- Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện nếu nó đi qua mọi đỉnh của đa diện. Show - Mặt cầu nội tiếp hình đa diện nếu nó tiếp xúc với mọi mặt của đa diện. - Trục đa giác đáy là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy và vuông góc với mặt phẳng chứa đa giác đáy. + Mọi điểm nằm trên trục đa giác đáy thì cách đều các đỉnh của đa giác đáy và ngược lại. - Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng: là mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn + Mọi điểm nằm trên mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng và ngược lại. - Hình hộp chữ nhật có mặt cầu ngoại tiếp, hình lập phương có cả mặt cầu ngoại tiếp và mặt cầu nội tiếp.  - Hình chóp nội tiếp được mặt cầu nếu và chỉ nếu đáy của nó là đa giác nội tiếp được đường tròn. + Hình chóp có các đỉnh nhìn đoạn thẳng nối hai đỉnh còn lại dưới một góc vuông. - Hình chóp đều: Bán kính: \(R = \dfrac{{{b^2}}}{{2h}}\) với \(b\) là độ dài cạnh bên, \(h\) là chiều cao hình chóp. - Hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy: Bán kính \(R = \sqrt {{r^2} + \dfrac{{{h^2}}}{4}} \) với \(r\) là bán kính đường tròn đáy, \(h\) là chiều cao hình chóp.
Đặc biệt: tứ diện vuông: \(R = \sqrt {\dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{4}} \) với \(a,b,c\) là ba cạnh bên xuất phát từ đỉnh các góc vuông. - Lăng trụ nội tiếp được mặt cầu nếu nó là lăng trụ đứng và đáy là đa giác nội tiếp được đường tròn. Bán kính \(R = \sqrt {{r^2} + \dfrac{{{h^2}}}{4}} \) với \(r\) là bán kính đường tròn đáy, \(h\) là chiều cao lăng trụ đứng. 3. Công thức tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầuCho mặt cầu \(\left( S \right)\) có bán kính \(R\), khi đó: - Công thức tính diện tích mặt cầu: \(S = 4\pi {R^2}\) - Công thức tính thể tích khối cầu: \(V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3}\)
Bước 1: Xác định tâm của đáy từ đó dựng đường thẳng d vuông góc với mặt đáy. Bước 2: Dựng mặt phẳng trung trực (P) của cạnh bên bất kì. Bước 3: Tâm của mặt cầu là giao điểm của d và (P). Dạng 1: Hình chóp đều.Bài tập áp dụng Câu 1: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 3a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp đã cho. Dạng 2: Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt đáy.Bài tập áp dụng Câu 2: Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA=a, OB=2a, OC=2a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC. Câu 4: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông. SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SC=2a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp trên. Lời giải: Dạng 3: Hình chóp có mặt bên vuông góc với đáyBài tập áp dụng:Lời giải: Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện nếu nó: Trục đa giác đáy là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đáy tại: Tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng là: Hình nào sau đây không có mặt cầu ngoại tiếp? Số mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là: Hình chóp nào sau đây luôn nội tiếp được mặt cầu? Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác đều nằm ở đâu? Công thức tính diện tích mặt cầu là: Khối cầu thể tích \(V\) thì bán kính là: Cho khối cầu có bán kính \(R = 6\). Thể tích của khối cầu bằng Một mặt cầu có bán kính bằng \(a.\) Diện tích của mặt cầu đó là: Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(2\sqrt 2 \). Cạnh bên \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA = 3\). Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) qua \(A\) và vuông góc với \(SC\) cắt cạnh \(SB,\,\,SC,\,\,SD\) lần lượt tại \(M,\,\,N,\,\,P\). Thể tích \(V\) của khối cầu ngoại tiếp tứ diện \(CMNP\).
