Đề bài: Có 20 công nhân năng suất làm việc như nhau đóng xong một chiếc tàu trong 60 ngày. Hỏi nếu chỉ còn 12 công nhân thì họ đóng xong chiếc tàu đó trong bao nhiêu ngày?
Hướng dẫn giải:
Vì khối lượng công việc không đổi và năng suất làm việc như nhau nên số lượng công nhân tỉ lệ nghịch với số ngày hoàn thành công việc.
Sử dụng tính chất của hai đại lượng tỉ lệ nghịch: x1. y1 = x2. y2.
Đáp án:
Gọi số ngày để 12 công nhân đóng xong chiếc tàu là x (ngày) (x > 0).
Vì khối lượng công việc không đổi và năng suất làm việc của mỗi người là như nhau nên số công nhân và số ngày đóng xong chiếc tàu là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.
Áp dụng tính chất của 2 đại lượng tỉ lệ nghịch, ta có:
Vậy 12 công nhân đóng chiếc tàu đó trong 100 ngày.
4. Giải Bài 4 Trang 20 SGK Toán Lớp 7
Đề bài: Đội sản xuất Quyết Tiến dùng x máy gặt (có cùng năng suất) để gặt xong một cánh đồng đến y giờ. Hai đại lượng x và y có tỉ lệ nghịch với nhau hay không ?
Hướng dẫn giải:
Đáp án:
Vì khối lượng công việc không đổi (cùng một cánh đồng) và năng suất của mỗi máy gặt là như nhau nên số máy gặt và thời gian để gặt xong một cánh đồng là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.
Vậy hai đại lượng x và y có tỉ lệ nghịch với nhau.
5. Giải Bài 5 Trang 20 SGK Toán Lớp 7
Đề bài: Cho biết a (m) là chu vi của bánh xe, b là số vòng quay được của bánh xe trên đoạn đường xe đi từ A đến B. Hỏi a và b có phải là hai đại lượng tỉ lệ nghịch không? Hướng dẫn giải:
Đáp án:
Đoạn đường xe đi được từ A đến B bằng chu vi bánh xe nhân với số vòng quay.
Vì đoạn đường từ A đến B không đổi nên chu vi của bánh xe và số vòng quay được là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.
Vậy a và b là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.
6. Giải Bài 6 Trang 20 SGK Toán Lớp 7
Đề bài: Dựa theo bảng giá trị tương ứng của hai đại lượng trong mỗi trường hợp sau, hãy cho biết hai đại lượng sau có tỉ lệ nghịch với nhau hay không ?
Hướng dẫn giải:
Đáp án:
- Ta thấy: 1.60 = 2.30 = 3.20 = 4.15 = 5.12 nên a và b là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.
- Vì 2.12 = 24; 3.9 = 27 nên 2.12 3.27.
Do đó, m và n không phải là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.
7. Giải Bài 7 Trang 20 SGK Toán Lớp 7
Đề bài: Một nông trường có 2 máy gặt (có cùng năng suất) đã gặt xong một cánh đồng hết 4 giờ. Hỏi nếu có 4 máy gặt như thế sẽ gặt xong cánh đồng đó hết bao nhiêu thời gian?
Hướng dẫn giải:
Số máy gặt và số giờ gặt là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.
Sử dụng tính chất của hai đại lượng tỉ lệ nghịch: x1. y1 = x2. y2.
Đáp án:
Với cùng một cánh đồng và năng suất của mỗi máy gặt là như nhau thì số máy gặt và số giờ gặt là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.
8. Giải Bài 8 Trang 20 SGK Toán Lớp 7
Đề bài: Lan muốn cắt hình chữ nhật có diện tích bằng 24 cm2. Gọi n (cm) và d (cm) là độ dài hai cạnh của hình chữ nhật. Hãy chứng tỏ n và d tỉ lệ nghịch với nhau và tính n theo d.
Hướng dẫn giải:
Đáp án:
Vì Lan muốn cắt hình chữ nhật có diện tích bằng 24 cm2 (không đổi) nên n.d = 24. Do đó, n và d tỉ lệ nghịch với nhau.
9. Giải Bài 9 Trang 20 SGK Toán Lớp 7
Đề bài: Một đoàn tàu lửa chuyển động đều trên quãng đường 200 km với vận tốc v (km/h) trong thời gian t (h). Hãy chứng tỏ v, t tỉ lệ nghịch với nhau và tính t theo v.
