Chương III. Tóm tắt – Các thuật ngữ và Bài tập
TÓM TẮT
Biến ngẫu nhiên là một hàm số thực hiện
việc gán một số thực, cho mỗi biến cố của
một thí nghiệm. Một biến ngẫu nhiên
được xác định nếu kết cục của thí nghiệm
ngẫu nhiên là một số, hoặc nếu sự số hóa
của kết cục được quan tâm.
Khái niệm biến cố tương đương cho phép
chúng ta suy ra xác suất của các biến cố
thuộc vào một biến ngẫu nhiên qua xác
suất của các biến ngẫu nhiên cơ bản.
Hàm xác suất FX(x) là xác suất để X rơi
vào khoảng (–, x]. Xác suất số của biến
cố bất kỳ là hợp của khoảng có thể được
biểu diễn qua hàm xác suất của nó.
Một biến ngẫu nhiên được gọi là rời rạc
nếu các giá trị có thể của nó thuộc tập đếm
được nào đó. Một biến ngẫu nhiên được
gọi là liên tục nếu hàm phân phối của nó
có thể được viết dưới dạng tích phân của
một hàm không âm. Một biến ngẫu nhiên
được gọi là hỗn hợp nếu nó là hỗn hợp
của biến ngẫu nhiên rời rạc và biến ngẫu
nhiên liên tục.
Xác suất của các biến cố thuộc vào biến
ngẫu nhiên liên tục X có thể được biểu
diễn như là tích phân của hàm mật độ xác
suất fX(x).
Nếu X là biến ngẫu nhiên, khi đó
Y \= g(X) cũng là một biến ngẫu nhiên.
Khái niệm biến cố tương đương cho phép
chúng ta suy ra biểu thức của hàm phân
phối và hàm mật độ xác suất của Y qua
hàm phân phối và hàm mật độ xác suất
của X.
Dùng hàm phân phối và hàm mật độ xác
suất của biến ngẫu nhiên là đủ để tính tất
cả các xác suất chỉ liên quan đến biến
ngẫu nhiên X. Giá trị trung bình, phương
sai và các mô men của một biến ngẫu
nhiên tóm lược một số thông tin về biến
ngẫu nhiên X. Các tham số này là hữu ích
trong thực tiễn, chúng dễ dàng đo và ước
lượng hơn hàm phân phối và hàm mật độ
xác suất.
Các bất đẳng thức Markov và Chebyshev
cho phép chúng ta tìm được cận của các
xác suất liên quan đến X chỉ qua hai
momen của nó.
Phép kiểm nghiệm khi-bình phương đo
sự phù hợp của tập các số liệu với hàm
xác suất hay hàm mật độ xác suất giả
thiết. Nó cũng được sử dụng để chứng tỏ
sự phù hợp của các mô hình xác suất với
số liệu thực nghiệm.
Các phương pháp biến đổi cung cấp cho
chúng ta một cách biểu diễn thay thế và
tương đương với hàm xác suất và hàm
mật độ xác suất. Trong một số dạng bài
toán, làm việc với phương pháp biến đổi
phù hợp hơn làm việc với hàm xác suất
hoặc hàm mật độ xác suất. Các momen
của biến ngẫu nhiên có thể nhận được từ
phép biến đổi tương ứng.
Độ tin cậy (độ ổn định) của hệ thống là
xác suất để hệ vẫn hoạt động sau t giờ làm
việc. Độ ổn định của hệ thống có thể được
xác định qua độ ổn định của các bộ phận.