Hướng dẫn how do you write an integral code in python? - làm thế nào để bạn viết một mã tích phân trong python?

Tổng quan¶

Ngôn ngữ Python cốt lõi (bao gồm các thư viện tiêu chuẩn) cung cấp đủ chức năng để thực hiện các nhiệm vụ nghiên cứu tính toán. Tuy nhiên, có các thư viện Python dành riêng (bên thứ ba) cung cấp chức năng mở rộng

• Cung cấp các công cụ số cho các nhiệm vụ thường xuyên xảy ra

• thuận tiện để sử dụng

• và hiệu quả hơn về các yêu cầu thời gian và bộ nhớ CPU so với chỉ sử dụng chức năng Python mã.

Chúng tôi liệt kê ba mô -đun như vậy nói riêng: đặc biệt:

• Mô-đun

  import scipy.integrate
  
  scipy.integrate?
  

  3 cung cấp một loại dữ liệu chuyên về số lượng vectơ và ma trận của các vectơ và ma trận (đây là loại

  import scipy.integrate
  
  scipy.integrate?
  

  4 được cung cấp bởi ____ ____33, như được giới thiệu trong 14-numpy.ipynb) và các công cụ đại số tuyến tính.

• Gói

  import scipy.integrate
  
  scipy.integrate?
  

  6 (cũng được biết đến là

  import scipy.integrate
  
  scipy.integrate?
  

  7) cung cấp khả năng vẽ đồ thị và trực quan

• Gói

  import scipy.integrate
  
  scipy.integrate?
  

  8 (Python khoa học) cung cấp vô số thuật toán số và được giới thiệu trong chương này.

Nhiều thuật toán số có sẵn thông qua

import scipy.integrate

scipy.integrate?

import scipy.integrate

scipy.integrate?

Bạn có thể sử dụng chức năng trợ giúp cho từng phương thức số để tìm hiểu thêm về nguồn thực hiện.

Scipy¶

=============================================
Integration and ODEs (:mod:`scipy.integrate`)
=============================================

.. currentmodule:: scipy.integrate

Integrating functions, given function object
============================================

.. autosummary::
   :toctree: generated/

   quad          -- General purpose integration
   dblquad       -- General purpose double integration
   tplquad       -- General purpose triple integration
   nquad         -- General purpose n-dimensional integration
   fixed_quad    -- Integrate func(x) using Gaussian quadrature of order n
   quadrature    -- Integrate with given tolerance using Gaussian quadrature
   romberg       -- Integrate func using Romberg integration
   quad_explain  -- Print information for use of quad
   newton_cotes  -- Weights and error coefficient for Newton-Cotes integration
   IntegrationWarning -- Warning on issues during integration

Integrating functions, given fixed samples
==========================================

.. autosummary::
   :toctree: generated/

   trapz         -- Use trapezoidal rule to compute integral.
   cumtrapz      -- Use trapezoidal rule to cumulatively compute integral.
   simps         -- Use Simpson's rule to compute integral from samples.
   romb          -- Use Romberg Integration to compute integral from
                 -- (2**k + 1) evenly-spaced samples.

.. seealso::

   :mod:`scipy.special` for orthogonal polynomials (special) for Gaussian
   quadrature roots and weights for other weighting factors and regions.

Integrators of ODE systems
==========================

.. autosummary::
   :toctree: generated/

   odeint        -- General integration of ordinary differential equations.
   ode           -- Integrate ODE using VODE and ZVODE routines.
   complex_ode   -- Convert a complex-valued ODE to real-valued and integrate.

import scipy.integrate

scipy.integrate?

import scipy.integrate

scipy.integrate?

import scipy.integrate

scipy.integrate?

In [1]:

import numpy
x = numpy.arange(0, 10, 0.1)
y = numpy.sin(x)

In [2]:

import scipy as s
x = s.arange(0, 10, 0.1)
y = s.sin(x)

Đầu tiên chúng ta cần nhập

import scipy.integrate

scipy.integrate?

Gói

import scipy.integrate

scipy.integrate?

Đầu ra rất dài, vì vậy chúng tôi chỉ hiển thị một phần của nó ở đây:

stats       --- Statistical Functions [*]
sparse      --- Sparse matrix [*]
lib         --- Python wrappers to external libraries [*]
linalg      --- Linear algebra routines [*]
signal      --- Signal Processing Tools [*]
misc        --- Various utilities that don't have another home.
interpolate --- Interpolation Tools [*]
optimize    --- Optimization Tools [*]
cluster     --- Vector Quantization / Kmeans [*]
fftpack     --- Discrete Fourier Transform algorithms [*]
io          --- Data input and output [*]
integrate   --- Integration routines [*]
lib.lapack  --- Wrappers to LAPACK library [*]
special     --- Special Functions [*]
lib.blas    --- Wrappers to BLAS library [*]
  [*] - using a package requires explicit import (see pkgload)

Nếu chúng tôi đang tìm kiếm một thuật toán để tích hợp một hàm, chúng tôi có thể khám phá gói

=============================================
Integration and ODEs (:mod:`scipy.integrate`)
=============================================

.. currentmodule:: scipy.integrate

Integrating functions, given function object
============================================

.. autosummary::
   :toctree: generated/

   quad          -- General purpose integration
   dblquad       -- General purpose double integration
   tplquad       -- General purpose triple integration
   nquad         -- General purpose n-dimensional integration
   fixed_quad    -- Integrate func(x) using Gaussian quadrature of order n
   quadrature    -- Integrate with given tolerance using Gaussian quadrature
   romberg       -- Integrate func using Romberg integration
   quad_explain  -- Print information for use of quad
   newton_cotes  -- Weights and error coefficient for Newton-Cotes integration
   IntegrationWarning -- Warning on issues during integration

Integrating functions, given fixed samples
==========================================

.. autosummary::
   :toctree: generated/

   trapz         -- Use trapezoidal rule to compute integral.
   cumtrapz      -- Use trapezoidal rule to cumulatively compute integral.
   simps         -- Use Simpson's rule to compute integral from samples.
   romb          -- Use Romberg Integration to compute integral from
                 -- (2**k + 1) evenly-spaced samples.

