Bằng phương pháp thử chọn ta thấy 34 chỉ có duy nhất 1 dạng phân tích thành tổng của 2 số chính phương 32 và 52  Giải ra ta được (x,y) = (2,3); (2,-2); (-1, -2); (-1, 3) và các hoán vị của nó. Ví dụ 11: Tìm nghiệm nguyên của phương trình x2 – 4xy + 5y2 \= 169 Hướng dẫn: Ta có x2 – 4xy + 5y2 \= 169Û (x – 2y)2 + y2 = 169 Ta thấy 169 = 02 + 132 = 52 + 122 Giải ra ta được (x, y) = (29, 12);(19, 12); (-19, -12); (22, 5); (-2, 5) ;(2, -5); (-22, -5); (26, 13); (-26, -13); (-13. 0); (13, 0) VIII .Phương pháp 8: Lùi vô hạn Ví dụ 12: Tìm nghiệm nguyêm của phương trình x2 – 5y2 = 0 Hướng dẫn: Giả sử x0, y0 là nghiệm của phương trình x2 – 5y2 = 0 ta có x Ta có (5x1) 2 – 5y Þ y0 Vây nếu (x0,,y0) là nghiệm của phương trình đã cho thì ( Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = y = 0 Ví dụ 13: Tìm nghiệm nguyên của phương trình x2 + y2 + z2 = x2 y2 Hướng dẫn: Nếu x, y đều là số lẻ Þ x2 , y2 chia cho 4 đều dư 1 x2 + y2 chia cho 4 dư 2 mà x2 + y2 + z2 = x2 y2 Þ x chẵn hoặc y chẵn * Giả sử x chẵn Þ hoặc y chẵn * Giả sử x chẵn Þ x2 , x2y2 chẵn Þ x2 Đặt x = 2x1, y = 2y1, z = 2z1 Ta cóx lập luận tương tự ta có x Quá trình này cứ tiếp tục ta thấy (x1, y1, z1 ) là nghiệm của phương trình thì ( Þ x1 = y1 = z1 = 0 Vậy pt có nghiệm là (0, 0, 0) IX. Phương pháp 9: Sử dụng tính chất nghiệm của phương trình bậc 2 Biến đổi phương trình về dạng phương trình bậc 2 của ẩn coi các ẩn khác là tham số, sử dụng các tính chất về nghiệm của phương trình bậc 2 để xác định giá trị của tham số Ví dụ 14: Giải phương trình nghiệm nguyên 3x2 + y2 + 4xy + 4x + 2y + 5 = 0 Hướng dẫn: Ta có pt 3x2 + y2 + 4xy + 4x + 2y + 5 = 0 Û y2 + (4x + 2)y + 3 x2 + 4x + 5 = ) (*) coi x là tham số giải phương trình bậc 2 pt (*) ẩn y ta có y = -(2x + 1) ± Do y nguyên, x nguyên Þ Mà Þ (x- n) (x+ n) = 4 (x, y) = (2; -5); (-2, 3) Ví dụ 15: Tìm nghiệm nguyên của phương trình x2 – (y+5)x + 5y + 2 = 0 Hướng dẫn: Ta có Þ Þ 5 x1 + 5x2 – x1x2 = 23 Û (x1 -5) (x2 -5) = 2 Mà 2 = 1.2 = (-1)(-2) Þ x1 + x2 = 13 hoặc x1 + x2 = 7 Þ y = 8 hoặc y = 2 thay vào phương trình ta tìm được các cặp số (x,y ) = (7, 8); (6, 8); (4, 2); (3, 2); là nghiệm của phương trình X- Phương pháp 10 : Dùng bất đẳng thức Ví dụ 16: Tìm nghiệm nguyên của phương trình x2 –xy + y2 = 3 Hướng dẫn: Ta có x2 –xy + y2 = 3 Û (x- Ta thấy (x- Þ y= ± 2; ±1; 0 thay vào phương trình tìm x Ta được các nghiệm nguyên của phương trình là : (x, y) = (-1,-2), (1, 