Với cách giải Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của phân thức môn Toán lớp 8 Đại số gồm phương pháp giải chi tiết, bài tập minh họa có lời giải và bài tập tự luyện sẽ giúp học sinh biết cách làm bài tập Giải bài toán bằng cách lập phương trình. Mời các bạn đón xem: Giải bài toán bằng cách lập phương trình và cách giải - Toán lớp 8
- Giải bài toán bằng cách lập phương trình là đưa những bài trong thực tế về phương trình toán học để tìm ra đáp án thỏa mãn điều kiện ban đầu. - Giải bài toán bằng cách lập phương trình gồm có 3 bước Bước 1: Lập phương trình - Đặt ẩn và tìm dữ kiện phù hợp với ẩn; - Biểu diễn các dữ kiện bài toán chưa biết thông qua ẩn và các đại lượng đã biết; - Lập phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa các đại lượng. Bước 2: Giải phương trình đã lập. Bước 3: Kiểm tra điều kiện và đưa ra kết luận của bài toán. Chú ý: Một số chú ý về chọn ẩn như sau: + Thông thường bài toán tìm đại lượng gì thì chọn ẩn là đại lượng đó. + Nếu x biểu thị là chữ số thì 0≤x≤9;x∈ℕ. + Nếu x biểu thị số tuổi, số sản phẩm, số học sinh,… thì x∈ℕ* + Nếu x biểu thị các đại lượng đo lường như thời gian; vận tốc; quãng đường… thì x>0. II. Các dạng bài Dạng 1: Bài toán so sánh, thêm bớt Phương pháp giải: Vận dụng các dữ kiện của bài toán để lập phương trình và giải theo các bước đã được nêu ở phần lí thuyết. Ví dụ 1: Học kỳ một, số học sinh giỏi của lớp 8A chiếm 18 học sinh cả lớp. Sang kỳ hai, lớp 8A có thêm 3 học sinh giỏi nữa và lúc này số học sinh giỏi chiếm 15 học sính cả lớp. Hỏi lớp 8A có bao nhiêu học sinh. Lời giải: Gọi số học sinh cả lớp là x x∈ℕ*. Vì học kỳ một số học sinh giỏi chiếm 18học sinh cả lớp nên số học sinh giỏi kỳ một là 18x (học sinh) Vì học kỳ hai có thêm 3 học sinh giỏi nữa nên số học sinh giỏi kỳ hai là 18x+3 (học sinh) (1) Mặt khác số học sinh giỏi kỳ hai bằng 15 số học sinh cả lớp nên số học sinh giỏi kỳ hai là 15x (học sinh) (2) Từ (1) và (2) ta có phương trình: 15x=18x+3 ⇔15x−18x=3 ⇔15−18x=3 ⇔340x=3 ⇔x=3:340 ⇔x=40 (tm) Vậy lớp 8A có 40 học sinh. Ví dụ 2: Hai rổ cam có tất cả 96 quả. Nếu chuyển 4 quả từ rổ thứ nhất sang rổ thứ 2 thì số quả cam trong rổ thứ nhất bằng 35 số quả cam trong rổ thứ 2. Tìm số cam mỗi rổ. Lời giải: Gọi số cam trong rổ thứ nhất là xx∈ℕ*,3<x<96. Vì tổng số cam hai rổ là 96 quả cam nên số cam rổ thứ hai là 96 – x (quả). Khi chuyển 4 quả cam từ rổ thứ nhất sang rổ thứ 2 thì số cam rổ thứ nhất là x – 4 (quả), số cam trong rổ thứ hai là (96 – x + 4) (quả) Sau khi chuyển số cam trong rổ thứ nhất bằng 35só cam trong rổ thứ hai nên ta có phương trình: (x – 4) = 35(96 – x + 4) ⇔x−4=35100−x ⇔x−4=60−35x ⇔x+35x=60+4 ⇔1+35x=64 ⇔85x=64 ⇔x=64:85 ⇔x=40 (tm) Số cam của rổ thứ nhất là 40 (quả) Số cam của rổ thứ hai là 96 – 40 = 56 (quả). Dạng 2: Bài toán chuyển động Phương pháp giải: Sử dụng một số kiến thức sau đây: - Công thức cần ghi nhớ: S = t.v Trong đó: S là quãng đường (km, m, …); v là vận tốc (km/h; m/s…); t là thời gian (h; s…) - Các bài toán có lực cản (ví dụ lực