Mô men quán tính là một đại lượng vật lý (với đơn vị đo trong SI là kilôgam mét vuông kg m2) đặc trưng cho mức quán tính của các vật thể trong chuyển động quay, tương tự như khối lượng trong chuyển động thẳng.
Có ba loại mô-men quán tính khác nhau: mômen quán tính khối lượng, mô-men quán tính mặt phẳng tiết diện và mô men quán tính cực. Sau đây chúng ta sẽ tìm hiểu sự khác biệt giữa chúng và tác động cua chúng lên vật quay.
Mômen quán tính khối lượng
Mômen quán tính khối lượng của một vật mô tả khả năng chống lại gia tốc góc, khả năng này phụ thuộc vào cách phân bổ khối lượng của vật thể đối với trục quay (tức là hình dạng của vật thể).
Mômen quán tính khối lượng thường được ký hiệu là “I”, mặc dù “J” thường được sử dụng trong các tài liệu tham khảo kỹ thuật, chẳng hạn như thông số kỹ thuật quán tính của động cơ hoặc hộp số. Đơn vị của nó là:Kg.m2 hoặc lbm-ft 2 .
Ta có thể xem vật thể được tạo bởi vô số điểm có khối lượng, và mômen quán tính của vật có khối lượng đó đơn giản được tính bằng khối lượng của vật thể đó nhân với bình phương bán kính (khoảng cách đến trục quay).
Mômen quán tính khối lượng rất quan trọng đối với định kích thước động cơ, trong đó tỷ số quán tính - tỉ số giữa quán tính của tải và quán tính của động cơ đóng một vai trò quan trọng trong việc xác định mức độ tốt của động cơ có thể kiểm soát việc tăng và giảm tốc của tải.
Mô men quán tính mặt phẳng tiết diện
Mômen quán tính tiết diện đặc trưng cho sức kháng uốn của một tiết diện theo một trục xác định, áp dụng cho kết cấu thanh, cột..v..v.. Mômen quán tính tiết diện được tính bằng
Đơn vị đo trong SI là m4 (độ dài 4)
Mômen quán tính cực
Tương tự như mômen quán tính mặt phẳng tiết diện nhưng nó áp dụng cho các vật thể hình trụ và thể hiện khả năng chống xoắn của nó (xoắn do mô-men tác dụng).
Phương trình cho mômen quán tính cực về cơ bản giống như cho mômen quán tính tiết diện phẳng, nhưng trong trường hợp mômen cực, khoảng cách được đo đến một trục đi qua tâm và vuông với mặt cắt ngang của hình trụ. Mômen quán tính cực đôi khi được ký hiệu bằng chữ J, thay vì I, nhưng đơn vị của nó giống như đơn vị của mômen quán tính phẳng: m4 (độ dài 4)
Mômen quán tính cực (ký hiệu ở đây là Ip ) cũng có thể được tính bằng tổng các mômen quán tính tiết diện phẳng trục x và trục y (I x và I y ).
Bài viết này chủ yếu là để cho vui, giải đáp trí tò mò về cái gọi là “luật quán tính của Sylvester”. Tuy nhiên trong quá trình tự giải đáp, mình thấy có mấy thứ khác cũng hay, nên chép lại, và cố gắng viết theo ngôn ngữ Toán, vì ngôn ngữ vật lý hay mặc định không gian, nên điều đó khiến dân Toán như mình gặp khó khăn khi tiếp xúc với kiến thức vật lý. Bài viết hoàn toàn a-ma-tơ, có thể sai nghiêm trọng về kiến thức và thuật ngữ. Mình hoàn toàn vui vẻ tiếp nhận các góp ý, thậm chí biết ơn 😀
Mô-men quán tính và mô-men động lượng. Mô-men quán tính là đại lượng đo sự chống lại của vật thể đối với chuyển động quay. Giống như chuyển động thẳng, thì ta có khái niệm “khối quán tính” (masse inerte).
Xét trục và chất điểm (x là tọa độ luôn). Khi đó moment quán tính của theo trục là Nếu ta có một vật thể, thì ta lấy tích phân. Cụ thể moment quán tính của vật thể theo trục là trong đó là mật độ khối tại mà ta sẽ hiểu theo ngôn ngữ độ đo trong Toán. Ký hiệu đại lượng này là
Ta phát biểu định lý Huygens:
Định lý Huygens : Giả sử đi qua tâm của vật thể và là trục khác song song với mà khoảng cách giữa hai trục là Khi đó ta có công thức
Công thức chứng minh không khó khăn gì bằng định nghĩa. Giả sử vật thể quay quanh trục với vận tốc góc là khi đó động của vật thể khi quay quanh trục (không nhất thiêt đi qua tâm) là Từ đó ta thấy hệ quả của định lý Huygens là nếu trục đi xuyên qua tâm của vật thể thì sẽ tốn ít năng lượng hơn để làm quay vật thể với vận tốc góc cho trước.
Bây giờ ta chuyển sang vấn đề mà TTC tò mò, đó là cái tên của luật quán tính trong định lý của Sylvester : mỗi dạng toàn phương đều tồn tại một cơ sở vector sao cho trong cơ sở đó, dạng toàn phương có dạng chính tắc v.v. (cụ thể trong sách đại số tuyến tính nào cũng phải đề cập).
Trên thực tế, Sylvester đã phân tích bài toán sau : đó là cho vật thể (trong không gian 3 chiều), và một vận tốc góc . Hỏi rằng với trục quay nào thì sẽ tốn ít năng lượng nhất để làm cho quay quanh trục đó với vận tốc góc ?
Cụ thể ta xét vật thể gồm n điểm, trong một hệ quy chiếu Oxyz nào đó (tất nhiên là phải vuông góc). Xét các đại lượng sau
; ; ; v.v.
Ma trận được gọi là ma trận quán tính. Đây là ma trận đối xứng thực, nên nó có cơ sở gồm các vector riêng trực chuẩn, các vector này được gọi là các trục quán tính chính. Giá trị riêng tương ứng được gọi là các moment quán tính chính, và nó chính là moment quán tính của vật thể theo trục ý.
Dựa vào đây ta có thể biết với trục nào thì sẽ tốn ít năng lượng nhất truyền cho vật thể để làm quay vật thể đó quay trục với vận tốc cho trước. Từ đó dẫn tới việc tính toán trên các vật thể hình học quen thuộc : ví dụ ellipsoid, hình hộp chữ nhật v.v.