2); (-2, -1); (2,1) ;(-1,1) ;(1, -1) CHƯƠNG II: BÀI TẬP RÈN TƯ DUY SÁNG TẠO Bài 1:Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2x + 3y = 11 Hướng dẫn Cách 1: Ta thấy phương trình có cặp nghiệm đặc biệt là x0 = 4, y0 = 1 Vì 2.4 + 3.1 = 11 Þ( 2x + 3y) – (2.4 + 3.1) = 0Û 2(x-4) + 3(y-1) = 0Þ 2(x-4) = - 3(y-1) mà (2,3) = 1 Đặt x – 4 \= 3k và y – 1 = 2k với ( k Î Z) y = 1+ 2k ( k Î Z) *Nhận xét: Theo cách giải này phải tìm ra 1 cặp nghiệm nguyên đặc biệt (x0, y0) của phương trình vô định ax + by = c Nếu phương trình có hệ số a, b, c lớn thì cách giải khó khăn. Cách 2: Dùng tính chất chia hết. Ta có 2x + 3y = 11Þ x= Do x, y nguyên Þ đặt Bài 2: Tìm cặp số nguyên dương (x,y) thoả mãn phương trình 6x2 + 5y2 \= 74 Hướng dẫn: Cách 1: Ta có 6x2 + 5y2 \= 74 Û 6x2 –24 = 50 – 5y2 Û 6(x2 – 4) = 5(10 – y2)Þ 6(x2 – 4) (6, 5) = 1Þ x2 = 5t + 4 (t ÎN) Thay x2 – 4 = 5t vào phương trình Þ y2 = 10 – 6t với t = 0 ta có x2 = 4, y2 = 10 (loại) y2 = 4 y = ± 2 mà x, y Î Z Cách 2: Sử dụng tính chẵn lẻ và phương pháp chặn Ta có 6x2 + 5y2 = 74 là số chẵn Þ y chẵn lại có 0< 6x2 Þ 0< 5y2 < 74Û 0 < y2 < 14 Þ y2 = 4 Þ x2 \= 9 Cặp số (x,y) cần tìm là (3, 2) Cách 3: Ta có 6x2 + 5y2 = 74 Û 5x2 + 5y2 + x2 + 1 = 75Þ x2 + 1 mà 0 < x2 £ 12 Þ x2 = 4 hoặc x2 = 9 Với x2 = 4 Þ y2 = 10 loại Với x2 = 9 Þ y2 = 4 thoả mãn cặp số (x,y) cần tìm là (3, 2) Bài 3: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:x2 + y2 = 2x2y2Hướng dẫn: Cách 1: Đặt x2 = a, y2 \= b Nếu a = b Þ 2a = 2a2 Þ a= a2 Þ a= 0, a= 1Þ (a,b) = (0, 0); (1, 1) Nếu a = - b Þ 2 b2 = 0 Þ a = b = 0Þ (x2, y2) = (0, 0); (1, 1) Þ (x, y ) = (0, 0); (-1, -1); (-1, 1); (1, -1) ; (1, 1) Cách 2: Ta có x2 + y2 = 2x2y2 Do x2, y2 ³ 0 Ta giả sử x2 £ y2 Þ x2 + y2 £ 2 y2 Þ 2x2 y2 £ 2y2 Nếu y = 0 phương trình có nghiệm (0;0) Nếu y Þ y2 = 0 (loại) hoặc y2 = 1 Þ (x, y) = (1, 1); (1, -1) ; (-1, 1) Vậy phương trình có nghiệm (x;y) =(0, 0); (-1, -1); (-1, 1); (1, -1); (1, 1) Cách 3: Có x2 + y2 = 2x2y2 Û 2x2 + 2y2 = 4 x2y2Û 4 x2y2 –2x2 – 2y2 + 1 = 1 2x2 (2y2 - 1) – (2y2 - 1)= 1Û (2x2 – 1) (2y2 - 1) = 1 Mà 1 = 1.1 = (-1)(-1) Þ (x2, y2) = (1, 1); (0, 0) Þ (x, y) = (1, 1); (0, 0) ; (1, -1); (-1; -1); (-1, 1) Bài 4: Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình x2 –3xy + 2y2+ 6 = 0 Hướng dẫn: Ta thấy(x, y) = (0, 0) không phải là nghiệm của phương trình Ta coi phương trình x2 – 3xy + 2y2 + 6 = 0 ẩn x ta tính Phương trình có nghiệm tự nhiên thì Þ y2 – 24 = k2 Þ (y – k)(y + k) = 24 (kÎN) Thay vào ta tìm được (x,y) = (8, 7); (13, 7); (7, 5); (8,5) Bài 5: Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2x2 + 2y2 – 2xy + y + x – 10 = 0 Hướng dẫn: Cách 1: Ta có phương trình đã cho Û 2x2 – (2y-1) x + 2y2 + y – 10 = 0 Coi x là ẩn y là tham số ta có phương trình bậc 2 ẩn x Xét Để nghiệm x nguyên thì Đặt k2= -12y2 – 12 y + 81 Þ k2 + 3(2y + 1) = 84 Þ (2y + 1)2 = 28 - Þ y = 0, 1, -2, 2, -3 Thử trực tiếp vào phương trình ta tìm được các cặp số (x, y) = (2, 0); (0, 2) thoả mãn Cách 2: Đặt x + y = a, xy = b ta có x, y Î Z Þ a, b Î Z phương trình 2x2 – (2y-1) x + 2y2 + y – 10 = 0 Û 2a2 – 4b + a – 10 = 0Û 4a2 – 8b + 2a – 20 = 0 Û (a+ 1)2 + 3a2 – 8b – 21 = 0Û (a+ 1)2 + 3a2 = 8b + 21 lại có (x+ y)2³ 4 xy Þ a2 ³ 4b Þ 8b + 21 £ 2a2 + 21Þ (a+ 1)2 + 3a2 £ 2a2 + 21Þ (a+ 1)2 £ 21 mà (a+ 1)2 là số chính phương Þ (a+ 1)2 Î {1, 4, 9, 16} Þ a Î {0, 1, 2, 3} Với a = 0 Þ 12 + 3. 0 = 8b + 21 Þ 8b = 20 loại Với a = 1 Þ (1+1)2 + 3.12 = 8b + 21 Þ 8b = -14 loại Với a = 2 Þ (1+ 2)2 + 3.22 = 8b + 21 Þ 8b = 0 Þ b = 0 Với a = 3 Þ (1+ 3)2 + 3.32 = 8b + 21 Þ 8b = 22 loại Vậy được a = 2, b = 0 Þ Bài 6: Hai đội cờ thi đấu với nhau mỗi đấu thủ của đội này phải đấu 1 ván với mỗi đấu thủ của đội kia. Biết rằng tổng số ván cờ đã đấu bằng 4 lần tổng số đấu thủ của hai đội và biết rằng số đấu thủ của ít nhất trong 2 đội là số lẻ hỏi mỗi đội có bao nhiêu đấu thủ. Hướng dẫn: Gọi x, y lần lượt là số đấu thủ của đội 1 và đội 2 (x, y nguyên dương ) Theo bài ra ta có xy = 4 (x + y) Đây là phương trình nghiệm nguyên ta có thể giải bằng các cách sau Cách 1: Có xy = 4(x + y)Û xy – 4x – 4y + 16 = 16Û (x-4) (y - 4) = 16 mà 16 = 1.16 = 2.8 = 4.4 lại có ít nhất 1 đội có số đấu thủ lẻ Cách 2: Ta thấy x, y bình đẳng.Không mất tính tổng quát ta giả sử x£ y Ta có x, y nguyên dương xy = 4 (x + y)Û lại có Mà Thử trực tiếp ta được x = 5, y = 20 (thoả mãn) Vậy 1 đội có 5 đấu thủ còn đội kia có 20 đấu thủ Bài 7: Tìm năm sinh của Bác Hồ biết rằng năm 1911 khi Bác ra đi tìm đường cứu nước thì tuổi Bác bằng tổng các chữ số của năm Bác sinh cộng thêm 3. Hướng dẫn: Ta thấy nếu Bác Hồ sinh vào thể kỷ 20 thì năm 1911 Bác nhiều nhất là 11 tuổi (1+ 9 + 0 + 0 + 3) loại Suy ra Bác sinh ra ở thế kỷ 19 (x, y nguyên dương, x, y £ 9) Theo bài ra ta có Þ 2y Nên y = 0 Þ x = 9 Vậy năm sinh của Bác Hồ là 1890 Bài 8: Hãy dựng một tam giác vuông có số đo 3 cạnh là a, b, c là những số nguyên và có cạnh đo được 7 đơn vị |