.. seealso::

   :mod:`scipy.special` for orthogonal polynomials (special) for Gaussian
   quadrature roots and weights for other weighting factors and regions.

Integrators of ODE systems
==========================

.. autosummary::
   :toctree: generated/

   odeint        -- General integration of ordinary differential equations.
   ode           -- Integrate ODE using VODE and ZVODE routines.
   complex_ode   -- Convert a complex-valued ODE to real-valued and integrate.

import scipy.integrate

scipy.integrate?

produces:

=============================================
Integration and ODEs (:mod:`scipy.integrate`)
=============================================

.. currentmodule:: scipy.integrate

Integrating functions, given function object
============================================

.. autosummary::
   :toctree: generated/

   quad          -- General purpose integration
   dblquad       -- General purpose double integration
   tplquad       -- General purpose triple integration
   nquad         -- General purpose n-dimensional integration
   fixed_quad    -- Integrate func(x) using Gaussian quadrature of order n
   quadrature    -- Integrate with given tolerance using Gaussian quadrature
   romberg       -- Integrate func using Romberg integration
   quad_explain  -- Print information for use of quad
   newton_cotes  -- Weights and error coefficient for Newton-Cotes integration
   IntegrationWarning -- Warning on issues during integration

Integrating functions, given fixed samples
==========================================

.. autosummary::
   :toctree: generated/

   trapz         -- Use trapezoidal rule to compute integral.
   cumtrapz      -- Use trapezoidal rule to cumulatively compute integral.
   simps         -- Use Simpson's rule to compute integral from samples.
   romb          -- Use Romberg Integration to compute integral from
                 -- (2**k + 1) evenly-spaced samples.

.. seealso::

   :mod:`scipy.special` for orthogonal polynomials (special) for Gaussian
   quadrature roots and weights for other weighting factors and regions.

Integrators of ODE systems
==========================

.. autosummary::
   :toctree: generated/

   odeint        -- General integration of ordinary differential equations.
   ode           -- Integrate ODE using VODE and ZVODE routines.
   complex_ode   -- Convert a complex-valued ODE to real-valued and integrate.

Các phần sau đây cho thấy các ví dụ chứng minh cách sử dụng các thuật toán được cung cấp bởi

import scipy.integrate

scipy.integrate?

Hội nhập số¶

Python khoa học cung cấp một số thói quen tích hợp. Một công cụ mục đích chung để giải quyết các tích phân I thuộc loại

$$ i = \ int_a^b f (x) \ mathrm {d} x $$

được cung cấp bởi hàm

=============================================
Integration and ODEs (:mod:`scipy.integrate`)
=============================================

.. currentmodule:: scipy.integrate

Integrating functions, given function object
============================================

.. autosummary::
   :toctree: generated/

   quad          -- General purpose integration
   dblquad       -- General purpose double integration
   tplquad       -- General purpose triple integration
   nquad         -- General purpose n-dimensional integration
   fixed_quad    -- Integrate func(x) using Gaussian quadrature of order n
   quadrature    -- Integrate with given tolerance using Gaussian quadrature
   romberg       -- Integrate func using Romberg integration
   quad_explain  -- Print information for use of quad
   newton_cotes  -- Weights and error coefficient for Newton-Cotes integration
   IntegrationWarning -- Warning on issues during integration

Integrating functions, given fixed samples
==========================================

.. autosummary::
   :toctree: generated/

   trapz         -- Use trapezoidal rule to compute integral.
   cumtrapz      -- Use trapezoidal rule to cumulatively compute integral.
   simps         -- Use Simpson's rule to compute integral from samples.
   romb          -- Use Romberg Integration to compute integral from
                 -- (2**k + 1) evenly-spaced samples.

.. seealso::

   :mod:`scipy.special` for orthogonal polynomials (special) for Gaussian
   quadrature roots and weights for other weighting factors and regions.

Integrators of ODE systems
==========================

.. autosummary::
   :toctree: generated/

   odeint        -- General integration of ordinary differential equations.
   ode           -- Integrate ODE using VODE and ZVODE routines.
   complex_ode   -- Convert a complex-valued ODE to real-valued and integrate.

from math import cos, exp, pi
from scipy.integrate import quad

# function we want to integrate
def f(x):
    return exp(cos(-2 * x * pi)) + 3.2

# call quad to integrate f from -2 to 2
res, err = quad(f, -2, 2)

print("The numerical result is {:f} (+-{:g})"
    .format(res, err))

Nó lấy các đối số đầu vào hàm f (x) để được tích hợp (tích phân trên mạng) và phần dưới và trên giới hạn a và b. Nó trả về hai giá trị (trong một tuple): giá trị đầu tiên là kết quả được tính toán và giá trị thứ hai là ước tính sai số số của kết quả đó.