cản của gió; dòng nước chảy…) thì cần chú ý kh vận tốc xuôi và vận tốc ngược so với vận tốc thực của vật và vận tốc cản như sau: vxuoi=vthuc+vcan vnguoc=vthuc−vcan Ví dụ 1: Một xe máy đi từ Thanh Hóa ra Hà Nội với vận tốc 42km/h rồi từ Hà Nội về Thanh Hóa với vận tốc 36km/h, vì vậy thời gian về nhiều hơn thời gan đi 45 phút. Tính quãng đường từ Thanh Hóa đi Hà Nội. Lời giải: Đổi 45 phút = 0,75h Gọi quãng đường từ Thanh Hóa ra Hà Nội là x (km) x>0 Vì xe máy đi từ Thanh Hóa ra Hà Nội với vận tốc 42km/h nên thời gian xe máy đi từ Thanh Hóa ra Hà Nội là x42(h). Vì xe máy đi từ Hà Nội về Thanh Hóa với vận tốc 36km/h nên thời gian xe máy đi từ Hà Nội về Thanh Hóa là x36(h). Lại có thời gian về nhiều hơn thời gian đi 0,75h nên ta có phương trình: x36−x42=0,75 ⇔x136−142=0,75 ⇔x7252−6252=0,75 ⇔x.1252=0,75 ⇔x=0,75:1252 ⇔x=189(thỏa mãn) Vậy quãng đường từ Thanh Hóa ra Hà Nội là 189km. Ví dụ 2: Một ca nô khi xuôi dòng từ A đến B hết 1h 20 phút và ngược dòng hết 2h 30 phút. Biết vận tốc dòng nước là 3km/h. Tính vận tốc riêng của ca nô. Lời giải: Đổi 1h 20 phút =43 (h) 2h 30 phút = 2,5 (h) Gọi vận tốc riêng của ca nô là x (km/h) x>3 Vận tốc xuôi dòng của ca nô là x + 3 (km/h) Vận tốc ngược dòng của ca nô là x – 3 (km/h) Vì ca nô đi xuôi dòng hết 43 (h) nên quãng đường ca nô xuôi dòng là: (x + 3). 43 (km) Vì ca nô đi ngược dòng hết 2,5 (h) nên quãng đường ca nô ngược dòng là: (x – 3).2,5 (km) Vì quãng đường ca nô đi xuôi dòng và ngược dòng là giống nhau nên ta có phương trình: 43x+3=2,5x−3 ⇔43x+4=2,5x−7,5 ⇔43x−2,5x=−7,5−4 ⇔43−2,5x=−11,5 ⇔−76x=−11,5 ⇔x=−11,5:−76 ⇔x=697 (tm) Vậy vận tốc thực của ca nô là 697km. Dạng 3: Bài toán liên quan đến năng suất Phương pháp giải: Ta sử dụng công thức A = N.t với A là khối lượng công việc, N là năng suất, t là thời gian. Ví dụ 1: Một đội lập kế hoạch khai thác than, theo đó mỗi ngày phải khai thác 40 tấn than. Nhưng khi thực hiện mỗi ngày đội khai thác được 45 tấn than do đó đội hoàn thành kế hoạch trước 2 ngày và vượt mức 10 tấn than. Hỏi theo kế hoạch đội phải khai thác bao nhiêu tấn than. Lời giải: Gọi số tấn than đội phải khai thác theo kế hoạch là x (tấn) (x > 0) Theo kế hoạch đội phải khai thác mỗi ngày 40 tấn than nên thời gian đội hoàn thành kế hoạch là x40(ngày). Thực tế, mỗi ngày đội khai thác 45 tấn than do đó đội đã vượt năng xuất 10 tấn nên số than thực tế đội khai thác được là x + 10 (tấn). Số ngày thực tế đội đã khai thác than là x+1045(ngày). Do số ngày thực tế ít hơn số ngày dự định là 2 ngày nên ta có phương trình: x40−x+1045=2 ⇔x.9360−x+10.8360=2 ⇔9x360−8x+80360=2 ⇔9x−8x−80360=2 ⇔x−80360=2 ⇔x−80=2.360 ⇔x−80=720 ⇔x=720+80 ⇔x=800 (tm) Vậy theo dự định đội cần khai thác 800 tấn than. Ví dụ 2: Một xí nghiệm dự định sản xuất 300 sản phẩm trong 1 ngày. Nhưng nhờ cải tiến kỹ thuật nên mỗi ngày xí nghiệm sản xuất thêm được 100 sản phẩm do đó xí nghiệp không những hoàn thành kế hoạch trước thời hạn 1 ngày mà làm thêm được 600 sản phẩm. Tính số sản phẩm thực tế xí nghiệp dự định làm. Lời giải: Gọi