn±4√23; ±1310. (Tương tự bài tập trên)11. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip (E) : 9x2+ 25y2= 225. Gọi F1,F2là hai tiêu điểmcủa (E) (xF1< xF2). Xét tứ giác F1F2BA có tổng độ dài hai đường chéo là 6 (A,B ∈ (E)). Hãy xácđịnh tọa độ của A,B để chu vi tứ giác F1F2BA nhỏ nhất.Lời giải:(E) :x225+y29= 1 ⇒a = 5; b = 3;c = 4Ta có F1B + F2A = 6 mà F1B + F2A + F2B + F1A = 4a = 20 ⇒ F2B + F2A = 14Vì F1B + F2A = 6 ⇒ a + exB+ a −exA= 6 ⇒10 −45(xB−xA) = 6 ⇒ xB−xA= 5Do đó chu vi tứ giác là: P = F1F2+ F2B + BA + F1A = 8 + 14 + AB = 22 + AB= 22 +(xB−xA)2+ (yB−yA)2≥ 22 +(xB−xA)2= 22 + 5 = 27Đẳng thức xảy ra ⇔yA= yBxB−xA= 5⇔x2A= x2BxB−xA= 5⇔xA+ xB= 0xB−xA= 5⇔xA= −52xB=52Email: 18 Lê Minh An - ĐHSP Thái NguyênDiễn đàn Toán học – http://www.diendantoanhoc.net/forum4.1 Bài toán Elip qua các kì thi thử 2013 4 LỜI GIẢI HOẶC HƯỚNG DẪNKhi đó94+ y2B= 9 ⇔y2B=274⇔ yB= ±3√32Vậy A−52;3√32; B52;3√32hay A−52; −3√32; B52; −3√32.Thì P đạt giá trị nhỏ nhất và min P = 2712. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip (E) :x225+y29= 1 có hai tiêu điểm F1,F2. Tìm tọađộ điểm M ∈ (E) sao cho bán kính đường tròn nội tiếp tam giác MF1F2bằng43.Lời giải:a = 5;b = 9 ⇒ c = 4 ⇒ p =MF1+ MF2+ F2F22= 9⇒ SMF1F2= pr = 9.43=12.d(M,Ox).8 ⇒d(M; Ox) = 3 = |yM| ⇒ yM= ±3Do đó M(m,3) hoặc M(m,−3).Vì M ∈(E) nên m = 0Vậy M(0; 3) và M(0; −3) là hai điểm thỏa mãn bài toán.13. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip (E) :x225+y29= 1. Một hình chữ nhật MNPQ cócác đỉnh nằm trên (E) và hai đường chéo của hình chữ nhật hợp với nhau góc 60o. Tìm tọa độ đỉnhM biết xM> 0, yM> 0.Lời giải:Vì hình chữ nhật có hai trục đối xứng cũng là trục dối xứng của (E) nên góc giữa hai đường chéo củahình chữ nhật bằng 60othì góc hợp bởi OM và chiều dương trục Ox sẽ là ϕ bằng 30ohoặc 60oTH1: ϕ = 30othì hệ số góc của OM bằng tan30o=1√3⇒ phương trình OM : y =1√3xKhi đó tọa độ M là nghiệm hệ:x225+y29= 1y =√33x (x > y > 0)⇒ M67552;675156TH2: ϕ = 60othì hệ số góc của OM là tan60o=√3 ⇒ phương trình OM : y =√3xKhi đó tọa độ M là nghiệm hệ:x225+y29= 1y =√3x (y > x > 0)⇒ M7528;22528Vậy có hai điểm M thỏa mãn điều kiện đề bài: M7528;22528; M67552;67515614. