Nội dung bài viết gồm 2 phần:
- Ôn tập lý thuyết
- Hướng dẫn giải bài tập sgk
Công thức: Với a, b là những số thực tùy ý và với mọi số tự nhiên n ≥ 1, ta có:
(a + b)n = C0n an + C1n an – 1b + C2n an – 2b2 + … + Cnn – 1 abn – 1 + Cnnbn |
Hệ quả:
$2^{n}= C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + ... + C_{n}^{n}$
- Với a = 1 và b = - 1 ta có:
Quy ước: Với a là số thực khác 0 và n là số tự nhiên khác 0, ta quy ước:
$a^{0}=1 ; a^{-n} = a^{\frac{1}{n}}$Từ công thức: $C_{n}^{k} = C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^{k}$ suy ra cách tính các số ở mỗi dòng dựa vào các số ở dòng trước đó.
B. Bài tập và hướng dẫn giải
Câu 1: Trang 57 - sgk đại số và giải tích 11
Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu - tơn:
a) (a + 2b)5;
b) (a - √2)6;
c) (x - \(\frac{1}{x}\))13.
=> Xem hướng dẫn giải
Câu 2: Trang 58 - sgk đại số và giải tích 11
Tìm hệ số của x3 trong khai triển của biểu thức: (x + \(\frac{2}{x^{2}}\))6.
=> Xem hướng dẫn giải
Câu 3: Trang 58 - sgk đại số và giải tích 11
Biết hệ số của x2 trong khai triển của (1 - 3x)n là 90. Tìm n.
=> Xem hướng dẫn giải
Câu 4: Trang 58 - sgk đại số và giải tích 11
Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của (x3 + \(\frac{1}{x}\))8
=> Xem hướng dẫn giải
Câu 5: Trang 57 - sgk đại số và giải tích 11
Từ khai triển biểu thức (3x – 4)17 thành đa thức, hãy tính tổng các hệ số của đa thức nhận được.
=> Xem hướng dẫn giải
Câu 6: Trang 58 - sgk đại số và giải tích 11
Chứng minh rằng:
a) 1110 – 1 chia hết cho 100;
b) 101100– 1 chia hết cho 10 000;
c) $\sqrt{10}[(1 + \sqrt{10})100 – (1- \sqrt{10})100]$ là một số nguyên
=> Xem hướng dẫn giải
Trắc nghiệm đại số và giải tích 11 bài 3: Nhị thức Niu tơn (P2)§3. NHỊ THỨC NIU-TƠN (NEWTON) A. KIẾN THỨC CĂN BẢN CÔNG THỨC NHỊ THỨC NIU-TƠN (a + b)" = c°an + C^an-1b +... + cka"-kbk +... + c"bn = X cka"-kbk TAM GIÁC PA-XCAN (PASCAL) Muốn khai triển (a + b)n thành đa thức, ta cần biết n + 1 số c°, cj|,c2,...,c" có mặt trong công thức nhi thức Niu-tơn. Ta có thể tìm được chúng bằng cách sử dụng bằng số sau đây: 1 1 1 1 5 10 X A > 15 20 15 6 Tam giác Pa-xcan được lập theo quy luật sau: Đỉnh được ghi số 1. Tiếp theo là hàng thứ nhất ghi hai số 1. Nếu biết hàng thứ n (n > 1) thì hàng thứ n + 1 tiếp theo được thiết lập bằng cách cộng hai số liên tiếp của hàng thứ n rồi viết kết quả xuống hàng dưới ở vị trí giữa hai số này. Sau đó viết số 1 ở đầu và cuối hàng. Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu-tơn: 5 / Ỹ3 (a + 2b)5; b) (a - \Í2 ) ; c) X-- . ố^lắi (a + 2b)5 = ị ck.a5_k.(2b)k = a5 + cỉ.a4.(2b/ + ợ?.a3.(2b)2 + k=0 + Cg.a2.(2b)3 + Cg.a.(2b)4 + c| (2b)5 = a5 + 10a4b + 40a3b + SOaV + 80ab4 + 32b5 (a - M = X c6ka6-k (-72)k k=0 = a6 - 6a5 72 + 15a4 (72)2 - 20a3 (72)3 + 15a2 (Tã)4 - 6a (Tã)5 + (Vã)6 Ta Có (x + |} = ẳ0C-x6-kB) =kỆ0C-2k-Ặ Hệ số của X3 ứng với k sao cho 6-k = 2k + 3k = l Vậy hệ số của X3 trong khai triển là 2. Cg = 12. Biết hệ số của X2 trong khai triển của (1 - 3x)" là 90, tìm n. Ốịiài Ta CÓ: (1 - 3x)" = £ ck.