số sản phẩm xí nghiệm dự định làm là x>0;x∈ℕ* Vì mỗi ngày xí nghiệp dự định làm 300 sản phẩm nên thời gian dự định là x300(ngày). Mỗi ngày xí nghiệp làm được thêm 100 sản phẩm nên số sản phẩm xí nghiệp làm được trong một ngày là 400 sản phẩm. Do vượt mức 600 sản phẩm nên số sản phẩm thực tế xí nghiệp làm được là x + 600 (sản phẩm). Thời gian thực tế xí nghiệp đã làm là x+600400(ngày) Vì hoàn thành công việc sớm hơn 1 ngày nên ta có phương trình x300−x+600400=1 ⇔4x1200−3x+6001200=1 ⇔4x1200−3x+18001200=1 ⇔4x−3x−18001200=1 ⇔x−18001200=1 ⇔x−1800=1200 ⇔x=1800+1200 ⇔x=3000 (tm) Vậy theo kế hoạch xí nghiệp cần sản xuất 3000 sản phẩm. Dạng 4: Bài toán hình học Phương pháp giải: Ta cần ghi nhớ các công thức về chu vi, diện tích các hình như hình tam giác, hình chữ nhật,... Một số công thức: - Diện tích hình chữ nhật là: S = ab (đơn vị diện tích) - Chu vi hình chữ nhật là C = (a + b).2 (đơn vị độ dài) Với a, b là chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật - Diện tích hình vuông a2(đơn vị diện tích) Với a là độ dài cạnh hình vuông - Định lý Py – ta – go trong tam giác vuông a2=b2+c2 Với a là độ dài cạnh huyền của tam giác vuông, b, c là độ dài hai cạnh góc vuông. Ví dụ 1: Một khu vườn có chiều dài hơn chiều rộng 12m. Nếu tăng chiều dài 3m và giảm chiều rộng đi 1,5m thì diện tích khu vườn không đổi. Tính chu vi khu vườn ban đầu. Lời giải: Gọi chiều dài của khu vườn cần tính là x (m) (x > 12) Vì chiều dài hơn chiều rộng 12m nên chiều rộng của khu vườn là x – 12 (m) Diện tích ban đầu của khu vườn là x(x – 12) m2. Nếu tăng chiều dài lên 3m thì chiều dài mới của khu vườn là x + 3 (m) Nếu giảm chiều rộng đi 1,5m thì chiều rộng mới của khu vườn là x – 12 – 1,5 (m) Diện tích khu vườn sau khi thay đổi kích thước là (x + 3)(x – 13, 5) m2 Vì diện tích khu vườn sau khi thay đổi bằng diện tích khu vườn ban đầu nên ta có phương trình: x+3x−13,5=xx−12 ⇔x2+3x−13,5x−40,5=x2−12x ⇔x2+3x−13,5x−40,5−x2+12x=0 ⇔x2−x2+3x−13,5x+12x−40,5=0 ⇔1,5x=40,5 ⇔x=40,5:1,5 ⇔x=27 Vậy chiều dài của khu vườn là 27m Vì chiều rộng kém chiều dài 12m nên chiều rộng của khu vườn là 27 – 12 = 15m. Chu vi khu vườn ban đầu là: (27 + 15).2 = 84m. Ví dụ 2: Một tam giác vuông có chu vi 60m và cạnh huyền là 25m. Tìm các cạnh góc vuông của tam giác đã cho. Lời giải: Vì chu vi của tam giác là 60m và cạnh huyền là 25m nên tổng độ dài hai cạnh góc vuông là 60 – 25 = 35m. Gọi cạnh góc vuông thứ nhất là x (m), khi đó cạnh góc vuông thứ 2 là 35 – x (m). Giả sử cạnh góc vuông thứ nhất lớn hơn hoặc bằng cạnh góc vuông thứ hai nên ta có x≥17,5. Áp dụng định lý Py – ta - go cho tam giác vuông ta có phương trình: 35−x2+x2=252 ⇔1225−70x+x2+x2=625 ⇔2x2−70x+1225−625=0 ⇔2x2−70x+600=0 ⇔2x2−40x−30x+600=0 ⇔2xx−20−30x−20=0 ⇔2x−30x−20=0 ⇔2x−30=0x−20=0 ⇔2x=30x=20 ⇔x=15 (ktm)x=20 (tm) Vậy cạnh góc vuông thứ nhất của tam giác là 20m Cạnh góc vuông thứ hai của tam giác là 35 – 20 = 15m. Dạng 5: Bài toán tính tuổi Phương pháp giải: Ta vận dụng các dữ liệu của đề bài để lập phương trình. Chú ý: Sau mỗi