Sinx cosx 3-sin2x 2 2 phương pháp đánh giá

The Image Conversion Program of Music Notation being Numeric Notation is a character recognition system that accepts input in form of music notation image that produces an output of a DOCX file containing the numeric notation from the input image. Music notation has notation value, ritmic value and written with a music stave. The system consists of four main processes: preprocessing (grayscale and thresholding), notation line segmentation, notation character segmentation, and template matching. Template matching is used to recognize the music notation that obtained after segmentation. The recognition process obtained by comparing the image with the template image that has been inputted before to the database. This system has 100% success rate on segmentation of the character and success rate 38,4843% on the character recognition with template matching.

Bài tập toán cao cấp.Tập 3,Phép giải tích nhiều biến số. DSpace/Manakin Repository. ...

Se analiza como a traves de la aritmetica en diferentes sistemas de numeracion posicional, se fomenta, desarrolla y promueve el pensamiento numerico. Observando que cuando uno se ve enfrentando a situaciones de trato numerico, suele convertir la resolucion de un problema en la solucion de algoritmos; no se analiza, en cambio si se opera. Se busca que mediante bases numericas diferentes al decimal, se analicen y comprendan los principios posicionales implicitos al operar. La investigacion se centra en tres pilares que contribuyen a desarrollar el pensamiento numerico, tomados del Ministerio de Educacion Nacional y del investigador Luis Rico Romero y su grupo de investigacion, los cuales son: - Comprension de los numeros y de la numeracion. - Comprension del concepto de las operaciones. - Calculos con numeros y aplicaciones de numeros y operaciones.

Vấn đề có tính thời sự và cấp bách đặt ra trong tất cả các cuộc hội thảo gần đây về đổi căn bản toàn diện quá trình dạy học, đó là tiêu chí đánh giá học sinh khi chuyển từ hướng tiếp cận nội dung sang hướng tiếp cận năng lực; chuyển từ quá trình dạy học sang quá trình tự học; tự giáo dục như thế nào. Rất nhiều câu hỏi được đạt ra từ các cấp độ: Người quản lý; người trực tiếp giảng dạy; người nghiên cứu giáo dục; phụ huynh và người học. Với các yêu cầu bức thiết hiện nay, xu hướng đánh giá cần phát huy tốt 3 chức năng quan trọng đó là : chức năng điều khiển, điều chỉnh quá trình dạy học; chức năng phát triển và chức năng giáo dục. Muốn vậy cần tập trung vào hai phương diện: Đánh giá về phẩm chất và đánh giá về năng lực thông qua việc đánh giá sản phẩm của các hoạt động hình thành kiến thức và rèn luyện kỹ năng theo chuẩn của từng môn học và các hoạt động giáo dục cụ thể.

En el presente articulo se muestra una propuesta didactica para el abordaje inicial del concepto de numero entero a traves del objeto didactico de numero relativo. Para esto, se propone un juego para desarrollar en la clase, con el cual se busca involucrar al estudiante en diversas situaciones cercanas a su contexto, que le permitan vivenciar la necesidad de utilizar el numero relativo para representar determinadas circunstancias. Adicionalmente, se muestran algunos resultados relacionados con la aplicacion de esta propuesta en el colegio La Giralda en la ciudad de Bogota.