Mặt cầu ngoài tiếp tứ diện ABCD là mặt cầu đi qua 4 điểm hay 4 đỉnh A, B, C và D. Do đó để tìm tọa độ tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện chúng ta sẽ đi tìm tâm và mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C và D. Với bài toán này thông thường cách cơ bản và dễ hiểu nhất (tuy tính toán hơi dài) là sử dụng 1 trong 3 cách sau: Cách 1: Gọi I là tâm mặt cầu, sử dụng tính chất $IA=IB=IC=ID$ => tọa độ tâm I và bán kính mặt cầu. Cách này có thể sử dụng cho bài toán tổng quát lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp khối đa giác. Cách 2: Giả sử phương trình mặt cầu là: $x^2+y^2+z^2+2ax+2by+2cz+d=0$. Vì mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D nên tọa độ của chúng sẽ thỏa mãn phương trình mặt cầu. Từ đây ta có hệ 4 phương trình ẩn a, b, c và d. Giải hệ này sẽ được phương trình mặt cầu => tọa độ tâm và bán kính mặt cầu. Cách 3: Chúng ta sẽ viết phương trình mặt phẳng trung trực của ba đoạn thẳng là: AB, BC, CD. Khi đó giao của ba mặt phẳng này sẽ là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD hay tâm mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C và D. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng: là mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng ấy tại trung điểm. Mọi điểm nằm trên mặt phẳng trung trực luôn cách đều 2 đầu đoạn thẳng. Do đó khi tìm được giao điểm của 3 mặt phẳng này thì giao điểm này sẽ luôn cách đều 4 đỉnh A, B, C và D. Các bạn muốn hiểu thêm về mặt phẳng trung trực thì xem ở bài giảng này nhé: Cách viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng. Sau đây chúng ta cùng tìm hiểu một số bài tập viết phương trình mặt cầu, tìm tọa độ tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. Xem thêm:
Hướng dẫn : Với bài toán này chúng ta sẽ áp dụng cách 1 để tìm tâm, bán kính mặt cầu. Gọi tọa độ tâm và bán kính mặt cầu cần tìm là: $I(a;b;c)$ và R Vì mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD nên ta có: $IA=IB=IC=ID$. Ta có: $\vec{IA}(a-2;b-1;c)$; $\vec{IB}(a-1;b-1;c-3)$; $\vec{IC}(a-2;b+1;c-3)$; $\vec{ID}(a-1;b+1;c)$ $IA=\sqrt{(a-2)^2+(b-1)^2+c^2}$ $IB=\sqrt{(a-1)^2+(b-1)^2+(c-3)^2}$ $IC=\sqrt{(a-2)^2+(b+1)^2+(c-3)^2}$ $ID=\sqrt{(a-1)^2+(b+1)^2+c^2}$ Từ $IA=IB \Rightarrow a-3c+3=0$ (1) Từ $IA=IC \Rightarrow 4b-6c+9=0$ (2) Từ $IA=ID \Rightarrow 2a+4b-3=0$ (3) Từ (1) (2) (3) ta có được: $a=\frac{3}{2}; b=0; c=\frac{3}{2} \Rightarrow I(\frac{3}{2};0;\frac{3}{2})$ $R=IA=\sqrt{(a-2)^2+(b-1)^2+c^2} =\sqrt{(\frac{3}{2}-2)^2+1^2+(\frac{3}{2})^2}=\frac{\sqrt{14}}{2}$ Vậy tọa độ tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là $I(\frac{3}{2};0;\frac{3}{2})$ và bán kính mặt cầu là $R=\frac{\sqrt{14}}{2}$
Hướng dẫn: Bài tập này tuy phát biểu không giống với bài tập 1 nhưng về bản chất thì như bài tập 1. Các bạn có thể áp dụng cách làm như bài tập 1. Ngoài ra có thể áp dụng cách 2 để tìm phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm. Trong bài tập này thầy sẽ hướng dẫn các bạn cách 2. Theo Cách 2: Gọi phương trình mặt cầu có dạng: $x^2+y^2+z^2+2ax+2by+2cz+d=0$ với điều kiện $a^2+b^2+c^2-d>0$ Vì mặt cầu đi qua điểm $A(2;4;-1)$ nên ta có phương trình:$4a+8b-2c+d+21=0$ (1) Vì mặt cầu đi qua điểm $B(1;4;-1)$ nên ta có phương trình:$2a+8b-2c+d+18=0$ (2) Vì mặt cầu đi qua