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip (E) thỏa mãn khoảng cách giữa hai đường chuẩncủa (E) bằng8√33, điểm M có hoành độ dương thuộc (E) sao cho độ lớn 2 bán kính qua tiêu là52và32. Tìm tọa độ điểm M và viết phương trình chính tắc của (E).Lời giải:Email: 19 Lê Minh An - ĐHSP Thái NguyênDiễn đàn Toán học – http://www.diendantoanhoc.net/forum4.1 Bài toán Elip qua các kì thi thử 2013 4 LỜI GIẢI HOẶC HƯỚNG DẪNGiả sử phương trình của (E) là:x2a2+y2b2= 1 (a > b > 0)Khi đó phương trình của hai đường chuẩn là: ∆1: x = −ae; ∆2: x =ae⇒ d(∆1; ∆2) =8√33⇔ 2ae=4√33⇔a2c=4√33(1)Bán kính qua tiêu của M ∈(E) là: MF1= a +caxM; MF2= a −caxM. Do xM> 0 nêna +caxM=52a −caxM=32⇔a = 2cxM= 1(2)Từ (1) và (2) ta được: a = 2, c =√3 ⇒b = 1 và xM=√33Do đó: (E) :x24+y21= 1; M√33; ±√33615. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip (E) :x216+y25= 1 và hai điểm A(−5; −1),B(−1; 1).Xác định tọa độ điểm M ∈(E) sao cho diện tích ∆MAB lớn nhất.Lời giải:Phương trình đường thẳng AB : x −2y + 3 = 0. AB = 2√5Giả sử M(xo,yo) ∈ (E) ⇒5x2o+ 16y2o= 80Mặt khác:d(M,AB) =|xo−2yo+ 3|√5⇒ SMAB=12AB.d(M,AB) = |xo−2yo−3|Ta có:1√5.√5xo−12.4yo2≤15+14(5x2o+ 16y2o) = 36⇒ |xo−2yo| ≤ 6 ⇒ |xo−2yo+ 3| ≤ 9Do đó:max SMAB= 9 ⇔√5xo1√5=4y−12xo−2yo+ 3 = 9⇔xo=83yo= −53Đáp số: M83; −5316. (Tương tự bài tập trên)Đáp số: Có hai điểm C thỏa mãn:2√2;3√22,−2√2; −3√2217. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông cân tại A(−2;0), nội tiếp elip(E) :x24+ y2= 1. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.Email: 20 Lê Minh An - ĐHSP Thái NguyênDiễn đàn Toán học – http://www.diendantoanhoc.net/forum4.1 Bài toán Elip qua các kì thi thử 2013 4 LỜI GIẢI HOẶC HƯỚNG DẪNLời giải:Tam giác ABC vuông cân tại A nội tiếp (E):x24+ y2= 1 A(−2; 0)Nên nếu B(xo,yo) thì C(xo; −yo) ⇒ I(xo; 0) là trung điểm của BCTam giác ABC vuông tại A ⇒ AI =12BC ⇔|xo+ 2| = |yo|⇔ x2o+ 4xo+ 4 = 1 −xo4(|xo| < 2) ⇔xo= −2 ( loại)xo= −65Đường tròn (C) cần tìm có tâm I−65; 0, bán kính R =12BC =45Vậy (C) :x +652+ y2=1625.18. (Tương tự bài tập trên)Đáp số: B125;35; C125; −3519. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : 2x+y+ 3 = 0 và elip (E) :x24+y21= 1.Viết phương trình đường thẳng ∆ vuông góc với d cắt (E) tại hai điểm A, B sao cho SOAB= 1.Lời giải:Vì ∆⊥d ⇒ phương trình ∆ : x + 2y −m = 0. Khi đó tọa độ A, B là nghiệm hệ:x + 2y −m = 0x24+y21= 1⇔x = 2y −m8y2−4my + m2−4 = 0 (1)d cắt (E) tại hai điểm phân biệt A,B ⇔ (1) có hai nghiệm phân biệt⇔ ∆ = 32 −4m2> 0 ⇔m ∈(−2√2; 2√2)Khi đó gọi y1,y2là nghiệm của (1) ⇒y1+ y2=m2y1y2=m2−48Ta được tọa độ A,B là A(2y1−m; y1),B(2y2−m; y2).