Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn toán lớp 9 là vấn đề quan tâm của nhiều học sinh, vì vậy PQT.EDU.VN sẽ trình bày cụ thể, chi tiết nhất về chuyên đề cách chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn hay còn gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác, nhằm giúp các bạn làm bài thi đạt điểm tối đa câu hỏi về tứ giác nội tiếp này. Show
Trước khi đi vào cụ thể cách chứng minh tứ giác nội tiếp thì các bạn cần nắm kiến thức lý thuyết về tứ giác nội tiếp đường tròn dưới đây: Sau đó hãy rèn luyện với 1001 Dạng bài toán chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn Định nghĩa tứ giác nội tiếp đường tròn: Một tứ giác có bốn đỉnh cùng nằm trên một đường tròn gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn. Định lý: Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 180 độ. Định lý đảo: Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180 độ thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn. Hệ quả:
Lưu ý khi chứng minh tứ giác nội tiếp đường trònĐể làm tốt các bài tập chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn, các bạn cần đặc biệt lưu ý các vấn đề sau:
Cách chứng minh tứ giác nội tiếp đường trònCó nhiều phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp, ở bài viết này chúng tôi sẽ trình bày theo thứ tự các cách được sử dụng phổ biến bởi tính nhanh, gọn, rõ ràng của chúng. Các cách này được sử dụng dựa trên Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp Cách 1. Sử dụng định nghĩa tứ giác nội tiếp đường tròn. Ta dựa vào định nghĩa "Một tứ giác có bốn đỉnh cùng nằm trên một đường tròn gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn." để làm bài, cụ thể: Chứng minh các đỉnh của tứ giác cùng cách đều một điểm I một khoảng cách bằng R thì tứ giác sẽ nội tiếp đường tròn tâm I bán kính R. Cách 2. Sử dụng định lý đảo của tứ giác nội tiếp Căn cứ vào định lý đảo "Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180 độ thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn." để làm bài, cụ thể: Chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180 độ. Ví dụ: Để chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn ta cần chỉ ra góc A + C = 180 độ hoặc góc B + D = 180 độ Cách 3. Chứng minh tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối của đỉnh đó Phương pháp này được phát triển từ cách thứ 2 ở trên theo giải thích dưới đây Hai phương pháp tiếp theo đây đều sử dụng chung hệ quả của tứ giác nội tiếp. Cụ thể ta chứng minh hai đỉnh kề nhau của tứ giác cùng nhìn một cạnh dưới hai góc bằng nhau. Với 2 trường hợp ứng với 2 cách 4 và 5: Cách 4. Tứ giác có hai góc đối nhau cùng là góc vuông thì tứ giác đó nội tiếp đường tròn. Cách 5. Tứ giác có hai đỉnh cùng nhìn một cạnh dưới một góc vuông thì nội tiếp đường tròn. Cách 6. Tứ giác có tổng số đo hai cặp góc đối bằng nhau thì tứ giác đó nội tiếp đường tròn Ví dụ: Cho một tứ giác tứ giác ABCD. Để ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn ⇔ góc A + góc C = góc B + góc D. Cách 7. Chỉ ra tứ giác thuộc trường hợp tứ giác đặc biệt Tứ giác là các hình sau đây sẽ nội tiếp đường tròn: - Hình vuông - Hình chữ nhật - Hình thoi - Hình bình hành - Hình thang cân Để chứng minh được tứ giác thuộc một trong bốn hình đặc biệt nêu trên, các bạn cần nắm tính chất của các hình đó được trình bày chi tiết các bài viết 1. Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (gọi tắt là tứ giác nội tiếp). Quảng cáo 2. Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng . 3. Nếu trong một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn. 4. Nếu một tứ giác lồi có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn.
Bài 1: Cho ΔABC nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh rằng:
Hướng dẫn giải Quảng cáo
Suy ra các điểm E, F cùng thuộc đường tròn đường kính BC hay tứ giác BCEF nội tiếp.
+) ∠EBF = ∠ECF (hai góc nội tiếp cùng chắn ). +) ∠FHB = ∠EHC(đối đỉnh). Suy ra ΔBHF ∼ ΔCHE (g.g) BH/CH = HF/HE hay HB.HE = HC.HF (1) Chứng minh tương tự ta có: HA.HD = HB.HE (2) Từ (1) và (2) suy ra: HA.HD = HB.HE = HC.HF. Bài 2: Cho ΔABC nhọn, đường cao AH. Các điểm M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên AB, AC. Chứng minh rằng:
Hướng dẫn giải
Suy ra các điểm M, N cùng thuộc đường tròn đường kính AH nên: ∠AMN = ∠AHN (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AN) Mặt khác: ∠AHN = ∠ACH Do đó ΔAMN ∼ ΔACB (g.g) => AM/AC = AN/AB hay AM.AB = AN.AC.