877 lượt xem 146 download

Nội dung Text: Chuyên đề Toán: Lượng giác

1. ồ Văn Hoàng Chuyên đề lượng giác Tương tự đối với pt : cosax cosbx = 1 ; sinax cosbx = 2 Phương pháp thường sử dụng khi giải phương trình lượng giác là thực hiện một số phép biến đổi lượng giác thích hợp kể *Đôi lúc giải PTLG ta còn dùng phép đổi biến cho phần cung cả việc biến đổi đại số để đưa PTLG về dạng phương trình lượng lượng giác .Chẳng hạn với phương trình : giác cơ bản hay các phương trình lượng giác thường gặp hoặc sin 3 x sin 2 x.sin x . Ta có thể đặt t = x + đưa về dạng phương trình tích hoặc đặt ẩn phụ để đưa về phương 4 4 4 trình đại số bậc hai,bậc ba…;hoặc đôi khi còn phải sử dụng đến phương pháp đánh giá hai vế của phương trình. Để đạt được kết 3x 3t sin 3 x sin(3t ) sin 3t quả cao trong việc giải PTLG yêu cầu học sinh cần nắm vững các 4 4 yêu cầu tối thiểu sau đây : 2x 2t sin 2 x sin 2t sin 2t 1)Học thuộc (hoặc thông qua suy luận) các công thức lượng 2 2 giác,các cung, góc có liên quan đặc biệt,giá trị lượng giác của các 3sin t 4sin 3 t 2 cos t.sin 2 t cung(góc) đặc biệt. Khi đó: sin3t = sin2t.sint 2)Cần nắm vững cách giải PTLG cơ bản và các trường hợp đặc phương trình này ta có thể thực hiện nhiều cách giải dễ dàng. biệt.Cách giải các phương trình lượng giác thường gặp . * Chú ý: Đối với các công thức sinx cosx = ; 2 sin x 3)Phải có thói quen là đề cập đến TXĐ của phương trình (lấy 4 điều kiện) trước khi tiến hành phép biến đổi và đối chiếu điều các công thức nhân ba ; công thức hạ bậc theo tang của cung chia kiện khi có kết quả. đôi khi dùng phải chứng minh . * Tại sao đề cập đến việc biến đổi thích hợp:Vì các đồng nhất thức lượng giác thường rất đa dạng.Chẳng hạn : Nếu phương trình chứa nhiều hàm lượng giác khác nhau thì -Nếu cần biến đổi cos2x thì tuỳ theo đầu bài ta sẽ sử dụng một biến đổi tương đương về ph trình chỉ chứa một hàm lượng giác. trong các đồng nhất sau: Nếu phương trình chứa các hàm lượng giác của nhiều cung Cos2x = cos2x – sin2x = 2cos2x -1 = 1-2sin2x. khác nhau thì biến đổi tương đương về phương trình chỉ chứa các Ví dụ : Giải phương trình : hàm lượng giác của một cung. a) cos2x = sinx- cosx → biến đổi Cos2x = cos2x – sin2x Sau khi biến đổi như trên nếu phương trình nhận được không có → biến đổi Cos2x = 2cos2x -1 b) cos2x = cosx dạng quen thuộc thì có thể đi theo hai hướng: → biến đổi Cos2x = 1-2sin2x c) cos2x = sinx Hướng thứ nhất: 4 4 -Nếu cần biến đổi cos x-sin x thì tuỳ theo đầu bài ta sẽ sử dụng Biến đổi phương trình đã cho để đưa về việc giải phương trình một trong các đồng nhất sau: đơn giản quen thuộc. Các phương pháp biến đổi gồm có: cos4 x-sin4x = cos2x – sin2x = Cos2x = 2cos2x -1 = 1-2sin2x. Phương pháp đặt ẩn phụ Phương pháp hạ bậc *Cần chú ý đến các đồng nhất lượng giác thường gặp khi giải Phương pháp biến đổi thành phương trình tích cosx)2 toán như:1 sin2x = (sinx Phương pháp tổng các số hạng không âm 3 cos3x.sin3x+sin3x.cos3x = sin4x Phương pháp đánh giá Phương pháp hàm số 4 Hướng thứ hai 1 cos 2 2 x 3 cos 4 x 12 Dùng lập luận để khẳng định phương trình cần giải vô nghiệm cos 4 x sin 4 x 1 sin 2 x 2 2 4 Bài 1 ĐHYD98 (1 tan x)cos 3 x (1 cot x) sin3 x 2 sin2 x 1 3cos 2 2 x 5 3cos 4 x 32 6 6 sinx 0; cosx 0 cos x sin x 1 sin 2 x ĐK: sinx.cosx 0 4 4 8 sin 2 x 0 * Cần chú ý đến các số hạng có chứa thừa số (cosx ± sinx) là: cos2x ; cos3x+sin3x ; cos4x − sin4x ; cos3x − sin3x ; 1 + tanx; sinx cosx sinx cosx cos 3 x( ) sin3 x( pt ) 2 sin 2 x cosx sinx cotx − tanx ; 2 sin x …. cos 2 x( sinx cosx) sin2 x( sinx cosx) 2 sin2 x 4 * Các phép biến đổi lượng giác thường được tiến hành theo các sinx cosx 0 2sin2 x sinx cosx hướng sau: 2 ( sinx cosx) 4sinx.cosx +Hạ bậc phương trình(nếu có). +Đưa về cùng cung: sinx 0 cosx 0 sinx 0 cosx 0 -Nếu cùng hàm và cùng cung thì tiến hành đặt ẩn phụ. 2 2 sin 2 x 1 sin x cos x sin 2 x -Nếu cùng cung nhưng còn hai hàm sin và côsin thì sinx 0 Cosx 0 thường biến đổi về phương trình tích (Sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử như: đặt nhân tử x k ;( k ) chung,dùng hằng đẳng thức,nhóm hạng tử,nghiệm tam thức bậc hai) 4 2x k2 2 -Nếu cùng cung và còn hai hàm sin ; côsin với bậc các Bài 2:A96 Giải phương trình: tanx - tanx.tan3x = 2 hạng tử hơn,kém nhau 2n (với n là số tự nhiên) thì ta có thể chia hai vế của phương trình cho coskx hoặc sinkx (k là bậc lớn nhất trong phương trình) để đưa phương trình đã cho về dạng còn ĐK: chứa duy nhất hàm tang hoặc côtang của một cung rồi tiến hành đặt ẩn phụ. ( pt ) tan x(tan x tan 3x ) 2 * Khi đánh giá hai vế của phương trình thì các bất đẳng thức thường được dùng để ước lượng như: sin x 1 ; cos x 1 ; sin( x 3 x) sin 2 x tan x 2 tan x 2 cosx.cos3 x cosx.cos3 x 2 2 a sin x b cos x a b; 2 sin 2 x sinx 2sinx.cosx m n sin x cos 2 x 1 (với m, n 2 N ; m, n 3 ) sin x cos x 2 . 2 cosx cosx.cos3 x cosx.cos3 x sin ax 1 2 sin 2 x cosx.cos 3x sinbx = 2 -Đối với phương trình sinax cos 2 x 1 cos 4 x cos 2x sin bx 1 k cos 4 x 1 4x k2 x ; (k ). (dấu lấy tương ứng) 42