Dưới đây là một ví dụ: tạo ra đầu ra này:

In [4]:

from math import cos, exp, pi
from scipy.integrate import quad

# function we want to integrate
def f(x):
    return exp(cos(-2 * x * pi)) + 3.2

# call quad to integrate f from -2 to 2
res, err = quad(f, -2, 2)

print("The numerical result is {:f} (+-{:g})"
    .format(res, err))

The numerical result is 17.864264 (+-1.55113e-11)

Lưu ý rằng

=============================================
Integration and ODEs (:mod:`scipy.integrate`)
=============================================

.. currentmodule:: scipy.integrate

Integrating functions, given function object
============================================

.. autosummary::
   :toctree: generated/

   quad          -- General purpose integration
   dblquad       -- General purpose double integration
   tplquad       -- General purpose triple integration
   nquad         -- General purpose n-dimensional integration
   fixed_quad    -- Integrate func(x) using Gaussian quadrature of order n
   quadrature    -- Integrate with given tolerance using Gaussian quadrature
   romberg       -- Integrate func using Romberg integration
   quad_explain  -- Print information for use of quad
   newton_cotes  -- Weights and error coefficient for Newton-Cotes integration
   IntegrationWarning -- Warning on issues during integration

Integrating functions, given fixed samples
==========================================

.. autosummary::
   :toctree: generated/

   trapz         -- Use trapezoidal rule to compute integral.
   cumtrapz      -- Use trapezoidal rule to cumulatively compute integral.
   simps         -- Use Simpson's rule to compute integral from samples.
   romb          -- Use Romberg Integration to compute integral from
                 -- (2**k + 1) evenly-spaced samples.

.. seealso::

   :mod:`scipy.special` for orthogonal polynomials (special) for Gaussian
   quadrature roots and weights for other weighting factors and regions.

Integrators of ODE systems
==========================

.. autosummary::
   :toctree: generated/

   odeint        -- General integration of ordinary differential equations.
   ode           -- Integrate ODE using VODE and ZVODE routines.
   complex_ode   -- Convert a complex-valued ODE to real-valued and integrate.

from math import cos, exp, pi
from scipy.integrate import quad

# function we want to integrate
def f(x):
    return exp(cos(-2 * x * pi)) + 3.2

# call quad to integrate f from -2 to 2
res, err = quad(f, -2, 2)

print("The numerical result is {:f} (+-{:g})"
    .format(res, err))

from math import cos, exp, pi
from scipy.integrate import quad

# function we want to integrate
def f(x):
    return exp(cos(-2 * x * pi)) + 3.2

# call quad to integrate f from -2 to 2
res, err = quad(f, -2, 2)

print("The numerical result is {:f} (+-{:g})"
    .format(res, err))

from math import cos, exp, pi
from scipy.integrate import quad

# function we want to integrate
def f(x):
    return exp(cos(-2 * x * pi)) + 3.2

# call quad to integrate f from -2 to 2
res, err = quad(f, -2, 2)

print("The numerical result is {:f} (+-{:g})"
    .format(res, err))

from math import cos, exp, pi
from scipy.integrate import quad

# function we want to integrate
def f(x):
    return exp(cos(-2 * x * pi)) + 3.2

# call quad to integrate f from -2 to 2
res, err = quad(f, -2, 2)

print("The numerical result is {:f} (+-{:g})"
    .format(res, err))

from math import cos, exp, pi
from scipy.integrate import quad

# function we want to integrate
def f(x):
    return exp(cos(-2 * x * pi)) + 3.2

# call quad to integrate f from -2 to 2
res, err = quad(f, -2, 2)

print("The numerical result is {:f} (+-{:g})"
    .format(res, err))

Bài tập: Tích hợp một chức năng

1. Sử dụng chức năng SCIPY từ

   from math import cos, exp, pi
   from scipy.integrate import quad
   
   # function we want to integrate
   def f(x):
       return exp(cos(-2 * x * pi)) + 3.2
   
   # call quad to integrate f from -2 to 2
   res, err = quad(f, -2, 2)
   
   print("The numerical result is {:f} (+-{:g})"
       .format(res, err))
   

   7, hãy viết một chương trình giải quyết tích phân sau: $ i = \ int _0^1 \ cos (2 \ pi x) dx $.

2. Tìm tích phân phân tích và so sánh nó với giải pháp số.

3. Tại sao điều quan trọng là phải có một ước tính về độ chính xác (hoặc lỗi) của tích phân số?

Tập thể dục: Cấu trúc trước khi bạn tích hợp công

Đó là một thực tiễn tốt để vẽ hình thức chức năng tích phân để kiểm tra xem đó có phải là hành vi tốt hay không trước khi bạn cố gắng tích hợp. Điểm kỳ lạ (tức là $ x $ các giá trị trong đó $ f (x) $ có xu hướng đối với trừ hoặc cộng vô cực) hoặc hành vi bất thường khác (chẳng hạn như $ f (x) = \ sin (\ frac {1} {x} $) $ x = 0 $ rất khó để xử lý bằng số.