Hướng dẫn giải:
Đáp án:
Ta có: Vì đoàn tàu lửa chuyển động đều trên quãng đường 200 km (không đổi) nên Do đó, v, t tỉ lệ nghịch với nhau.
Hỏi hai đại lượng x và y có quan hệ tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch không? Viết công thức liên hệ giữa x và y.
Lời giải:
Ta thấy: \(\dfrac{{0,5}}{{2,5}} = \dfrac{1}{5} = \dfrac{{1,5}}{{7,5}} = \dfrac{2}{{10}} = \dfrac{{2,5}}{{12,5}}\) nên x và y là 2 đại lượng tỉ lệ thuận.
Công thức liên hệ: \(x = \dfrac{1}{5}.y\) (hay y = 5.x)
Bài 6.28 trang 20 sách giáo khoa Toán 7 Kết nối tri thức tập 2
Cho ba đại lượng x,y,z. Tìm mối quan hệ giữa hai đại lượng x và z, biết rằng:
- x và y tỉ lệ thuận, y và z tỉ lệ thuận
- x và y tỉ lệ thuận, y và z tỉ lệ nghịch
- x và y tỉ lệ nghịch, y và z tỉ lệ nghịch
Lời giải:
- Giả sử y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ a nên y = a.x nên \(x = \dfrac{y}{a}\)
y tỉ lệ thuận với z theo hệ số tỉ lệ b nên y = b.z
Do đó, \(x = \dfrac{y}{a} = \dfrac{{b.z}}{a} = \dfrac{b}{a}.z\)( \(\dfrac{b}{a}\) là hằng số vì a,b là các hằng số)
Vậy x tỉ lệ thuận với z và hệ số tỉ lệ là \(\dfrac{b}{a}\)
- Giả sử y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ a nên y = a.x nên \(x = \dfrac{y}{a}\)
y tỉ lệ nghịch với z theo hệ số tỉ lệ b nên y = \(\dfrac{b}{z}\)
Do đó, \(x = \dfrac{y}{a} = \dfrac{{\dfrac{b}{z}}}{a} = \dfrac{b}{z}:a = \dfrac{b}{z}.\dfrac{1}{a} = \dfrac{{\dfrac{b}{a}}}{z}\)( \(\dfrac{b}{a}\) là hằng số vì a,b là các hằng số)
Vậy x tỉ lệ nghịch với z và hệ số tỉ lệ là \(\dfrac{b}{a}\)
- Giả sử y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a nên y = \(\dfrac{a}{x}\) nên x = \(\dfrac{a}{y}\)
y tỉ lệ nghịch với z theo hệ số tỉ lệ b nên y = \(\dfrac{b}{z}\)
Do đó, \(x = \dfrac{a}{y} = \dfrac{a}{{\dfrac{b}{z}}} = a:\dfrac{b}{z} = a.\dfrac{z}{b} = \dfrac{a}{b}.z\)( \(\dfrac{a}{b}\) là hằng số vì a,b là các hằng số)
Vậy x tỉ lệ thuận với z và hệ số tỉ lệ là \(\dfrac{a}{b}\)
Bài 6.29 trang 20 sách giáo khoa Toán 7 Kết nối tri thức tập 2
Để thu được một loại đồng thau, người ta pha chế đồng và kẽm nguyên chất theo tỉ lệ 6:4. Tính khối lượng đồng và kẽm nguyên chất cần thiết để sản xuất 150 kg đồng thau.
Lời giải:
Gọi khối lượng đồng và kẽm để pha chế 150 kg đồng thau lần lượt là x, y (kg) (x,y > 0) nên x + y = 150
Vì đồng và kẽm nguyên chất theo tỉ lệ 6:4 nên \(\dfrac{x}{6} = \dfrac{y}{4}\)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\begin{array}{l}\dfrac{x}{6} = \dfrac{y}{4} = \dfrac{{x + y}}{{6 + 4}} = \dfrac{{150}}{{10}} = 15\\ \Rightarrow x = 15.6 = 90\\y = 15.4 = 60\end{array}\)
Vậy khối lượng đồng và kẽm để pha chế 150 kg đồng thau lần lượt là 90 kg và 60 kg.
Bài 6.30 trang 20 sách giáo khoa Toán 7 Kết nối tri thức tập 2
Với thời gian để một thợ lành nghề làm được 12 sản phẩm thì người thợ học việc chỉ làm được 8 sản phẩm. Hỏi người thợ học việc phải mất bao nhiêu thời gian để hoàn thành khối lượng công việc mà người thợ lành nghề làm trong 48 giờ?
