Cho bốn điểm \(A,B,C\) và \(D\) không đồng phẳng. Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AC\) và \(BC\). Trên đoạn \(BD\) lấy điểm \(P\) sao cho \(BP=2PD\).
- Tìm giao điểm của đường thẳng \(CD\) và mặt phẳng \((MNP)\).
- Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \((MNP)\) và \((ACD)\).
Giải
- Trong \((BCD)\), gọi \(I\) là giao điểm của \(NP\) và \(CD\).
\(I\in NP\subset (MNP)\) do đó \(CD\cap (MNP)=I\).
- Trong \((ACD)\), gọi \(J=MI\cap AD\)
\(J\in AD\subset (ACD)\), \(M\in AC\subset (ACD)\)
Do đó \((MNP)\cap(ACD)=MI\).
Bài 7 trang 54 sách giáo khoa hình học lớp 11
Cho bốn điểm \(A, B, C\) và \(D\) không đồng phẳng. Gọi \(I,K\) lần lượt là trung điểm của hai đoạn thẳng \(AD\) và \(BC\)
- Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \((IBC)\) và \((KAD)\)
- Gọi \(M\) và \(N\) là hai điểm lần lượt lấy trên hai đoạn thẳng \(AB\) và \(AC\). Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \((IBC)\) và \((DMN)\).
Lời giải:
- Chứng minh \(I, K\) là hai điểm chung của \((BIC)\) và \((AKD)\)
\(I\in AD\Rightarrow I\in(KAD)\Rightarrow I\in(KAD)\cap (IBC)\),
\(K\in BC\Rightarrow K\in(BIC)\Rightarrow K\in(KAD)\cap (IBC)\),
Hay \(KI=(KAD)\cap (IBC)\)
- Trong \(ACD)\) gọi \(E = CI ∩ DN\Rightarrow E\in (IBC)\cap (DMN)\)
Trong \((ABD)\) gọi \(F = BI ∩ DM\Rightarrow F\in (IBC)\cap (DMN)\).
Do đó \(EF=(IBC)\cap (DMN)\)
Bài 8 trang 54 sách giáo khoa hình học lớp 11
Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB\) và \(CD\) trên cạnh \(AD\) lấy điểm \(P\) không trùng với trung điểm của \(AD\)
- Gọi \(E\) là giao điểm của đường thẳng \(MP\) và đường thẳng \(BD\). Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \((PMN)\) và \((BCD)\)
- Tìm giao điểm của mặt phẳng \((PMN)\) và \(BC\).
Lời giải:
- Ta có \(E\in BD\Rightarrow E\in(BCD)\)
\(E\in MP\Rightarrow E\in(PMN)\)
Do đó: \(E\in (BCD)\cap(PMN)\)
\(N\in CD\Rightarrow N\in(BCD)\)
\(N \in(PMN)\)
Do đó: \(N\in (BCD)\cap(PMN)\)
\(=> (PMN) ⋂ (BCD) = EN\)
- Trong mặt phẳng \((BCD)\) gọi \(Q\) là giao điểm của \(NE\) và \(BC\) thì \(Q\) là giao điểm của \((PMN)\) và \(BC\).
Bài 9 trang 54 sách giáo khoa hình học lớp 11
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành \(ABCD\). Trong mặt phẳng đáy vẽ đường thẳng \(d\) đi qua \(A\) và không song song với các cạnh của hình bình hành, \(d\) cắt đoạn \(BC\) tại \(E\). Gọi \(C'\) là một điểm nằm trên cạnh \(SC\)
- Tìm giao điểm \(M\) của \(CD\) và mặt phẳng \((C'AE)\)
- Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng \((C'AE)\)
Lời giải:
- Trong \((ABCD)\) gọi \(M = AE ∩ DC \Rightarrow M ∈ AE\),
\(AE ⊂ ( C'AE) \Rightarrow M ∈ ( C'AE)\).
Mà \(M ∈ CD \Rightarrow M = DC ∩ (C'AE)\)
- Trong \((SDC) : MC' ∩ SD = F\). Do đó thiết diện là \(AEC'F\).
Bài 10 trang 54 sách giáo khoa hình học lớp 11
Cho hình chóp \(S. ABCD\) có \(AB\) và \(CD\) không song song. Gọi \(M\) là một điểm thuộc miền trong của tam giác \(SCD\)
- Tìm giao điểm \(N\) của đường thẳng \(CD\) và mặt phẳng \((SBM)\)
- Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \((SBM)\) và \((SAC)\)
- Tìm giao điểm \(I\) của đường thẳng \(BM\) và mặt phẳng \((SAC)\)
- Tìm giao điểm \(P\) của \(SC\) và mặt phẳng \((ABM)\), từ đó suy ra giao tuyến của hai mặt phẳng \((SCD)\) và \((ABM)\)
Giải bài 6 trang 54 SGK Hình học 11:
Bài 6 (trang 54 SGK Hình học 11): Cho bốn điểm A, B, C và D không đồng phẳng. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AC và BC. Trên đoạn BD lấy điểm P sao cho BP = 2PD.
- Tìm giao điểm của đường thẳng CD và mặt phẳng (MNP).
- Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (ACD).
Bài giải:
- Ta có:
⇒ NP và CD không song song với nhau.
Gọi giao điểm NP và CD là I.
I ∈ NP ⇒ I ∈ (MNP).
Mà I ∈ CD
Vậy I ∈ CD ∩ (MNP)
- Trong mặt phẳng (ACD) thì AD và MI cắt nhau tại điểm J:
J ∈ AD ⇒ J ∈ (ACD)
J ∈ MI ⇒ J ∈ (MNP)
Vậy J là một điểm chung của hai mặt phẳng (ACD) và (MNP).
Ta đã có M là một điểm chung của hai mặt phẳng (ACD) và (MNP).
Vậy MJ = (ACD) ∩ (MNP).