2. Hồ Văn Hoàng Chuyên đề lượng giác Bài 3: ĐHHH96 Giải 5 3sin 2 x 4cosx 1 2cosx 1 2cosx 0 ( pt ) 5 3sin 2 x 4cosx (1 2cox) 2 Bài 10: Giải tan x.sin 2 x 2sin 2 x 3(cos 2 x sinx.cosx ) 1 cosx 2 ĐK: cosx 0 x k ;k 2 5 3(1 cos 2 x) 4cosx 1 4cosx 4cos 2 x sin3 x 2 sin 2 x 3(cos 2 x sin 2 x sinx.cosx) ( pt ) cosx Chia 2 vế cho cos2x ≠ 0 có tan 3 x 2 tan 2 x 3(1 tan 2 x tan x) Bài 4:ĐHAN Giải phương trình: tanx + cotx = 4 tan 3 x tan 2 x 3 tan x 3 0 (tan x 1)(tan 2 x 3) 0 sinx 0 k ĐK sinx.cosx 0 sin 2 x 0 x ;(k ) tan x tan( ) x k cosx 0 2 tan x 1 4 4 ;(m, k ). 2 2 sinx cos 4 x sin x cos x tan 2 x 3 pt . 4 4 1 4sinx.cosx tan 2 x tan 2 x m cosx sin4 x sinx.cosx 3 3 1 sin 2 x sin 2 x sin 2 6 cos 2 x 1 sin 2 x 1:A03/ cot x 1 sin 2 x ds : x k 1 tan x x2 π + k2 4 π ππ π 2x k2 x k 6 12 2 ;(k ). 2:B03/ cotx - tanx + 4sin2x = KQ: x=± +k 5 sin2x 3 2x k2 2x k 6 12 2x 2 2 3:D03/ sin - tan x-cos =0 KQ: x = π; x=- +kπ 2 24 2 4 Bài 5: ĐHNT97 Giải phương trình: 2tanx + cotx= 3 sin 2 x 4:A04/ Tinh các góc của tam giác ABC không tù ,thoả mãn : sinx 0 k cos 2 A 2 2 cos B 2 2 cos C 3 Đk: x ;k cosx 0 2 A 90o Giải: M 0 2 2 sinx cosx sin x cos x 2 45o B C Ta có: tanx+cotx= π; x π cosx sinx sinx.cosx sin 2 x π 5π 2 5:B04/ 5sinx-2=3 1-sinx tg x. KQ: x = + k2 = +k2 2 6 6 pt tan x cotx tan x 3 π; x = - + kπ sin 2 x 6:D04/ 2cosx-1 2sinx+cosx =sin2x-sinx 2 2 tan x 3 tan x 3 π π KQ: x = ± + k2 sin 2 x sin 2 x 3 4 7:A05/ Cos23xcos2x –cos2x = 0 x k ; (k ) 3 Hd:hạ bậc đưa về pt bậc2 theo sin4x. Đs: x = k. /2 Bài 6:ĐHVHHN98 Giải phương trình: 8:B05: 1+ sinx + cosx +sin2x + cos2x = 0 cos10 x 2cos 2 4 x 6cos3 x.cosx cosx 8cosx.cos 3 3x 2 KQ : x k ;x k2 cos10 x 2cos 2 4 x cosx 2cosx(4cos 3 3 x 3cos3 x) pt 4 3 3 cos10 x 1 cos8 x cosx cos10 x cos8 x 9:D05/ cos 4 x sin 4 x cos x sin 3 x 0 4 4 2 cosx 1 x k2 ;(k ). 3 Bài 7:ĐHHVNH98 Giải phương trình: sin 6 x cos 6 x cos 4 x 1 2sin 2 x.cos 2 x [sin 4 x sin 2 x ] 0; ds : x k 2 2 4π sin 6 x cos 6 x ( sin 2 x cos 2 x )3 3( sin 2 x.cos 2 x (sin 2 x cos 2 x ) x 3 3 1 cos 2 4 x 32 5 3 10:db1.A05/ Tìm x (0; ): 4sin 2 - 3cos2x=1+2cos 2 x- 1 sin 2 x 1 ( ) cos 4 x 2 π 17π 5π 4 π 2π 7π π 4 4 2 8 8 5 5 k 53 ; ; + h2 . KQ x x= +k hay x = - cos 4 x 1 x ;(k ). ( pt ) cos 4 x cos 4 x 18 18 6 18 3 6 2 88 (Chọn k = 0; k = 1; h = 1) 1 Bài 8:ĐHHN98 Giải sin3 x.cosx cos3 x.sinx 11:db2.A05/ π; π 4 π π π 3 1 2 2cos x - - 3cosx - sinx = 0. KQ: x= +k x= +k 2 2 ( pt ) sinx.cosx( sin x cos x) 4 sinx.cosx( cos 2 x) 1 4 2 4 4 π cos2x - 1 π k + x - 3tan 2 x = 12:db2.B05/ tan . KQ: x=- +kπ sin 4 x 1 4x k2 x ;(k ). 2 2π 4 sinx cos x 2 82 3 3 3 2 Bài 9:Giải phương trình cos x 4 sin x 3cosx.sin x sinx 0 13:db1.D05/ tan -x + = 2. π; 2 = + k2πcosx 1+ cosx.cos 2 x 4 sin3 x 3cosx.sin2 x sinx 0 ( pt ) x π 5π cosx(1 sin 2 x) 4sin3 x 3cosx.sin2 x sinx 0 KQ:x = + k2 6 6 3 2 (cosx sinx ) 4sin x 4cosx.sin x 0 14:db2D05/ sin2x + cos2x + 3sinx - cosx - 2 = 0
