Bài tập 4 trang 92 toán hình 11 năm 2024

\({u_{n + 1}} - {u_n} = \dfrac{1}{{n + 1}} - 2 - \left( {\dfrac{1}{n} - 2} \right) \) \(= \dfrac{1}{{n + 1}} - \dfrac{1}{n}\)

Nội dung chính Show

Bài 4 (trang 92 SGK Hình học 11):

\( = \frac{{n - \left( {n + 1} \right)}}{{n\left( {n + 1} \right)}} = \frac{{ - 1}}{{n\left( {n + 1} \right)}} < 0,\forall n \in {N^*}\)

\( \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} < 0\,\,\forall n \in N^*\)

\( \Rightarrow {u_{n + 1}} < {u_n},\forall n \in {N^*}\)

Vậy dãy số đã cho là dãy số giảm.

Cách khác:

Với mọi \(n \in N*\) ta có:

\[{u_{n + 1}} = \frac{1}{{n + 1}} - 2 < \frac{1}{n} - 2 < {u_n}\]

Do đó \((u_n)\) là dãy số giảm.

LG b

\(u_n= \dfrac{n-1}{n+1}\)

Lời giải chi tiết:

Xét hiệu \(u_{n+1}-u_n= \dfrac{n+1-1}{n+1+1}-\dfrac{n-1}{n+1}\) \(=\dfrac{n}{n+2}-\dfrac{n-1}{n+1}\) \( = \dfrac{{n\left( {n + 1} \right) - \left( {n - 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}\)

\( = \dfrac{{{n^2} + n - \left( {{n^2} - n + 2n - 2} \right)}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}\)\( = \dfrac{{{n^2} + n - \left( {{n^2} + n - 2} \right)}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}\) \(= \dfrac{n^{2}+n- n^{2}-n+2}{(n+1)(n+2)}\) \(=\dfrac{2}{(n+1)(n+2)}>0\)

\(\Rightarrow u_{n+1}> u_n \forall n \in {\mathbb N}\)

Vậy dãy số đã cho là dãy số tăng.

Cách khác:

\({u_n} = \frac{{n - 1}}{{n + 1}} = \frac{{n + 1 - 2}}{{n + 1}} = \frac{{n + 1}}{{n + 1}} - \frac{2}{{n + 1}} = 1 - \frac{2}{{n + 1}}\)

Với mọi n thuộc N* ta có:

\(\begin{array}{l} {u_{n + 1}} = 1 - \frac{1}{{\left( {n + 1} \right) + 1}} = 1 - \frac{1}{{n + 2}}\\ {u_n} = 1 - \frac{1}{{n + 1}}\\ \frac{1}{{n + 2}} < \frac{1}{{n + 1}} \Rightarrow - \frac{1}{{n + 2}} > - \frac{1}{{n + 1}}\\ \Rightarrow 1 - \frac{1}{{n + 2}} > 1 - \frac{1}{{n + 1}} \Rightarrow {u_{n + 1}} > {u_n} \end{array}\)

Vậy dãy số đã cho là dãy số tăng.

LG c

\({u_n} = {( - 1)^n}({2^n} + 1)\)

Lời giải chi tiết:

Nhận xét:

\(\begin{array}{*{20}{l}} {\;{u_1}\; < {\rm{ }}0,{\rm{ }}{u_2}\; > {\rm{ }}0,{\rm{ }}{u_3}\; < {\rm{ }}0,{\rm{ }}{u_4}\; > {\rm{ }}0,{\rm{ }} \ldots }\\ { \Rightarrow \;{u_1}\; < {\rm{ }}{u_2},{\rm{ }}{u_2}\; > {\rm{ }}{u_3},{\rm{ }}{u_3}\; < {\rm{ }}{u_4},{\rm{ }} \ldots } \end{array}\)

⇒ dãy số \((u_n)\)không tăng, không giảm.

Chú ý:

Các dãy số mà có số hạng đan dấu là dãy số không tăng và cũng không giảm.

LG d

\(u_n= \dfrac{2n+1}{5n+2}\)

Phương pháp giải:

Xét thương \( \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}\) (vì \(u_n> 0\) với mọi \(n \in {\mathbb N}^*\) ) rồi so sánh với \(1\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({u_{n + 1}} = \frac{{2\left( {n + 1} \right) + 1}}{{5\left( {n + 1} \right) + 2}} = \frac{{2n + 3}}{{5n + 7}}\)

\( \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}\) \( =\dfrac{2n+3}{5n+7}:\dfrac{2n+1}{5n+2 }\)

\( =\dfrac{2n+3}{5n+7}.\dfrac{5n+2}{2n+1}\)

\( = \dfrac{{\left( {2n + 3} \right)\left( {5n + 2} \right)}}{{\left( {5n + 7} \right)\left( {2n + 1} \right)}}\)

Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi dành cho giáo viên và gia sư dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official

Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.