⇒ AB2= 5(y2−y1)2= 5[(y1+ y2)2−4y1y2] =5(8 −m2)4⇒ AB =5(8 −m2)2Mặt khác: d(O; AB) = d(O; ∆) =|m|√5⇒ SOAB=12d(O,AB).AB =m2(8 −m2)4= 1⇒ m = ±2 (thỏa mãn)Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn: ∆1: x −2y + 2 = 0; ∆2: x −2y −2 = 020. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip (E) :x29+y24= 1 và điểm M(2; 1). Viết phươngtrình đường thẳng ∆ đi qua M và cắt (E) tại hai điểm phân biệt A,B sao cho M là tr ung điểm của AB.Lời giải:Thay tọa độ M vào vế trái phương trình (E) ta được:49+14=2536< 1Email: 21 Lê Minh An - ĐHSP Thái NguyênDiễn đàn Toán học – http://www.diendantoanhoc.net/forum4.1 Bài toán Elip qua các kì thi thử 2013 4 LỜI GIẢI HOẶC HƯỚNG DẪN⇒ M nằm ở miền trong của (E).⇒ Nếu ∆ đi qua M thì ∆ luôn cắt (E) tại hai điểm phân biệt A,B thỏa mãn M nằm giữa A và B.Giả sử A(xA; yA),B(xb; yB). Do A,B ∈ (E) nên ta có hệ:4x2A+ 9y2A= 36 (1)4x2B+ 9y2B= 36 (2)Trừ vế với vế của (1) và (2) ta được: 4(xB+ xA)(xB−xA) + 9(yB+ yA)(yB−yA) = 0 (3)Vì M là trung điểm AB nên:xA+ xB= 2xM= 4yA+ yB= 2yM= 2(4)Thế (4) vào (3), ta được:16(xB−xA) + 18(yB−yA) = 0 ⇔ 8(xB−xA) + 9(yB−yA) = 0 (5)Do−→AB = (xB−xA; yB−yA) là một VTCP của ∆ nên từ (5) ta có VTPT của ∆ là−→n = (8; 9)Vậy ∆ đi qua M(2; 1) và có VTPT−→n = (8; 9) ⇒ phương trình ∆ : 8x + 9y −25 = 0Bài tập tương tự: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip (E) có hình chữ nhật cơ sở có diệntích bằng 24, chu vi bằng 20 và điểm M(1; 1). Viết phương trình đường thẳng qua M cắt (E) tại haiđiểm phân biệt sao cho M là trung điểmĐáp số: 4x + 9y −13 = 021. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip (E) :x216+y29= 1 và đường thẳng ∆ : x+ y +9 = 0.Viết phương trình đường tròn (C) có bán kính nhỏ nhất sao cho tâm của (C) thuộc đường thẳng ∆và (C ) có một điểm chung duy nhất với (E).Lời giải:Giả sử M(xo; yo) ∈ (E) ⇒x2o16+y2o9= 1 (∗), d(M,∆) =|xo+ yo+ 9|√2Ta có: (xo+ yo)2=4.xo4+ 3.yo32≤ (16 + 19)x2o16+y2o9= 25⇒ −5 ≤xo+ yo≤ 5 ⇒ 4 ≤ xo+ yo+ 9 ≤14 ⇒ 2√2 ≤|xo+ yo+ 9|√2≤ 7√2min d(M,∆) = 2√2 ⇔x2o16+y2o9= 1xo16=yo9xo+ yo= −5⇔xo= −165yo= −95⇒ M−165; −95⇒ mind(M,∆) = 2√2 khi M−165; −95Gọi I là hình chiếu của M lên ∆ ⇒ IM = d(M,∆), khi đó IM là đoạn thẳng nhỏ nhất nối một điểmtrên (E) với một điểm trên ∆ (Vì giả sử N ∈ (E) bất kì, N = M, J ∈ ∆, Ilà hình chiếu của N trên ∆thì JN ≥IN > IM)Do đó, đường