1. Viết một chức năng có tên

   from math import cos, exp, pi
   from scipy.integrate import quad
   
   # function we want to integrate
   def f(x):
       return exp(cos(-2 * x * pi)) + 3.2
   
   # call quad to integrate f from -2 to 2
   res, err = quad(f, -2, 2)
   
   print("The numerical result is {:f} (+-{:g})"
       .format(res, err))
   

   8 có các đối số giống như lệnh Quad (tức là $ f $, $ a $ và $ b $) và đó
2. (i) Tạo một lô của Integrand $ f (x) $ và
3. (ii) Tính toán tích phân bằng cách sử dụng hàm

   from math import cos, exp, pi
   from scipy.integrate import quad
   
   # function we want to integrate
   def f(x):
       return exp(cos(-2 * x * pi)) + 3.2
   
   # call quad to integrate f from -2 to 2
   res, err = quad(f, -2, 2)
   
   print("The numerical result is {:f} (+-{:g})"
       .format(res, err))
   

   7. Các giá trị trả về phải như đối với hàm

   from math import cos, exp, pi
   from scipy.integrate import quad
   
   # function we want to integrate
   def f(x):
       return exp(cos(-2 * x * pi)) + 3.2
   
   # call quad to integrate f from -2 to 2
   res, err = quad(f, -2, 2)
   
   print("The numerical result is {:f} (+-{:g})"
       .format(res, err))
   

   7.

Giải các phương trình vi phân thông thường

Để giải một phương trình vi phân thông thường của loại $$ \ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} t} (t) = f (y, t) $$ $$

Với một $ y đã cho (t_0) = y_0 $, chúng ta có thể sử dụng chức năng ____ 38 ____ ____62. Đây là một chương trình ví dụ (tự giải thích) (

The numerical result is 17.864264 (+-1.55113e-11)

$$ y (t) \ Quad \ mathrm {for} \ Quad t \ in [0,2] $$

Cho phương trình vi phân này: $$ \ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} t} (t) = -2yt \ Quad \ mathrm {with} \ Quad y (0) = 1. $$

In [5]:

%matplotlib inline
from scipy.integrate import odeint
import numpy as N

def f(y, t):
    """this is the rhs of the ODE to integrate, i.e. dy/dt=f(y,t)"""
    return -2 * y * t

y0 = 1             # initial value
a = 0              # integration limits for t
b = 2

t = N.arange(a, b, 0.01)  # values of t for
                          # which we require
                          # the solution y(t)
y = odeint(f, y0, t)  # actual computation of y(t)

import pylab          # plotting of results
pylab.plot(t, y)
pylab.xlabel('t'); pylab.ylabel('y(t)')

Out[5]:

<matplotlib.text.Text at 0x10cad9320>

Lệnh

The numerical result is 17.864264 (+-1.55113e-11)

help(scipy.integrate.odeint)

sẽ hiển thị:

import scipy as s
x = s.arange(0, 10, 0.1)
y = s.sin(x)

Bài tập: Sử dụng ________ 62¶

1. Mở một tệp mới với tệp

   The numerical result is 17.864264 (+-1.55113e-11)
   

   6 trong trình soạn thảo văn bản.

2. Viết một chương trình tính toán giải pháp y (t) của ode này bằng thuật toán

   The numerical result is 17.864264 (+-1.55113e-11)
   

   2: $$ \ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} t} = -\ exp (-t) (10 \ sin (10t)+\ cos (10t)) $$ từ $ t = 0 $ đến $ t = 10 $. Giá trị ban đầu là $ y (0) = 1 $.

3. Bạn nên hiển thị giải pháp bằng đồ họa tại các điểm $ t = 0 $, $ t = 0,01 $, $ t = 0,02 $, ..., $ t = 9,99 $, $ t = 10 $.

Gợi ý: Một phần của giải pháp $ y (t) $ được hiển thị trong hình dưới đây.

Phát hiện gốc

Nếu bạn cố gắng tìm một $ x $ sao cho $$ f (x) = 0 $$ thì đây được gọi là tìm kiếm gốc. Lưu ý rằng các vấn đề như $ g (x) = h (x) $ rơi vào danh mục này vì bạn có thể viết lại chúng là $ f (x) = g (x) H (x) = 0 $.

Một số công cụ tìm kiếm gốc có sẵn trong mô -đun ____ 38 ____ ____69.

Tìm kiếm gốc bằng phương pháp chia đôi

Đầu tiên chúng tôi giới thiệu thuật toán

%matplotlib inline
from scipy.integrate import odeint
import numpy as N

def f(y, t):
    """this is the rhs of the ODE to integrate, i.e. dy/dt=f(y,t)"""
    return -2 * y * t

y0 = 1             # initial value
a = 0              # integration limits for t
b = 2

t = N.arange(a, b, 0.01)  # values of t for
                          # which we require
                          # the solution y(t)
y = odeint(f, y0, t)  # actual computation of y(t)

import pylab          # plotting of results
pylab.plot(t, y)
pylab.xlabel('t'); pylab.ylabel('y(t)')

Giả sử chúng ta cần tính toán rễ của f (x) = x3 - 2x2. Hàm này có gốc (đôi) tại x = 0 (điều này là tầm thường để xem) và một gốc khác nằm giữa x = 1,5 (trong đó f (1.5) = - 1.125) và x = 3 (trong đó f (3) = = 9). Thật là khá đơn giản khi thấy rằng gốc khác này được đặt tại x = 2. Đây là một chương trình xác định số gốc này:

In [6]:

import scipy as s
x = s.arange(0, 10, 0.1)
y = s.sin(x)

import scipy as s
x = s.arange(0, 10, 0.1)
y = s.sin(x)

