Hình học giải tích là một kiến thức khá mới và thú vị trong chương trình toán THPT. Chính vì vậy, hôm nay Kiến Guru muốn chia sẻ đến các bạn hướng dẫn giải toán nâng cao 12 cho một số dạng bài tập hay bắt gặp trong các đề thi, mà tập trung chính sẽ là chủ đề phương trình mặt phẳng. Đây là những bài tập đòi hỏi tính vận dụng cao, ngoài kiến thức cơ bản, cũng yêu cầu sự kết hợp nhuần nhuyễn và linh hoạt các công thức mới có thể giải được. Cùng nhau khám phá bài viết nhé:
I. Giải toán nâng cao 12 – Kiến thức cần nắm.
Vecto pháp tuyến (VTPT) của mặt phẳng:
Chú ý:
+ Nếu
+ Một mặt phẳng được xác định duy nhất nếu ta biết VTPT của nó và một điểm nó đi qua.
+ Nếu hai vecto
Phương trình tổng quát của mặt phẳng:
+ Trong không gian Oxyz, mọi mặt phẳng đều có dạng sau: Ax+ By+Cz+D=0 (với A²+B²+C²≠0)
+ Khi đó vecto (A,B,C) được xem là VTPT của mặt phẳng.
+ Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(x0,y0,z0) và xem vecto (A,B,C) ≠ 0 là VTPT là:
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0
Một số trường hợp đặc biệt: Xét phương trình mặt phẳng (α): Ax+ By+Cz+D=0
(với A²+B²+C²≠0):
+ Nếu D=0 thì mặt phẳng đi qua gốc tọa độ.
+ Nếu A=0, BC≠0 thì mặt phẳng song song hoặc chứa trục Ox.
+ Nếu B=0, AC≠0 thì mặt phẳng song song hoặc chứa trục Oy
+ Nếu C=0, AB≠0 thì mặt phẳng song song hoặc chứa trục Oz.
+ Nếu A=B=0, C≠0 thì mặt phẳng song song hoặc trùng với (Oxy)
+ Nếu B=C=0, A≠0 thì mặt phẳng song song hoặc trùng với (Oyz)
+ Nếu A=C=0, B≠0 thì mặt phẳng song song hoặc trùng với (Oxz)
Như vậy ta rút ra nhận xét:
+ Nếu trong phương trình (α) không chứa ẩn nào thì mặt phẳng (α) sẽ song song hoặc chứa trục tương ứng (ví dụ A=0, tức là thiếu ẩn x, kết quả là mặt phẳng song song hoặc chứa trục Ox).
+ Phương trình mặt phẳng đoạn chắn: x/a +y/b + z/c=1. ở đây, mặt phẳng sẽ cắt các trục tọa độ tại các điểm có tọa độ (a,0,0); (0,b,0) và (0,0,c) (với abc≠0)
Vị trí tương đối của hai mặt phẳng: cho (α): Ax+By+Cz+D=0 và (β): A’x+B’y+C’z+D’=0, khi đó:
+ (α) song song (β):
+ (α) trùng (β):
+ (α) cắt (β): chỉ cần
Khoảng cách từ một điểm tới mặt phẳng: cho mặt phẳng (α): Ax+By+Cz+D=0 và điểm M(x0,y0,z0), lúc này khoảng cách từ M đến mặt phẳng (α) được tính theo công thức:
II. Hướng dẫn các dạng giải toán nâng cao 12 phương trình mặt phẳng.
Dạng 1: viết phương trình khi biết 1 điểm và VTPT. Dạng này có thể biến tấu bằng cách cho trước 1 điểm và một phương trình mặt phẳng khác song song với phương trình mặt phẳng cần tìm.
Phương pháp: Áp dụng trực tiếp phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có VTPT, áp dụng thêm lưu ý hai mặt phẳng song song thì có cùng VTPT.
VD: Xét không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A(1;0;-2) và VTPT (1;-1;2)?
Hướng dẫn:
Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm A, B, C không thẳng hàng.
Phương pháp:
Mấu chốt vấn đề là ta phải tìm được VTPT của mặt phẳng, vì đã biết trước được một điểm mà mặt phẳng đi qua rồi (A, B và C).