tròn (C) cần tìm chính là đường tròn tâm I bán kính IM . Vì ∀M∈ (E), M = M⇒IM> IM ⇒ M/∈ (C) nên (C) và (E) chỉ có một điêm chung là M, hơn nữa bán kính IM là nhỏ nhất(chứng mình trên).Ta tìm được tọa độ I là: I−265; −195⇒ Phương trình (C) :x +2652+y +1952= 8Email: 22 Lê Minh An - ĐHSP Thái NguyênDiễn đàn Toán học – http://www.diendantoanhoc.net/forum4.1 Bài toán Elip qua các kì thi thử 2013 4 LỜI GIẢI HOẶC HƯỚNG DẪN22. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip (E) :x2a2+y2b2= 1 và đường thẳng ∆ :xoa2x +yob2y −1 = 0. Trong đó M(xo,yo) ∈ (E). CMR: Tích khoảng cách từ các tiêu điểm của (E) tới ∆ bằng b2.Lời giải:Ta có: M ∈ (E) ⇒x2oa2+y2ob2= 1 ⇔x2ob2= a2b2−y2oa2. Từ đó ta được:d(F1,∆).d(F2,∆) =xoca2−1.xoca2+ 1x2oa4+y2ob4=b4|x2oc2−a4|x2ob4+ y2oa4= b2.|x2ob2(a2−b2) −a4b2|x2ob4+ y2oa4= b2.|−x2ob4+ (x2ob2)a2−a4b2|x2ob4+ y2oa4= b2.|−x2ob4+ (a2b2−y2oa2)a2−a4b2|x2ob4+ y2oa4= b223. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip (E) :x22013+y22012= 1. Gọi F1,F2là hai tiêu điểmcủa (E), M là điểm tùy ý trên (E). CMR: MF1.MF2+ OM2= 4025Lời giải:(E) :x22013+y22012= 1 ⇒ e =1√2013Gọi M(x,y) ∈(E) ⇒ MF1=√2013 + ex, MF2=√2013 −ex⇒ MF1.MF2=√2013 + ex√2013 −ex= 2013 −e2x2= 2013 −x22013⇒MF1.MF2+OM2= 2013 −x22013+x2+y2= 2013 +2012x22013+y22012= 2013 +2012 = 402524. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng ∆ : x+y+4 = 0 và hai elip (E1) :x210+y26=1, (E2) :x2a2+y2b2= 1 (a > b > 0) có cùng tiêu điểm. Biết rằng (E2) đi qua điểm M ∈ ∆. Tìm tọađộ điểm M sao cho (E2) có độ dài trục lớn nhỏ nhất.Lời giải:Hai elip có các tiêu điểm là F1(−2; 0), F2(2; 0)M ∈ (E2) ⇒ M F1+ MF2= 2a. Mà độ dài trục lớn là 2a nên độ dài trục lớn nhỏ nhất khi và chỉ khiMF1+ MF2nhỏ nhất.Dễ thử thấy F1,F2cùng phía với ∆Gọi N(x, y) là điểm đối xứng với F2qua ∆, khi đó ta tìm được N(−4; −6).Mà MF1+ MF2= MF1+ MN ≥NF1(không đổi). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi M = NF1∩∆Tọa độ M là nghiệm hệ:3x −y + 6 = 0x + y + 4 = 0⇔x = −52y = −32Vậy tọa độ M là: M−52; −32Email: 23 Lê Minh An - ĐHSP Thái NguyênDiễn đàn Toán học – http://www.diendantoanhoc.net/forum4.1 Bài toán Elip qua các kì thi thử 2013 4 LỜI GIẢI HOẶC HƯỚNG DẪN25. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d : 2x + y + 3 = 0 và elip (E) :x24+y21= 1. Viếtphương trình đường thẳng ∆ vuông góc với đường thẳng d cắt (E) tại hai điểm A,B sao cho diện tíchtam giác AOB bằng 1.Lời giải:Vì ∆⊥d nên phương trình d có dạng: x −2y + m = 0. Khi đó, A,B là nghiệm hệ:x −2y + m = 0x24+ y2= 1⇔x = 2y −m8y2−4my + m2−4 = 0 (∗)Để d cắt (E) tại hai điểm phân biệt A, B thì hệ phải có hai nghiệm phân biệt⇔ (∗) có hai nghiệm phân biệt ⇔∆= 32 −4m2> 0 ⇔m ∈−2√2; 2√2(1)Gọi A(2y1−m; y1),B(2y2−m; y2), trong đó y1,y2là nghiệm (∗)⇒ AB2= 5(y2−y1)2= 5(y1+ y2)2−4y1y2=54(8 −m2)Đường cao OH = d(,∆) =|OH|√5⇒S2OAB=12OH.AB2=116m2(8 −m2) = 1 ⇔ m = 4 ⇔ m = ±2Đáp số: ∆1: x −2y + 2 = 0, ∆2: x −2y −2 = 0.Email: 24 Lê Minh An - ĐHSP Thái NguyênDiễn đàn Toán học – http://www.diendantoanhoc.net/forum4.2 Các bài tập sưu tầm 4 LỜI GIẢI HOẶC HƯỚNG DẪN4.2 Các bài tập sưu tầm1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(1, 2) và đường tròn (C) : x2+ y2= 21. Viếtphương trình chính tắc của elip (E) biết hình chữ nhật cơ sở của (E) nội tiếp (C) và điểm M nhìnhai tiêu điểm của (E) dưới một góc 60oLời giải:Giả sử (E) có phương trình chính tắc là (E) :x2a2+y2b2= 1 (a > b > 0)⇒ Độ dài các cạnh của hình chữ nhật cơ sở là 2a,2b ⇒ độ dài đường chéo của nó là 2√a2+ b2(1)Đường tròn (C) có tâm O(0; 0) bán kính R =√21. Hình chữ nhật cơ sở nội tiếp (C) nên tâm của hìnhchữ nhật cơ sở trùng với tâm của (C) (2)Từ (1) và (2) ⇒ 2√a2+ b2= 2R ⇔a2+ b2= 21 (3)Mặt khác: Tiêu điểm của (E) là F1(−c; 0), F2(c; 0).F1MF2= 60o⇒ F1F22= MF21+ MF22−2MF1.MF2.cos 60o⇔ 4c2= (2 + c)2+ 1 + (2 −c)2+ 1 −1 + (2 + c)2.1 + (2 −c)2⇔ 3c4−34c2+ 75 = 0 ⇔c2= 3c2=253Với c2= 3 ⇔a2−b2= 3 kết hợp với (3) tìm được a2= 12, b2= 9Với c2=253⇔ a2−b2=253kết hợp với (3) tìm được a2=443, b2=193Đáp số: (E1) :x212+y29= 1, (E2) :x2443+y2193= 12. (Tương tự bài tập trên)Đáp số: (E) :x225+y216= 1.3. (Tương tự bài tập trên)Đáp số: (E) :x25+y24= 1.4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(−√3; 1) đường elip (E) đi qua điểm M và có khoảngcách giữa hai đường chuẩn là 6. Lập phương trình chính tắc của (E).Bạn đọc tự giải.Chú ý: Phương trình hai đường chuẩn là x = ±aenên khoảng cách giữa chúng là 2ae=a2c= 6Đáp số: (E) :x26+y22= 1.5. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình x2+ y2= 9. Lập phươngtrình chính tắc của elip có tâm sai e =13. Biết (E) cắt (C) tại 4 điểm phân biệt A, B,C,D sao cho ABsong song với Ox và AB = 3BC.Lời giải:Giả sử elip (E) :x2a2+y2b2= 1 (a > b > 0)Email: 25 Lê Minh An - ĐHSP Thái Nguyên |