năm thì tuổi của mỗi người tăng thêm 1 nhưng hiệu số tuổi của hai người là không đổi. Ví dụ 1: Biết rằng cách đây 4 năm tuổi anh gấp 5 lần tuổi em. Hiện nay, tuổi anh gấp 3 lần tuổi em. Tính tuổi anh, tuổi em. Lời giải: Gọi tuổi em cách đây 4 năm là x (tuổi) x∈ℕ* Vì tuổi anh cách đây 4 năm gấp 5 lần tuổi em nên tuổi anh cách đây 4 năm là 5x (tuổi). Tuổi em hiện nay là x + 4 (tuổi), tuổi anh hiện nay là 5x + 4 (tuổi). Vì hiện nay tuổi anh gấp ba lần tuổi em nên ta có phương trình 3(x + 4) = (5x + 4) ⇔3x+12=5x+4 ⇔5x−3x=12−4 ⇔2x=8 ⇔x=4(thỏa mãn) Tuổi em hiện nay là: 4 + 4 = 8 (tuổi) Tuổi anh hiện nay là: 3.8 =24 (tuổi). Ví dụ 2: Hiệu số tuổi của anh và em là 8. Tính tuổi của mỗi người hiện nay biết rằng tuổi em cách đây 4 năm bằng nửa tuổi anh hiện nay. Lời giải: Gọi tuổi em hiện nay là x (tuổi) x∈ℕ*;x>4 Vì hiệu số tuổi hai anh em là 8 tuổi nên số tuổi của anh hiện nay là x + 8 (tuổi). Tuổi em các đây 4 năm là x – 4 tuổi. Vì tuổi em cách đây 4 năm bằng nửa tuổi anh hiện nay nên ta có phương trình: 2(x – 4) = x + 8 ⇔2x−8=x+8 ⇔2x−x=8+8 ⇔x=16(thỏa mãn) Tuổi em hiện nay là 16 tuổi Tuổi anh hiện nay là 16 + 8 = 24 (tuổi). Dạng 6: Bài toán liên quan đến tỉ số phần trăm. Phương pháp giải: Dựa vào dữ kiện bài toán để lập phương trình Chú ý: Nếu xí nghiệp cần làm x sản phẩm nhưng quá trình làm việc vượt mức a% thì số sản phẩm làm được là (100 + a)%.x (sản phẩm). Ví dụ 1: Trong tháng đầu tiên hai tổ công nhân làm được 800 sản phẩm. Sang tháng thứ hai tổ I vượt mức 15%, tổ II vượt mức 20% nên cả hai tổ làm được 945 sản phẩm trong tháng thứ hai. Tính số sản phẩm mỗi tổ làm được trong tháng một. Lời giải: Gọi số sản phẩm tổ I làm được trong tháng đầu tiên là x (sản phẩm) x∈ℕ*;x<800. Vì cả hai tổ làm được 800 sản phẩm nên tổ hai làm được 800 – x (sản phẩm). Tháng thứ hai tổ I vượt mức 15% nên số sản phẩm tổ I làm được là (100 + 15)%.x (sản phẩm) Tháng thứ hai tổ II vượt mức 20 % nên số sản phẩm tổ II làm được là (100 + 20)%.(800 – x) (sản phẩm) Vì tháng thứ hai cả hai tổ làm được 945 sản phẩm nên ta có phương trình: (100 + 15)%x+ (100 + 20) %.(800 – x) = 945 ⇔1,15x + 1,2(800 – x) = 945 ⇔1,15x+960−1,2x=945 ⇔1,15x+960−1,2x=945 ⇔−0,05x=−15 ⇔x=(−15):(−0,05) ⇔x=300(thỏa mãn) Số sản phẩm tổ I làm được trong tháng thứ nhất là 300 (sản phẩm) Số sản phẩm tổ hai làm được trong tháng thứ nhất là 800 – 300 = 500 (sản phẩm). Ví dụ 2: Năm 2016 tổng số dân của hai tỉnh Nam Định và Bắc Ninh là 4 triệu người. Năm 2017 số dân tỉnh Nam Định tăng 1,2%, số dân tỉnh Bắc Ninh tăng 1,1%. Tổng số dân hai tỉnh năm 2017 là 4045000 người. Tính số dân mỗi tỉnh năm 2016. Lời giải: Gọi số dân của tình Bắc Ninh năm 2016 là x (dân) x∈ℕ*;x<4000000. Vì tổng số dân của hai tỉnh Nam Định và Bắc Ninh năm 2016 là 4000000 nên số dân tỉnh nam Định là 4000000 – x (dân). Vì năm 2017 số dân tỉnh Bắc Ninh tăng 1,1% nên số dân tỉnh Bắc Ninh năm 2017 là (100 + 1,1)%.x (dân). Vì năm 2017 số dân tỉnh Nam Định tăng 1,2% nên số dân tỉnh Nam Định năm 2017 là (100 + 1,2)%.(4000000 – x) (dân) |