Do A, B, C cùng nằm trên mặt phẳng nên AB, AC là hai đoạn thẳng nằm trong mặt phẳng, lúc này:
Trường hợp này có thể biến tấu bằng cách thay vì cho 3 điểm cụ thể, bài toán sẽ cho 2 đường thẳng song song hoặc nằm trong mặt phẳng cần tìm. Cách làm là tương tự, thay các vecto AB, AC bằng các vecto chỉ phương của mặt phẳng, ta sẽ tìm được VTPT. Sau đó, chọn 1 điểm bất kì trên 1 đường thẳng là ta lại quay về dạng 1.
Ví dụ: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm A(1;0;-2), B(1;1;1) và C(0;-1;2).
Hướng dẫn:
Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng (α) song song với mặt phẳng (β): Ax+By+Cz+D=0 cho trước và cách điểm M một khoảng k cho trước.
Phương pháp:
Do (α) song song (β) nên mặt phẳng cần tìm có dạng: Ax+By+Cz+D’=0.
Sử dụng công thức khoảng cách để tìm D’.
Ví dụ: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) song song với (Q): x+2y-2z+1=0 và cách điểm M(1;-2;1) một khoảng là 3.
Hướng dẫn:
Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng (α) tiếp xúc với mặt cầu (S) cho trước.
Phương pháp:
Ta tìm tọa độ tâm I của (S). Do (α) tiếp xúc (S) nên ta sẽ tìm tọa độ tiếp điểm, gọi tiếp điểm là M. Có được điểm đi qua, VTPT lại là vecto MI thì ta dễ dàng áp dụng như dạng 1.
Nếu bài toán không cho tiếp điểm mà ta chỉ có thể tìm được VTPT dựa vào 1 số dữ kiện ban đầu, lúc này phương trình mặt phẳng có dạng: Ax+By+Cz+D=0. Sử dụng công thức tính khoảng cách để tìm D.
Ví dụ: Xét không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q): x+2y-2z+1=0 và tiếp xúc với mặt cầu (S): x²+y²+z²+2x-4y-2z-3=0.
Hướng dẫn:
III. Giải toán nâng cao 12 – Các bài tập tự luyện.
Đáp án:
Trên đây là những vấn đề giải toán nâng cao 12 chủ đề phương trình mặt phẳng mà Kiến Guru muốn chia sẻ tới các bạn. Trong khuôn khổ bài viết, tuy mới chỉ là một trong số rất nhiều dạng trong chương trình Toán THPT, nhưng Kiến hy vọng đây sẽ là một tài liệu ôn tập hữu ích dành cho các bạn. Ngoài ra, các bạn có thể tham khảo thêm nhiều bài viết khác trên trang của Kiến nhé. “Có công mài sắt có ngày nên kim”, chúc các bạn học tập tốt và đạt kết quả cao trong kì thi THPT sắp tới.
Chọn B
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C): x-12+y-12=4 Phép vị tự tâm O (với O là gốc tọa độ) tỉ số k = 2 biến (C) thành đường tròn nào trong các đường tròn có phương trình sau?
Xem đáp án » 18/06/2021 5,034
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho điểm A(1; 5), B(‒3; 2). Biết các điểm A, B theo thứ tự là ảnh của các điểm M, N qua phép vị tự tâm O, tỉ số k = -2 . Độ dài đoạn thẳng MN là
Xem đáp án » 18/06/2021 1,465
Page 2
Chọn B
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C): x-12+y-12=4 Phép vị tự tâm O (với O là gốc tọa độ) tỉ số k = 2 biến (C) thành đường tròn nào trong các đường tròn có phương trình sau?
Xem đáp án » 18/06/2021 5,034
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho điểm A(1; 5), B(‒3; 2). Biết các điểm A, B theo thứ tự là ảnh của các điểm M, N qua phép vị tự tâm O, tỉ số k = -2 . Độ dài đoạn thẳng MN là
Xem đáp án » 18/06/2021 1,465
Page 3
Đáp án D
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C): x-12+y-12=4 Phép vị tự tâm O (với O là gốc tọa độ) tỉ số k = 2 biến (C) thành đường tròn nào trong các đường tròn có phương trình sau?
Xem đáp án » 18/06/2021 5,034
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho điểm A(1; 5), B(‒3; 2). Biết các điểm A, B theo thứ tự là ảnh của các điểm M, N qua phép vị tự tâm O, tỉ số k = -2 . Độ dài đoạn thẳng MN là
Xem đáp án » 18/06/2021 1,465
Page 4
Chọn C
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Cho v→= (3;3) và đường tròn (C): x2+y2-2x+4y-4 = 0 Ảnh của (C) qua Tv→ là (C') có phương trình
Xem đáp án » 18/06/2021 7,604
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng song song a và b lần lượt có phương trình 2x - y + 4 = 0 và 2x - y -1 = 0. Tìm giá trị thực của tham số m để phép tịnh tiến T theo vectơ u→=m;-3 biến đường thẳng a thành đường thẳng b.