(-3x)k = J ck.(-3)k .xk k=0 k=0 n! C2 (~3)2 = 90 « = 10 n(n -1) = 20 n = 5. Hệ số của X2 trong khai triển là: 2!(n-2)! Tìm số hạng không chứa X trong khai triển của: ^x3 + . úịiẦl / 1 A8 8 , , „s8-k /k-|Ak 8 , v24~3k Tací: *’4 = Z cị X3 .1 =ẳcỉ.ĩ2_ĩ. V x/ k=0 vx/ k=0 x Sô' hạng không chứa X ứng với k thỏa: 24-3k = kok = 6 Vậy sô' hạng không chứa X trong triển khai là Cg = 3360. Tử khai then nhị thức (3x - 4)'7 thành đa thức, hây tinh tổng các hệ sô' của đa thức nhận được. tfiai Tổng các hệ sô’ của đa thức f(x) = (3x - 4)17 là f( 1) = (-1)17 = -1. Chứng minh rằng: 11'° - 1 chia hết cho 100; 101100 - 1 chia hết cho 10 000; c) ựio /—\'00 r— (1 + V10) -(1-V10) là một số nguyên. ZyZdZ 10 Ta có: ll10 - 1 = (10 + l)10 - 1 = X cw 10k - 1. k=0 10 = 10. cjo - X cío 10k chia hết cho 100 k=2 10 vì 10CỊ0= 100 và X C^o10k ỉ 100 k=2 100 Ta có: 1O1100- 1 = (100 + l)100 - 1 = X cìo0100k -1 k=0 W0 100 = 1 + CjoQ.100 + Xcío0l°Ok -1 = 10000 + Xciool°° ỉ 10000 k=2 k=2 Ta có: (l + 7ĨÕ = X ckoo (xTO) k=0 100 100 , X C^o.lOí + X C^.IOÍVĨÕ 0<k = 2/<100 0<k = 2i+l<100 50 49 , = xc?'0.io' + X C^.IOÍVĨÕ (1) 1=0 1 = 0 (i-yĩõ)lw.ỵcfOŨ(-7ĩõf = gc“.io'-f O.io-.yĩõ (2) k=0 6=0 t = 0 Lấy (1) trừ (2) ta được: (1 + 7ĨÕ) -(1-ựĩõ) = 2 X Ció; .10 .7ĨÕ 6 = 0 / / \100 / I—— \100 v~" ^9/j.i _ —./J.1 . Suy ra VlO (l + x/ĩõ) -(l-TĨÕ) =2XC?M 10'+1e z. J (=0 c. BÀI TẬP LÀM THÊM Tìm số hạng không chứa X của khai triển ị^x + -yj ĐS: C20 = 45. 3. Trong khai triển /, , V1 x?/x + 15/v28 yx 7 Tìm số hạng không chứa căn thức trong khai triển (\/3 + V2)5 ĐS: c|= 10. tìm số hạng không chứa X biết: C" + C"'1 + C""2 = 79 ĐS: n = 12; C'i2 = 792.
-
Lý thuyết nhị thức Niu - Tơn
Tổng hợp lí thuyết Nhị thức Newton ngắn gon, đầy đủ, dễ hiểu giúp các em nắm bắt các kiến thức cơ bản và nâng cao hiệu quả nhất.
Xem chi tiết -
Câu hỏi 1 trang 55 SGK Đại số và Giải tích 11
Khai triển biểu thức (a + b)4 thành tổng các đơn thức...
Xem lời giải -
Câu hỏi 2 trang 57 SGK Đại số và Giải tích 11
Dùng tam giác Pa-xcan, chứng tỏ rằng:...
Xem lời giải -
Bài 1 trang 57 SGK Đại số và Giải tích 11
Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu - Tơn:
Xem lời giải -
Bài 2 trang 58 SGK Đại số và Giải tích 11
Tìm hệ số của x^3 trong khai triển của biểu thức:(x + 2/x^2)^6
Xem lời giải -
Bài 3 trang 58 SGK Đại số và Giải tích 11
Biết hệ số của x^2 trong khai triển của (1 - 3x)^n là 90. Tìm n.
Xem lời giải -
Bài 4 trang 58 SGK Đại số và Giải tích 11
Tìm số hạng không chứa x trong khai triển
Xem lời giải -
Bài 5 trang 58 SGK Đại số và Giải tích 11
Từ khai triển biểu thức (3x – 4)^{17} thành đa thức, hãy tính tổng các hệ số của đa thức nhận được.
Xem lời giải -
Bài 6 trang 58 SGK Đại số và Giải tích 11
Chứng minh rằng:
Xem lời giải
Quảng cáo