Phương pháp

%matplotlib inline
from scipy.integrate import odeint
import numpy as N

def f(y, t):
    """this is the rhs of the ODE to integrate, i.e. dy/dt=f(y,t)"""
    return -2 * y * t

y0 = 1             # initial value
a = 0              # integration limits for t
b = 2

t = N.arange(a, b, 0.01)  # values of t for
                          # which we require
                          # the solution y(t)
y = odeint(f, y0, t)  # actual computation of y(t)

import pylab          # plotting of results
pylab.plot(t, y)
pylab.xlabel('t'); pylab.ylabel('y(t)')

%matplotlib inline
from scipy.integrate import odeint
import numpy as N

def f(y, t):
    """this is the rhs of the ODE to integrate, i.e. dy/dt=f(y,t)"""
    return -2 * y * t

y0 = 1             # initial value
a = 0              # integration limits for t
b = 2

t = N.arange(a, b, 0.01)  # values of t for
                          # which we require
                          # the solution y(t)
y = odeint(f, y0, t)  # actual computation of y(t)

import pylab          # plotting of results
pylab.plot(t, y)
pylab.xlabel('t'); pylab.ylabel('y(t)')

Một trong những yêu cầu của phương pháp chia đôi là khoảng [A, B] phải được chọn sao cho hàm này dương ở mức A và âm ở B hoặc hàm âm tính ở A và tư thế tại b. Nói cách khác: A và B phải đặt một gốc.

Bài tập: Tìm kiếm gốc bằng phương pháp Bisect

1. Viết một chương trình có tên

   %matplotlib inline
   from scipy.integrate import odeint
   import numpy as N
   
   def f(y, t):
       """this is the rhs of the ODE to integrate, i.e. dy/dt=f(y,t)"""
       return -2 * y * t
   
   y0 = 1             # initial value
   a = 0              # integration limits for t
   b = 2
   
   t = N.arange(a, b, 0.01)  # values of t for
                             # which we require
                             # the solution y(t)
   y = odeint(f, y0, t)  # actual computation of y(t)
   
   import pylab          # plotting of results
   pylab.plot(t, y)
   pylab.xlabel('t'); pylab.ylabel('y(t)')
   

   3 để xác định xấp xỉ $ \ sqrt {2} $ bằng cách tìm gốc x của hàm $ f (x) = 2 - x^2 $ bằng thuật toán chia đôi. Chọn dung sai cho xấp xỉ của gốc 10−8.

2. Ghi lại sự lựa chọn của bạn về khung ban đầu $ [A, B] $ cho gốc: Bạn đã chọn giá trị nào cho A và cho B và tại sao?

3. Nghiên cứu kết quả:

   • Giá trị nào cho thuật toán chia đôi gốc x?

   • Tính giá trị của $ \\ SQRT {2} $ bằng cách sử dụng

     %matplotlib inline
     from scipy.integrate import odeint
     import numpy as N
     
     def f(y, t):
         """this is the rhs of the ODE to integrate, i.e. dy/dt=f(y,t)"""
         return -2 * y * t
     
     y0 = 1             # initial value
     a = 0              # integration limits for t
     b = 2
     
     t = N.arange(a, b, 0.01)  # values of t for
                               # which we require
                               # the solution y(t)
     y = odeint(f, y0, t)  # actual computation of y(t)
     
     import pylab          # plotting of results
     pylab.plot(t, y)
     pylab.xlabel('t'); pylab.ylabel('y(t)')
     

     4 và so sánh điều này với xấp xỉ của gốc. Làm thế nào lớn là lỗi tuyệt đối của x? Làm thế nào để so sánh với

     %matplotlib inline
     from scipy.integrate import odeint
     import numpy as N
     
     def f(y, t):
         """this is the rhs of the ODE to integrate, i.e. dy/dt=f(y,t)"""
         return -2 * y * t
     
     y0 = 1             # initial value
     a = 0              # integration limits for t
     b = 2
     
     t = N.arange(a, b, 0.01)  # values of t for
                               # which we require
                               # the solution y(t)
     y = odeint(f, y0, t)  # actual computation of y(t)
     
     import pylab          # plotting of results
     pylab.plot(t, y)
     pylab.xlabel('t'); pylab.ylabel('y(t)')
     

     2?

Tìm kiếm gốc bằng cách sử dụng funcion ____76

A (thường) tốt hơn (theo nghĩa của thuật toán hiệu quả hơn) so với thuật toán chia đôi được thực hiện trong hàm

%matplotlib inline
from scipy.integrate import odeint
import numpy as N

def f(y, t):
    """this is the rhs of the ODE to integrate, i.e. dy/dt=f(y,t)"""
    return -2 * y * t

y0 = 1             # initial value
a = 0              # integration limits for t
b = 2

t = N.arange(a, b, 0.01)  # values of t for
                          # which we require
                          # the solution y(t)
y = odeint(f, y0, t)  # actual computation of y(t)

import pylab          # plotting of results
pylab.plot(t, y)
pylab.xlabel('t'); pylab.ylabel('y(t)')

Đây là một ví dụ:

In [7]:

import scipy as s
x = s.arange(0, 10, 0.1)
y = s.sin(x)

import scipy as s
x = s.arange(0, 10, 0.1)
y = s.sin(x)

Giá trị trả về [6] của

%matplotlib inline
from scipy.integrate import odeint
import numpy as N

def f(y, t):
    """this is the rhs of the ODE to integrate, i.e. dy/dt=f(y,t)"""
    return -2 * y * t

y0 = 1             # initial value
a = 0              # integration limits for t
b = 2

t = N.arange(a, b, 0.01)  # values of t for
                          # which we require
                          # the solution y(t)
y = odeint(f, y0, t)  # actual computation of y(t)

import pylab          # plotting of results
pylab.plot(t, y)
pylab.xlabel('t'); pylab.ylabel('y(t)')

Nội suy

Đưa ra một bộ N điểm $ (x_i, y_i) $ với $ i = 1, 2, N N $, đôi khi chúng ta cần một hàm $ \ hat {f} (x) $ mà trả về $ y_i = f (x_i) $ trong đó $ x == x_i $, và ngoài ra còn cung cấp một số phép nội suy của dữ liệu $ (x_i, y_i) $ cho tất cả $ x $.