Lời giải:
Gọi thời gian người thợ học việc cần để hoàn thành khối lượng công việc mà người thợ lành nghề làm trong 48 giờ là x ( giờ) (x > 0)
Vì với cùng một công việc, thời gian và số sản phẩm làm được là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.
Theo tính chất hai đại lượng tỉ lệ nghịch, ta có:
12.48 = 8. x \( \Rightarrow x = \dfrac{{12.48}}{8} = 72\)
Vậy thời gian người thợ học việc cần là 72 giờ.
Bài 6.31 trang 20 sách giáo khoa Toán 7 Kết nối tri thức tập 2
Học sinh khối lớp 7 đã quyên góp được một số sáchh nộp cho thư viện. Sĩ số của các lớp 7A, 7B, 7C, 7D tương ứng là 38;39;30 và 40 em. Biết rằng số sách quyên góp được tỉ lệ với số học sinh của lớp và lớp 7D góp được nhiều hơn lớp 7A là 4 quyển sách. Hỏi mỗi lớp quyên góp được bao nhiêu quyển sách?
Lời giải:
Gọi số quyển sách 4 lớp 7A, 7B, 7C, 7D quyên góp được lần lượt là x,y,z,t ( quyển) (x,y,z,t \( \in \)N*)
Vì lớp 7D góp được nhiều hơn lớp 7A là 4 quyển sách nên t – x = 4
Vì số sách quyên góp được tỉ lệ với số học sinh của lớp nên \(\dfrac{x}{{38}} = \dfrac{y}{{39}} = \dfrac{z}{{40}} = \dfrac{t}{{40}}\)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\begin{array}{l}\dfrac{x}{{38}} = \dfrac{y}{{39}} = \dfrac{z}{{40}} = \dfrac{t}{{40}} = \dfrac{{t - x}}{{40 - 38}} = \dfrac{4}{2} = 2\\ \Rightarrow x = 2.38 = 76\\y = 2.39 = 78\\z = 2.40 = 80\\t = 2.40 = 80\end{array}\)
Vậy số quyển sách 4 lớp 7A, 7B, 7C, 7D quyên góp được lần lượt là 76, 78, 80, 80 quyển sách
Bài 6.32 trang 20 sách giáo khoa Toán 7 Kết nối tri thức tập 2
Thư viện của một trường Trung học cơ sở mua ba đầu sách tham khảo môn Toán lớp 6, lớp 7 và lớp 8, tổng cộng 121 cuốn. Giá của mỗi cuốn sách tham khảo môn Toán lớp 6, lớp 7 và lớp 8 lần lượt là 40 nghìn đồng, 45 nghìn đồng và 50 nghìn đồng. Hỏi thư viện đó mua bao nhiêu cuốn sách tham khảo môn Toán mỗi loại, biết rằng số tiền dùng để mua mỗi loại sách đó là như nhau?
Lời giải:
Gọi số cuốn sách tham khảo môn Toán lớp 6, lớp 7 và lớp 8 mà thư viện đó mua lần lượt là x, y, z (x, y, z \( \in \)\(\mathbb{N}\))
Vì tổng cộng là 121 cuốn nên ta có \(x + y + z = 121\)
Vì số tiền dùng để mua mỗi loại sách đó là như nhau nên số cuốn sách và giá tiền một cuốn sách tương ứng là 2 đại lượng tỉ lệ nghịch.
Theo tính chất hai đại lượng tỉ lệ nghịch, ta có:
40.x=45.y=50.z
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{x}{{\dfrac{1}{{40}}}} = \dfrac{y}{{\dfrac{1}{{45}}}} = \dfrac{z}{{\dfrac{1}{{50}}}}\\ = \dfrac{{x + y + z}}{{\dfrac{1}{{40}} + \dfrac{1}{{45}} + \dfrac{1}{{50}}}} = \dfrac{{121}}{{\dfrac{{121}}{{1800}}}} = 121.\dfrac{{1800}}{{121}} = 1800\\ \Rightarrow x = 1800.\dfrac{1}{{40}} = 45\\y = 1800.\dfrac{1}{{45}} = 40\\z = 1800.\dfrac{1}{{50}} = 36\end{array}\)
Vậy số sách tham khảo môn Toán lớp 6, lớp 7 và lớp 8 mà thư viện đó mua lần lượt là 45 quyển, 40 quyển và 36 quyển.