∠AMN = ∠ACH Suy ra ∠BMN + ∠ACH = ∠BMN + ∠AMN = 180o Vậy tứ giác BMNC nội tiếp. Bài 3: Cho tam giác ABC có góc. Các điểm O, I lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác. Chứng minh rằng bốn điểm B, O, I, C cùng thuộc một đường tròn. Hướng dẫn giải Quảng cáo Gọi D là giao điểm khác của A của đường thẳng AI với đường tròn ngoại tiếp ΔABC . Ta có: ∠BID = ∠IAB + ∠ABI = 1/2 ∠A + 1/2 ∠B ∠CID = ∠IAC + ∠ACI = 1/2 ∠A + 1/2 ∠C Do đó: ∠BIC = ∠BID + ∠CID = 1/2 ∠A + 1/2∠B + 1/2∠C + 1/2∠A =1/2∠A + 90o Mặt khác: ∠BOC = 2∠A = 120o. Do đó hai điểm I và O cùng nhìn đoạn BC dưới những góc bằng nhau. Ngoài ra hai điểm I và O cùng thuộc nửa mặt phẳng chứa A, bờ BC. Do đó B, I, O, C cùng thuộc một đường tròn. Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn có ∠A > ∠B > ∠C. Đường tròn nội tiếp tâm I tiếp xúc với cạnh AB, AC tại M và N. Gọi P và Q lần lượt là các giao điểm của CI, BI với đường thẳng MN. Chứng minh rằng:
Hướng dẫn giải
\=> ΔAMN cân tại A. Ta có: ∠CNQ = ∠ANM (đối đỉnh) \= (180o - ∠A)/2 =(∠B + ∠C)/2 \=∠IBC + ∠ICB = ∠CIQ Tứ giác INQC có hai điểm liên tiếp I và N cùng nhìn cạnh QC dưới các góc bằng nhau nội tiếp được một đường tròn.
Vì AC tiếp xúc với đường tròn (I) tại N nên IN ⊥ AC hay ∠INC = 90o Suy ra ∠IQC = 90o (1) Chứng minh tương tự câu a) ta có tứ giác IMPB nội tiếp \=> ∠IMB = ∠IPB = 90o Từ (1) và (2) suy ra: ∠BPC = ∠BQC = 90o nên tứ giác BPQC nội tiếp đường tròn đường kính BC. Bài 5: Cho hình bình hành ABCD có ∠BAD = 90o, có tâm là O. Gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu vuông góc của C lên BD, AD, AB. Chứng minh bốn điểm M, N, P, O cùng thuộc một đường tròn. Hướng dẫn giải Quảng cáo Ta có: ∠CPA = ∠CNA = 90o (gt) nên tứ giác ANCP nội tiếp đường tròn (O) đường kính AC. Suy ra ∠PON = 2∠PCN Lại có: ∠PCN + ∠NAP = 180o \=> ∠PCN = 180o - ∠NAP = ∠ABC (do AD // BC) Do đó ∠PON = 2∠ABC (1) Mặt khác ∠PMN = 180o - (∠PMB + ∠NMD) Mà tứ giác CDNM nội tiếp đường tròn đường kính CD nên: ∠NMD = ∠NCD = 90o - ∠CDN = 90o - ∠ABC Lại có tứ giác BCMP nội tiếp đường tròn đường kính BC nên: ∠PMB = ∠PCB = 90o - ∠ABC \=> ∠PCB = 180o - (90o - ∠ABC + 90o - ∠ABC) = 2∠ABC (2) Từ (1) và (2) suy ra: ∠PON = ∠PMN do đó tứ giác POMN nội tiếp. Tham khảo thêm các Chuyên đề Toán lớp 9 khác:
Mục lục các Chuyên đề Toán lớp 9:
Săn SALE shopee Tết:
ĐỀ THI, GIÁO ÁN, KHÓA HỌC DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 9Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi dành cho giáo viên và khóa học dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85 Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.  Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube: Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn. Chứng minh tứ giác nội tiếp như thế nào?Nếu trong tứ giác, tổng các góc bằng 360 độ, và góc tại một đỉnh của tứ giác là góc vuông (90 độ), thì có thể kết luận tứ giác này là tứ giác nội tiếp. Ta có thể chứng minh bằng cách tính toán và chứng minh rằng tổng các góc trong tứ giác bằng 360 độ và tổng các góc ở ngoại tiếp của đường tròn cũng bằng 360 độ. Tứ giác ABCD nói tiếp khi nào?Theo định lý góc nội tiếp, tứ giác ABCD có tổng hai góc đối bằng 180°. Góc ngoài bằng góc đối trọng là gì?Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện: Điều này có nghĩa là góc ngoài tạo bởi hai cạnh không kề nhau tại một đỉnh của tứ giác, sẽ bằng góc trong tạo bởi hai cạnh kề nhau tại đỉnh đối diện. Tam giác nội tiếp là gì?Đường tròn nội tiếp tam giác là đường tròn có tâm nằm trên đường trung trực của các cạnh tam giác và tiếp xúc với từng cạnh tam giác tại một điểm. Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác chính là giao điểm của các đường trung trực. Giả sử ta có một tam giác ABC với các cạnh AC, AB, và BC. |