3. Hồ Văn Hoàng Chuyên đề lượng giác π; x = π + k2π; x = ; x = + π π; x= 5ππ+kπ π π π π 5π 3 3 2 3 sin 2 x cos x 34:B08/ sin x 3 cos x sin x.cos x KQ: x = + k2 k2 2 6 6 k KQ : x ;x k 2 cos 6 x + sin 6 x - sinx.cosx 42 3 5 15:A06/ = 0. KQ: x = + 2k 35:D08/ 2sinx(1+cos2x) + sin2x =1 +2cosx 4 2 - 2sinx 2 x ds : x k ;x k2 16:B06/ cotx+sinx 1+tanx.tan = 4. KQ: x= +k 4 3 2 12 12 36)Tham khảo 2004: 4(sin3x +cos3x ) =cosx +3sinx. 2 1 1 17:D06/ cos3x +cos2x –cosx -1 = 0. KQ : x k ;x k2 2 2 cos x 37) Tham khảo 2004: 3 cos x sin x 4 18:db1.A06/ 38)TK 2004: sin x sin 2 x 3 cos x cos 2 x x 2 / 9 k 2 / 3;.. x k2 π 7π 19:db2.A06/ 2sin 2x- +4sinx+1=0. KQ: x= +k2π; x=kπ Cao đẳng năm2006 6 6 1)sin3x + cós3x =2(sinx +cosx) -1. HD: t = sinx +cosx π π 2)4cos2x – 6sin2x + 5sin2x – 4 = 0. HD: tanx(tanx −1) = 0 20:db1.B06/ 2sin 2 x-1 tg 2 2x+3 2cos2 -1 =0. KQ: x = ± +k 3)sin3x = sinx + cosx. 6 2 HD: cosx(sinx.cosx −1) = 0 π; x = + k2π; x = π + k2π 21:db2.B06/ cos2x+ 1+2cosx sinx-cosx =0 4) 1+cos2x +cos4x = 0. HD: cos2x(2cos2x −1) = 0 5) 2sin2x -cosx – 1 = 0. π π KQ: x = +k 6) 2sinx +cosx =sin2x +1. HD: (1 − cosx)(2sinx −1) = 0 4 2 7) sin2x +cos2x +sinx -2cos2x/2= 0.HD (cosx –sinx)(2sinx−1)= 0 22:db1.D06/ cos3 x sin 3 x 2 sin 2 x 1. 8)sin3x + cos3x = 2(sin5x + cos5x) Đưa về dạng: cos2x(sin3x – cos3x) = 0 9)2cos2x + 5sinx -4 = 0 KQ : x k ; x k2 ; x k2 10) (1+sinx)(1+cosx) = 2. HD: t = sinx + cosx 4 π; xx = ± + k2π; x2= k2π π; = + k2π 3x x 23:db2.D06/ 4sin 3 x+4sin 2 x+3sin2x+6cosx=0. 11) sin 3.sin Đặt 42 42 π 2π KQ: x = - + k2 pt sin 3t 3sin t sin 3t 3sin t 2 3 24:A07/ 1 + sin 2 x cosx + 1 + cos2 x sinx = 1 + sin2x 3sin t 4sin 3 t 3sin t sin t 0 x k2 2 π π KQ: x = - + k 12)cos7x +sin8x = cos3x –sin2x. HD: sin5x(cos3x-sin2x) =0 4 2 1 13) sin 3 x cos3 x 1 25:B07/ 2sin 2 2 x sin 7 x 1 sin x sin 2 x. HD: t = sinx +cosx 2 2 5 2 KQ : x k2 ; x k ;x k 2 π 14) 2 sin x cos x tg x 8 18 3 18 3π π; x= π 4 2 x x 26:D07/ sin +cos + 3cosx=2. KQ: x = +k2 - +k2 x k 2 2 2 6 4 sin x 2sin 2 x 1 0 1 1 2 4 2 27:db1.A07/ sin 2 x sin x 2 cot 2 x. x k2 2sin x sin 2 x 3 2 15) sin 4 x cos 4 x 2 3 sin x.cos x 1 cos 2 x 3 sin 2 x 1 27: KQ : x k 28: KQ: x k 4 2 3 Phương pháp đổi biến: Để giải phương trình lượng giác bằng 28:Db2.A07/ 2 cos 2 x 2 3 sin x cos x 1 3 sin x phương pháp đổi biến, ta sử dụng biến t để chuyển phương trình 3 cos x . π xπ 3x π;x=- +kπ. ban đầu về chứa các cung t, 2t, 3t,…, kt, rồi sử dụng các c ông 5x thức góc nhân đôi, nhân ba,… 29:db1.B07/ sin - - cos - = 2cos . 