Xem đáp án » 18/06/2021 4,581
Cho tam giác ABC có A(2;3),B(1;-2),C(6;2) Phép tịnh tiến TBC¯ biến tam giác ABC thành
tam giác A’B’C’. Tọa độ trọng tâm tam giác A’B’C’ là
Xem đáp án » 18/06/2021 3,819
Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng 2x - y + 1 = 0. Để phép tịnh tiến theo vecto v→ biến đường thẳng d thành chính nó thì v→ phải là vecto nào trong các vecto sau?
Xem đáp án » 18/06/2021 2,189
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng
d1: 2x + 3y + 1 = 0 và d2: x - y - 2 = 0 Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến thành d2
Xem đáp án » 18/06/2021 2,146
Nếu phép tịnh tiến biến điểm A(1;2) thành điểm A′(−2;3) thì nó biến điểm B(0;1) thành điểm nào?
Xem đáp án » 18/06/2021 1,919
Cho điểm M(1;2) và v→ = (2;1). Tọa độ điểm M' là ảnh của điểm M qua phép tịnh tiến v→ là
Xem đáp án » 18/06/2021 1,904
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho điểm A(1; 5), B(‒3; 2). Biết các điểm A, B theo thứ tự là ảnh của các điểm M, N qua phép vị tự tâm O, tỉ số k = -2 . Độ dài đoạn thẳng MN là
Xem đáp án » 18/06/2021 1,465
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thằng d có phương trình 2x + y + 3 = 0. Phương trình đường thẳng d' là ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng trục Ox là
Xem đáp án » 18/06/2021 760
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thằng d có phương trình 2x + y + 3 = 0. Phương trình đường thẳng d' là ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng trục Ox là
Xem đáp án » 18/06/2021 654
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(-1;2). Gọi B là ảnh của A qua phép tịnh tiến vectơ u→=(3;-1). Tọa độ của điểm B là
Xem đáp án » 18/06/2021 642
Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn x-12+y-12=4 Phép vị tự tâm O (với O là gốc tọa độ) tỉ số k = 2 biến (C) thành đường tròn nào trong các đường tròn có phương trình sau?
Xem đáp án » 18/06/2021 598
Phép vị tự tâm O tỷ số 2 biến điểm A(-1;1) thành điểm A' Chọn khẳng định đúng.
Xem đáp án » 18/06/2021 549
Cho hai đường thẳng d: y = x + y - 1 = 0 và d': x + y -5 = 0 Phép tịnh tiến theo vecto u→ biến đường thẳng d thành d' Khi đó, độ dài bé nhất của u→ là bao nhiêu?
Xem đáp án » 18/06/2021 511
Trong hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng d: x - 3y + 3 = 0. Phép tịnh tiến v→2;2 biến đường thẳng d thành đường thẳng d’ có phương trình là
Xem đáp án » 18/06/2021 372
Page 5
Đáp án C
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C): x-12+y-12=4 Phép vị tự tâm O (với O là gốc tọa độ) tỉ số k = 2 biến (C) thành đường tròn nào trong các đường tròn có phương trình sau?
Xem đáp án » 18/06/2021 5,035
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho điểm A(1; 5), B(‒3; 2). Biết các điểm A, B theo thứ tự là ảnh của các điểm M, N qua phép vị tự tâm O, tỉ số k = -2 . Độ dài đoạn thẳng MN là
Xem đáp án » 18/06/2021 1,465
Page 6
Đáp án A
Vecto tịnh tiến cùng phương với d. Một vecto chỉ phương của d là ud→= (1;2)
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C): x-12+y-12=4 Phép vị tự tâm O (với O là gốc tọa độ) tỉ số k = 2 biến (C) thành đường tròn nào trong các đường tròn có phương trình sau?
Xem đáp án » 18/06/2021 5,035
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho điểm A(1; 5), B(‒3; 2). Biết các điểm A, B theo thứ tự là ảnh của các điểm M, N qua phép vị tự tâm O, tỉ số k = -2 . Độ dài đoạn thẳng MN là
Xem đáp án » 18/06/2021 1,465