Hàm

%matplotlib inline
from scipy.integrate import odeint
import numpy as N

def f(y, t):
    """this is the rhs of the ODE to integrate, i.e. dy/dt=f(y,t)"""
    return -2 * y * t

y0 = 1             # initial value
a = 0              # integration limits for t
b = 2

t = N.arange(a, b, 0.01)  # values of t for
                          # which we require
                          # the solution y(t)
y = odeint(f, y0, t)  # actual computation of y(t)

import pylab          # plotting of results
pylab.plot(t, y)
pylab.xlabel('t'); pylab.ylabel('y(t)')

<matplotlib.text.Text at 0x10cad9320>

<matplotlib.text.Text at 0x10cad9320>

Mã dưới đây thể hiện điều này và hiển thị các loại nội suy khác nhau.

In [8]:

import scipy as s
x = s.arange(0, 10, 0.1)
y = s.sin(x)

Out[8]:

import scipy as s
x = s.arange(0, 10, 0.1)
y = s.sin(x)

Phù hợp với đường cong

Chúng ta đã thấy trong chương Numpy rằng chúng ta có thể phù hợp với các hàm đa thức thông qua một tập dữ liệu bằng hàm

<matplotlib.text.Text at 0x10cad9320>

SCIPY cung cấp một hàm hơi chung chung (dựa trên thuật toán Levenburg-Marquest) thông qua

<matplotlib.text.Text at 0x10cad9320>

$$ r = \ sum \ limits_ {i = 1}^n \ left (y_i - f (x_i, \ vec {p}) \ right)^2 $$

Phù hợp với đường cong được sử dụng đặc biệt nếu dữ liệu ồn ào: với $ x_i $ và $ y_i = f (x_i, \ vec {p}) $ Chúng tôi có một thuật ngữ lỗi (chưa biết) $ \ epsilon_i $ để $ y_i = f (x_i, \ vec {p})+\ epsilon_i $.

Chúng tôi sử dụng ví dụ sau để làm rõ điều này: $$ f (x, \ vec {p}) = a \ exp (-b x) + c, \ Quad \ mathrm {i.e. A, B, C} $$

In [9]:

import scipy as s
x = s.arange(0, 10, 0.1)
y = s.sin(x)

import scipy as s
x = s.arange(0, 10, 0.1)
y = s.sin(x)

Out[9]:

import scipy as s
x = s.arange(0, 10, 0.1)
y = s.sin(x)

Lưu ý rằng trong mã nguồn ở trên, chúng tôi xác định hàm phù hợp $ y = f (x) $ thông qua mã python. Do đó, chúng ta có thể phù hợp (gần) các hàm tùy ý bằng phương pháp

<matplotlib.text.Text at 0x10cad9320>

Hàm

<matplotlib.text.Text at 0x10cad9320>

<matplotlib.text.Text at 0x10cad9320>

<matplotlib.text.Text at 0x10cad9320>

Đối với quy trình phù hợp với đường cong hoạt động, thuật toán Levenburg-Marquest cần bắt đầu quá trình phù hợp với các dự đoán ban đầu cho các tham số cuối cùng. Nếu chúng không được chỉ định (như trong ví dụ trên), giá trị 1.0 1.0 được sử dụng cho dự đoán ban đầu.

Nếu thuật toán không phù hợp với hàm cho dữ liệu (mặc dù hàm mô tả dữ liệu một cách hợp lý), chúng ta cần cung cấp cho thuật toán ước tính tốt hơn cho các tham số ban đầu. Đối với ví dụ được hiển thị ở trên, chúng tôi có thể đưa ra các ước tính cho hàm

<matplotlib.text.Text at 0x10cad9320>

stats       --- Statistical Functions [*]
sparse      --- Sparse matrix [*]
lib         --- Python wrappers to external libraries [*]
linalg      --- Linear algebra routines [*]
signal      --- Signal Processing Tools [*]
misc        --- Various utilities that don't have another home.
interpolate --- Interpolation Tools [*]
optimize    --- Optimization Tools [*]
cluster     --- Vector Quantization / Kmeans [*]
fftpack     --- Discrete Fourier Transform algorithms [*]
io          --- Data input and output [*]
integrate   --- Integration routines [*]
lib.lapack  --- Wrappers to LAPACK library [*]
special     --- Special Functions [*]
lib.blas    --- Wrappers to BLAS library [*]
  [*] - using a package requires explicit import (see pkgload)

đến

stats       --- Statistical Functions [*]
sparse      --- Sparse matrix [*]
lib         --- Python wrappers to external libraries [*]
linalg      --- Linear algebra routines [*]
signal      --- Signal Processing Tools [*]
misc        --- Various utilities that don't have another home.
interpolate --- Interpolation Tools [*]
optimize    --- Optimization Tools [*]
cluster     --- Vector Quantization / Kmeans [*]
fftpack     --- Discrete Fourier Transform algorithms [*]
io          --- Data input and output [*]
integrate   --- Integration routines [*]
lib.lapack  --- Wrappers to LAPACK library [*]
special     --- Special Functions [*]
lib.blas    --- Wrappers to BLAS library [*]
  [*] - using a package requires explicit import (see pkgload)

Nếu dự đoán ban đầu của chúng tôi sẽ là A = 2, B = 1 và C = 0,6. Khi chúng tôi lấy thuật toán, ở đúng khu vực, trong không gian tham số, việc phù hợp thường hoạt động tốt.