2 4 24 2 Ví dụ 1: Giải sin(2x - ) = 5sin(x - ) + cos3x (1) 2 3 6 KQ : x k ;x k2 ; x k2 3 3 2 Đặt t = x - 2x - = 2t và 3x = 3t + sin 2 x cos 2 x 2 6 3 30:db2.B07/ tan x - cot x.; x k2 cos x sin x 3 Khi đó (1) sin2t = 5sint + cos(3t + ) sin2t = 5sint - sin3t 2 31:db1.D07/ 2 2 sin x - cos x 1.KQ : x k ;x k 3sint - 4sin3t + 2sint.cost = 5sint 12 4 3 sin3t + sin2t = 5sint (3 - 4sin2t + 2cost - 5) sint = 0 (2sin2t - cost + 1)sint = 0 π 32:db2.D07/ 1- tan x 1 sin 2 x 1 tan x.KQ : x=k 2 (2cos t + cost - 3) sint = 0 4 sin t 0 1 1 7 cos t 1 33:A08/ 4sin x. sint = 0 t=k x- =k 3 sin x 4 6 3 sin x cos t (loại) x= +k ,k 2 2 6 5 3 x 1 3x KQ : x k ;x k ;x k Ví dụ 2: Giải sin( ) = sin( ) (2) 4 8 8 10 2 2 10 2
4. Hồ Văn Hoàng Chuyên đề lượng giác 1 3 x 3x Giải phương trình lượng giác bằng công thức hạ bậc. Đặt t = - 3t = . (2) sint = sin( 3t ) Để giải phương trình lượng giác bằng công thức hạ bậc, ta 2 10 2 10 2 thực hiện theo các bước sau: 2sint = 3sint - 4sin3t 4sin3t - sint = 0 2sint = sin3t Bước 1: Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa. (4sin2t - 1)sint = 0 (1 - 2cos2t)sint = 0 Bước 2: Thực hiện hạ bậc của phương trình bằng việc sử dụng tk tk sin t 0 các công thức: 1 21 2t k2 t k cos 2t Ví dụ 1: Giải sin24x - cos26x = sin(10x + ) (1) 3 6 2 2 3 x 3 1 cos8 x 1 cos12 x k x k2 sin(10 x 10 ) Phương trình (1) 10 2 5 2 2 2 3 x 4 2cos10x + cos12x + cos8x = 0 k x k2 10 26 15 2cos10x + 2cos10x.cos2x = 0 3 x 14 (cos2x + 1)cos10x = 0 k x k2 10 2 6 15 2x k2 x k cos 2 x 1 2 ,k Ví dụ 3: Giải sin(3x - ) = sin2x.sin(x + ) (3) k cos10 x 0 10 x k 4 4 x 2 20 10 3x 3t Ví dụ 2: Giải phương trình sin23x - cos24x = sin25x - cos26x (2) 4 Đặt t = x + suy ra Sử dụng công thức hạ bậc ta có: 4 2x 2t 1 cos 6 x 1 cos8 x 1 cos10 x 1 cos12 x 2 (2) 2 2 2 2 (2) sin(3t - ) = sin(2t - ).sint - sin3t = - cos2t. sint (cos12x - cos6x) + (cos10x - cos8x) = 0 2 - 2sin9x.sin3x - 2sin9x.sinx = 0 - 2sin9x(sin3x + sinx) = 0 3 2 sin3t - sint = 0 3sint - 4sin t = (1 - 2sin t)sint - 4sin9x.sin2x.cosx 2 2 (sin t - 1)sint = 0 cos t.sint = 0 cost.sint = 0 k sin 9 x 0 x k k sin 9 x 0 sin2t = 0 2t = k t= x+ 9 sin 2 x 0 ,k 2 4 2 sin 2 x 0 k x cos x 0 k x=- ,k . Vậy phương trình có 1 nghiệm 2 4 2 Với những phương trình chứa số lẻ các nhân tử bậc cao (giả sử bằng 3). Thông thường ta không đi hạ bậc tất cả các nhân tử đó Ví dụ 4: Giải 2cos( x ) = sin3x - cos3x (4) 6 mà chỉ chọn ra hai nhân tử để hạ bậc. Cụ thể ta xét ví dụ sau: Ví dụ 3: Giải phương trình sin23x - sin22x - sin2x = 0 (3) Đặt t = x 3x = 3t - 2 6 1 cos 6 x 1 cos 2 x sin 2 2 x 0 (3) 2 2 (4) 2cost = sin(3t - ) - cos(3t - ) 2cost = - cos3t - sin3t 2 -2 sin4x.sin2x + 2sin22x = 0 (cos6x−cos2x) + 2sin 2x = 0 2 2 2cost = - (4cos t - 3cost) - (3sint - 4sin3t) 3 - 2sin2x(sin4x - sin2x) = 0 4cos3t - cost + 3sint - 4sin3t = 0 (5) k x Ta xét hai trường hợp: sin 2 x 0 2 ,k sin 4 x sin 2 x k ,k TH1: Với cost = 0 t= x k 2 6 3 3 k ) - 4sin3( k )=0 Khi đó phương trình có dạng: 3sin( Ví dụ 4: Giải phương trình: sin32x .cos6x + sin6x .cos32x = 2 2 8 Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau để biến đổi cho VT: k (Vô lý). Vậy t = không là nghiệm của phương trình. Cách 1: Ta có: VT = sin22x.sin2x.cos6x + sin6x.cos2x.cos22x 2 = (1 - 2cos2x).sin2x.cos6x + sin6x.cos2x.