điểm $C(2;3;4)$ nên ta có phương trình:$4a+6b+8c+d+29=0$ (3) Vì mặt cầu đi qua điểm $D(2;2;-1)$ nên ta có phương trình:$4a+4b-2c+d+9=0$ (4) Từ (1) (2) (3) (4) sẽ có 1 hệ gồm 4 phương trình. Giải hệ này các bạn sẽ tìm được $a=-\frac{3}{2}; b=-3; c=-\frac{7}{5}; d=\frac{31}{5}$ Đây là hệ phương trình bậc nhất 4 ẩn nên rất nhiều bạn sẽ gặp khó khăn trong việc tìm ra a, b, c và d. Để giải được hệ này các bạn sẽ nhóm phương trình đầu tiên với lần lượt 3 phương trình còn lại, sau đó khử ẩn d. Lúc này sẽ đi giải hệ gồm 3 phương trình 3 ẩn. Tới đây các bạn sử dụng casio để làm nhé. Để cho dễ hiểu khi làm hệ này bằng tay thì các bạn có thể search google với từ khóa: Giải hệ phương trình bằng phương pháp Gauss. Xem video là thấy dễ ngay thôi mà (cái này lên đại học sẽ được học trong phần đại số tuyến tính) Phương pháp này giải hệ phức tạp quá phải không? vậy thầy sẽ hướng dẫn các bạn giải theo cách thứ 3 nhé. Chắc chắn sẽ đơn giản hơn cách 2 nhiều. Theo cách 3: Chúng ta sẽ đi tìm mặt phẳng trung trực của AB, BC, CD nhé. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD thì tọa độ của chúng sẽ là $M(\frac{3}{2};4;-1)$; $N(\frac{3}{2};\frac{7}{2};\frac{3}{2})$; $N(2;\frac{5}{2};\frac{3}{2})$ Xác định tọa độ của các vecto: $\vec{AB}(-1;0;0)$; $\vec{BC}(1;-1;5)$; $\vec{CD}(0;-1;-5)$ Mặt phẳng trung trực của AB: Đi qua M và nhận $\vec{AB}$ làm vecto pháp tuyến có phương trình là: $-1(x-\frac{3}{2})=0\Leftrightarrow 2x-3=0$ (1) Mặt phẳng trung trực của BC: Đi qua N và nhận $\vec{BC}$ làm vecto pháp tuyến có phương trình là: $1(x-\frac{3}{2})-(y-\frac{7}{2})+5(z-\frac{3}{2})=0$ $\Leftrightarrow x-y+5z-\frac{11}{2}=0$ (2)
Mặt phẳng trung trực của CD: Đi qua P và nhận $\vec{CD}$ làm vecto pháp tuyến có phương trình là: $0.(x-2)-(y-\frac{5}{2})-5(z-\frac{3}{2})=0$ $\Leftrightarrow y+5z-10=0=0$ (3) Gọi giao điểm của 3 mặt phẳng trung trực trên là I. Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Từ (1) (2) (3) các bạn sẽ tìm được tọa độ của I là: $I(\frac{3}{2}; 3; \frac{7}{5})$ Bán kính mặt cầu là: $IA=\frac{\sqrt{701}}{10}$ Phương trình mặt cầu có dạng là: $(x-\frac{3}{2})^2+(y-3)^2+(z-\frac{7}{5})^2=\frac{701}{100}$
Hướng dẫn: a. Lập phương trình mặt phẳng $(BCD)$. Tính khoảng cách từ A đến $(BCD)$. Để lập phương trình mặt phẳng $(BCD)$ các bạn cần tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. Các bạn có thể chọn cặp vectơ chỉ phương $\vec{BC}, \vec{BD}$ Ta có: $\vec{BC}(3;5;0); \vec{BD}(5;2;-3)$ Tọa độ vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là: $\vec{n}_{(BCD)}=(-15;9;-19)$ Phương trình mặt phẳng $(BCD)$ là: $-15x+9y-19z-6=0$ *. Khoảng cách từ A tới mặt phẳng (BCD): $d= \frac{|5.(-15)+3.9+4(-19)-6|}{255+81+298}=\frac{130}{634}$ b. Để viết phương trình mặt cầu (S) đi qua 4 điểm A, B, C, D các bạn làm tương tự như cách làm của bài tập 1 và 2. c. Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại A. Các bạn cần tìm 1 vectơ pháp tuyến cho mặt phẳng này. Vì mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại A nên IA vuông góc với mặt phẳng cần tìm, do đó $\vec{IA}$ là pháp tuyến của mặt phẳng, với I là tâm của mặt cầu tìm được ở trên.
Đáp án: a. Phương trình mặt cầu là: $x^2+y^2+z^2-6x+2y-4z=0$ a. Phương trình mặt cầu là: $x^2+y^2+z^2-2x-4y-6z=0$
SUB ĐĂNG KÍ KÊNH GIÚP THẦY NHÉ |