Fourier Transforms¶

Trong ví dụ tiếp theo, chúng tôi tạo ra một tín hiệu như một sự chồng chất của sóng hình sin 50 Hz và 70 Hz (với sự thay đổi pha nhỏ giữa chúng). Sau đó, Fourier biến đổi tín hiệu và biểu thị giá trị tuyệt đối của các hệ số biến đổi Fourier rời rạc (phức tạp) theo tần số và dự kiến ​​sẽ thấy các đỉnh ở 50Hz và 70Hz.

In [10]:

stats       --- Statistical Functions [*]
sparse      --- Sparse matrix [*]
lib         --- Python wrappers to external libraries [*]
linalg      --- Linear algebra routines [*]
signal      --- Signal Processing Tools [*]
misc        --- Various utilities that don't have another home.
interpolate --- Interpolation Tools [*]
optimize    --- Optimization Tools [*]
cluster     --- Vector Quantization / Kmeans [*]
fftpack     --- Discrete Fourier Transform algorithms [*]
io          --- Data input and output [*]
integrate   --- Integration routines [*]
lib.lapack  --- Wrappers to LAPACK library [*]
special     --- Special Functions [*]
lib.blas    --- Wrappers to BLAS library [*]
  [*] - using a package requires explicit import (see pkgload)

Out[10]:

stats       --- Statistical Functions [*]
sparse      --- Sparse matrix [*]
lib         --- Python wrappers to external libraries [*]
linalg      --- Linear algebra routines [*]
signal      --- Signal Processing Tools [*]
misc        --- Various utilities that don't have another home.
interpolate --- Interpolation Tools [*]
optimize    --- Optimization Tools [*]
cluster     --- Vector Quantization / Kmeans [*]
fftpack     --- Discrete Fourier Transform algorithms [*]
io          --- Data input and output [*]
integrate   --- Integration routines [*]
lib.lapack  --- Wrappers to LAPACK library [*]
special     --- Special Functions [*]
lib.blas    --- Wrappers to BLAS library [*]
  [*] - using a package requires explicit import (see pkgload)

Biểu đồ thấp hơn cho thấy biến đổi Fourier rời rạc được tính toán từ dữ liệu được hiển thị trong biểu đồ trên.

Tối ưu hóa¶

Thông thường chúng ta cần tìm mức tối đa hoặc tối thiểu của một hàm cụ thể f (x) trong đó f là hàm vô hướng nhưng x có thể là một vectơ. Các ứng dụng điển hình là việc giảm thiểu các thực thể như chi phí, rủi ro và lỗi hoặc tối đa hóa năng suất, hiệu quả và lợi nhuận. Các thói quen tối ưu hóa thường cung cấp một phương thức để giảm thiểu hàm đã cho: nếu chúng ta cần tối đa hóa f (x), chúng ta tạo một hàm mới g (x) đảo ngược dấu hiệu của f, tức là g (x) = - f (x) và chúng ta giảm thiểu g (x).

Dưới đây, chúng tôi cung cấp một ví dụ hiển thị (i) định nghĩa về hàm thử nghiệm và (ii) lệnh gọi của hàm

<matplotlib.text.Text at 0x10cad9320>

Phần lớn các lệnh (sau hai cuộc gọi đến

help(scipy.integrate.odeint)

help(scipy.integrate.odeint)

In [11]:

stats       --- Statistical Functions [*]
sparse      --- Sparse matrix [*]
lib         --- Python wrappers to external libraries [*]
linalg      --- Linear algebra routines [*]
signal      --- Signal Processing Tools [*]
misc        --- Various utilities that don't have another home.
interpolate --- Interpolation Tools [*]
optimize    --- Optimization Tools [*]
cluster     --- Vector Quantization / Kmeans [*]
fftpack     --- Discrete Fourier Transform algorithms [*]
io          --- Data input and output [*]
integrate   --- Integration routines [*]
lib.lapack  --- Wrappers to LAPACK library [*]
special     --- Special Functions [*]
lib.blas    --- Wrappers to BLAS library [*]
  [*] - using a package requires explicit import (see pkgload)

stats       --- Statistical Functions [*]
sparse      --- Sparse matrix [*]
lib         --- Python wrappers to external libraries [*]
linalg      --- Linear algebra routines [*]
signal      --- Signal Processing Tools [*]
misc        --- Various utilities that don't have another home.
interpolate --- Interpolation Tools [*]
optimize    --- Optimization Tools [*]
cluster     --- Vector Quantization / Kmeans [*]
fftpack     --- Discrete Fourier Transform algorithms [*]
io          --- Data input and output [*]
integrate   --- Integration routines [*]
lib.lapack  --- Wrappers to LAPACK library [*]
special     --- Special Functions [*]
lib.blas    --- Wrappers to BLAS library [*]
  [*] - using a package requires explicit import (see pkgload)

