1. Phương trình tương đương Hai phương trình (1) và (2) được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm, ta viết \((1) \Leftrightarrow (2).\) Ví dụ hai phương trình sau là tương đương \[\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{3}=x\quad \text{và}\quad 3x+2=6x\] 2. Phép biến đổi tương đương Phép biến đổi không làm thay đổi tập nghiệm của phương trình gọi là phép biến đổi tương đương. Ta có một số phép biến đổi tương đương đã biết sau
Chú ý. Các phép biến đổi trên không làm thay đổi điều kiện của phương trình thì mới được phương trình tương đương 3. Phương trình hệ quả Gọi \(S_1, S_2\) lần lượt là tập nghiệm của hai phương trình (1) và (2). Ta nói phương trình (2) là phương trình hệ quả của phương trình (1) khi \(S_1 \subset S_2.\) Ta viết \((1) \Rightarrow (2).\) Ví dụ 1. Cho hai phương trình: \[x+1=2x-1 \quad (1)\] \[\left(x+1\right)^2=\left(2x-1\right)^2\quad (2)\] Hai phương trình trên có tương đương không? Phương trình này có là phương trình hệ quả của phương trình kia không? Chú ý. Phép bình phương hai vế một phương trình không phải là phép biến đổi tương đương mà chỉ là phép biến đổi hệ quả. Ví dụ 2. Cho hai phương trình: \[\sqrt{x+2}=x-4 \quad (1)\] \[x+2=(x-4)^2 \quad (2)\] Hai phương trình trên có tương đương không? Phương trình này có là phương trình hệ quả của phương trình kia không? Khi hai vế của phương trình đều không âm, phương hai vế của phương trình ta được một phương trình tương đương. Công thức \[\sqrt{A}=B\Leftrightarrow\begin{cases}B\ge0\\A=B^2\end{cases}\] BÀI TẬP Bài 1. Cho phương trình \[(x+1)^2=0 \quad (1) \text{ và } ax^2-2(2a+1)x+a=0 \quad (2)\] Tìm giá trị của $a$ sao cho phương trình (1) tương đương với phương trình (2). Bài 2. Cho hai phương trình \(x-3=2\) và \((x-3)^2=4\). Phương trình nào là phương trình hệ quả của phương trình nào, vì sao? Bài 3. Tìm tập nghiệm của hai phương trình $\sqrt{x+9}=x-3$ và $x+9=(x-3)^2$. Hai phương trình trên có tương đương hay không? Bài 4. Tìm tập nghiệm của hai phương trình $\sqrt{x^4+4}=x^2+2$ và $x^4+4=(x^2+2)^2$. Hai phương trình trên có tương đương hay không? PHƯƠNG TRÌNH 1. Phương trình một ẩn: - Một phương trình với ẩn x luôn có dạng A(x) = B(x), trong đó vế trái A(x) và vế phải B(x) là hai biểu thức của cùng một biến x. Ví dụ 1.1. 2x – 3 = 5(x + 7) là phương trình với ẩn x. 5(y + 6) = y2 +26 là phương trình với ẩn y. - Nếu x0 là một giá trị sao cho A(x0) = B(x0) là một đẳng thức đúng thì x = x0 đgl một nghiệm của phương trình A(x) = B(x). - Một phương trình có thể có một nghiệm, hai nghiệm, ba nghiệm,… có vô số nghiệm, nhưng cũng có thể không nghiệm nào (phương trình vô nghiệm) - Tập hợp tất cả các nghiệm của một phương trình đgl tập nghiệm của phương trình đó và thường được ký hiệu là S. - Đề giải một phương trình là đi tìm tất cả các nghiệm của phương trình đó. Ví dụ 1.2. * Phương trình x + 2 = 3 có tập nghiệm S = {1} * Phương trình (x - 3)(x2 - 4) = 0 có tập nghiệm S = {-2; 2; 3} * Phương trình 0x = 1; x2 + 1 = 0;… à các phương trình vô nghiệm và có tập nghiệm là S = * Phương trình 0x = 0; x2 – 1 = (x – 1)(x + 1) có vô số nghiệm nên S = R - Số tập nghiệm của một phương trình còn phụ thuộc vào việc xét các giá trị của ẩn trên tập hợp số nào. Ví dụ 1.3. Xét phương trình (3x – 4)(x2 – 3) = 0 sẽ vô nghiệm trên tập N, Z Xét phương trình (3x – 4)(x2 – 3) = 0 có một nghiệm (x = 4/3) trên tập Q Xét phương trình (3x – 4)(x2 – 3) = 0 có ba nghiệm (x = 4/3, x = 2. Hai phương trình tương đương: 2.1. Định nghĩa: Hai phương trình gọi là tương đương nếu chúng có cùng một tập hợp nghiệm. * Sự tương đương ký hiệu bởi dấu * Hai phương trình vô nghiệm được coi là tương đương Ví dụ 2.1. Xét 2 phương trình x2 + 1 = 0 và phương trình 0x = -3 là hai phương trình tương đương nhau vì có cùng tập nghiệm chúng bằng 2.2. Hai quy tắc biến đổi tương đương các phương trình: 2.2.1. Quy tắc chuyển vế: (SGK) A(x) = B(x) + C(x) 2.2.2. Quy tắc nhân (chia) với một số: A(x) = B(x) 3. Phương trình bậc nhất một ẩn: 3.1. Định nghĩa: Phương trình dạng ax + b = 0 với a, b là những hằng số; a Ví dụ 3.1. 2x – 1 = 0 ; –4y + 6 = 0 ; 2 – 5t = 0 ; 3z = 0 ; … là các phương trình bậc nhất một ẩn. Ví dụ 3.2. x(x – 1) = 0 ; 0x + 2 = 0 ; … không phải các phương trình bậc nhất một ẩn. 3.2. Cách giải: ax + b = 0 Nghiệm duy nhất của phương trình ax + b = 0 (a 4. Cách giải phương trình đưa được về dạng ax + b = 0 (a - Quy đồng mẫu thức 2 vế - Khử mẫu thức. - Thực hiện các phép tính và chuyển vế (chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế, các hằng số sang vế bên kia), đưa phương trình về dạng Ax = B Ví dụ 4.1. Giải phương trình: Vậy: S = Page 2 |