Out[11]:

stats       --- Statistical Functions [*]
sparse      --- Sparse matrix [*]
lib         --- Python wrappers to external libraries [*]
linalg      --- Linear algebra routines [*]
signal      --- Signal Processing Tools [*]
misc        --- Various utilities that don't have another home.
interpolate --- Interpolation Tools [*]
optimize    --- Optimization Tools [*]
cluster     --- Vector Quantization / Kmeans [*]
fftpack     --- Discrete Fourier Transform algorithms [*]
io          --- Data input and output [*]
integrate   --- Integration routines [*]
lib.lapack  --- Wrappers to LAPACK library [*]
special     --- Special Functions [*]
lib.blas    --- Wrappers to BLAS library [*]
  [*] - using a package requires explicit import (see pkgload)

Gọi hàm

help(scipy.integrate.odeint)

Giá trị trả lại của ________ 90¶

Lưu ý rằng giá trị trả về từ hàm

help(scipy.integrate.odeint)

import scipy.integrate

scipy.integrate?

help(scipy.integrate.odeint)

Các phương pháp số khác

Python và Numpy khoa học cung cấp quyền truy cập vào một số lượng lớn các thuật toán số khác bao gồm nội suy hàm, biến đổi Fourier, tối ưu hóa, các hàm đặc biệt (như hàm Bessel), xử lý tín hiệu và bộ lọc, tạo số ngẫu nhiên, v.v. Bắt đầu khám phá ________ 38 và ________ 33 Khả năng sử dụng chức năng

help(scipy.integrate.odeint)

SCIPY.IO: đầu ra của Scipy-input

SCIPY cung cấp các thói quen để đọc và viết các tệp MATLAB

import scipy as s
x = s.arange(0, 10, 0.1)
y = s.sin(x)

Trước tiên, chúng tôi tạo một tệp mat trong quãng tám (octave [chủ yếu] tương thích với MATLAB):

stats       --- Statistical Functions [*]
sparse      --- Sparse matrix [*]
lib         --- Python wrappers to external libraries [*]
linalg      --- Linear algebra routines [*]
signal      --- Signal Processing Tools [*]
misc        --- Various utilities that don't have another home.
interpolate --- Interpolation Tools [*]
optimize    --- Optimization Tools [*]
cluster     --- Vector Quantization / Kmeans [*]
fftpack     --- Discrete Fourier Transform algorithms [*]
io          --- Data input and output [*]
integrate   --- Integration routines [*]
lib.lapack  --- Wrappers to LAPACK library [*]
special     --- Special Functions [*]
lib.blas    --- Wrappers to BLAS library [*]
  [*] - using a package requires explicit import (see pkgload)

Sau đó, chúng tôi tải mảng này trong Python:

In [12]:

stats       --- Statistical Functions [*]
sparse      --- Sparse matrix [*]
lib         --- Python wrappers to external libraries [*]
linalg      --- Linear algebra routines [*]
signal      --- Signal Processing Tools [*]
misc        --- Various utilities that don't have another home.
interpolate --- Interpolation Tools [*]
optimize    --- Optimization Tools [*]
cluster     --- Vector Quantization / Kmeans [*]
fftpack     --- Discrete Fourier Transform algorithms [*]
io          --- Data input and output [*]
integrate   --- Integration routines [*]
lib.lapack  --- Wrappers to LAPACK library [*]
special     --- Special Functions [*]
lib.blas    --- Wrappers to BLAS library [*]
  [*] - using a package requires explicit import (see pkgload)

Out[13]:

stats       --- Statistical Functions [*]
sparse      --- Sparse matrix [*]
lib         --- Python wrappers to external libraries [*]
linalg      --- Linear algebra routines [*]
signal      --- Signal Processing Tools [*]
misc        --- Various utilities that don't have another home.
interpolate --- Interpolation Tools [*]
optimize    --- Optimization Tools [*]
cluster     --- Vector Quantization / Kmeans [*]
fftpack     --- Discrete Fourier Transform algorithms [*]
io          --- Data input and output [*]
integrate   --- Integration routines [*]
lib.lapack  --- Wrappers to LAPACK library [*]
special     --- Special Functions [*]
lib.blas    --- Wrappers to BLAS library [*]
  [*] - using a package requires explicit import (see pkgload)

Out[14]:

import scipy.integrate

scipy.integrate?

Hàm

import scipy as s
x = s.arange(0, 10, 0.1)
y = s.sin(x)

Một tệp ma trận MATLAB có thể chứa một số mảng. Mỗi trong số đó được trình bày bởi một cặp giá trị khóa trong từ điển.

Hãy để lưu hai mảng từ Python để chứng minh rằng:

In [15]:

import scipy.integrate

scipy.integrate?

Chương trình này tạo ra tệp

import scipy as s
x = s.arange(0, 10, 0.1)
y = s.sin(x)

import scipy.integrate

scipy.integrate?

Lưu ý rằng có các chức năng khác để đọc và ghi vào các định dạng như được sử dụng bởi IDL, NETCDF và các định dạng khác trong

import scipy as s
x = s.arange(0, 10, 0.1)
y = s.sin(x)

Thêm → Xem Hướng dẫn SCIPY.

Có một chức năng tích hợp trong Python?

Numpy có thể tích hợp không?