(1 - 2sin22x) k ,k TH2: Với cost ≠ 0 t≠ = sin2x.cos6x + sin6x.cos2x - cos22x.sin2x.cos6x - 2 sin6x.cos2x.sin22x Chia cả hai vế của phương trình (5) cho cos3t, ta được: = sin8x - cos2x.sin2x.(cos2x.cos6x + sin6x.sin2x) 4−(1+tan2t)+3(1+tan2t)tant−4tan3t=0 tan3t+tan2t−3tant−3 = 0 1 3 tan t 1 = sin8x - sin4x.cos4x = sin8x 2 4 (tant + 1)(tan2t - 3) = 0 tan t 3 Cách 2: Ta có: 1 1 tan t 3 VT = (3sin2x - sin6x)cos6x + (3cos2x + cos6x).sin6x 4 4 5 x k t k x k 3 3 6 4 4 12 = (sin2x.cos6x + cos2x.sin6x) = sin8x 4 4 t k x k x k ,k Phương trình được biến đổi về dạng: 3 6 3 6 k x t k x k x k 3 1 3 48 4 ,k sin8x = sin8x = . 3 6 3 2 5 k 4 2 8 Vậy phương trình có 3 họ nghiệm. x 48 4
5. Hồ Văn Hoàng Chuyên đề lượng giác 5 7 Phương trình lượng giác 8/. sin( 2 x ) – 3cos( x ) = 1 + 2sinx 2 2 Loại 1. Phương trình bậc nhất, bậc hai , bậc cao với 1 hàm 9/. cos2x + 5sinx + 2 = 0 10/. cos2x + 3cosx + 2 = 0 số lượng giác 11/. 2cos2x – 3cosx + 1 = 0 12/. cos2x + sinx + 1 = 0 Cách giải chung. 3 tan 2 x 1 3 tan x 1 0 13/. 14/. cos3x + cos2x – cosx – 1 = 0 b1. Đặt HSLG theo t ( với t = sinx hoặc t = cosx thì có đk t 1 ) 2 2 15/. cos 3xcos2x – cos x = 0 16/. cos3x – 4cos2x + 3cosx – 4 = 0 b2. Giải phương trình theo t ( chẳng hạn f(t) = 0 ) b3. Chọn t thoả mãn điều kiện và giải theo phương trình lượng Loại 2. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx giác cơ bản để tìm x dạng: asinx + bcosx = c (1) Chú ý: 1.Phương trình cơ bản. (k ) Điều kiện có nghiệm Điều kiện vô nghiệm a2 + b 2 < c2 . v 2k a2 + b 2 c2 u (1) vô nghiệm (1) có nghiệm v 2k u sinu = sinv cosu = cosv v 2k u Cách giải 1: cotu = cotv u=v+k tanu = tanv u=v+k b1.Chia 2 vế của (1) cho a 2 b 2 Đặc biệt: ( cần ghi nhớ ) ( k ) b2.Biến đổi về dạng: sinu = sinv (hoặc cosu = cosv ) (2) b3.Giải (2) và kết luận. º sinx = 0 x= k º sinx = 1 x= + k2 º sinx = –1 x= – + k2 2 2 Chú ý: Sau khi biến đổi asinx + bcosx thành dạng C. sin x hoặc º cosx = 0 x= +k º cosx = 1 x = k2 º cosx = – 1 x= +k2 2 C. cos x ta có thể dùng máy tính cầm tay (MTCT) để tính º tanx = 0 x=k º tanx = 1 x= +k º tanx = – 1 x 4 nghiệm của phương trình. =– +k 4 Cách giải 2: 2. Phương trình bậc nhất theo 1 HSLG b b1. Chia 2 vế của (1) cho a. Đặt tg a.sinx + b = 0 (a 0) a.cosx + b = 0 (a 0) a b b b b sin 1) cos 1) b2.Biến đổi về dạng: sinu = sinv ( hoặc cosu = cosv ) (2) sinx = – ( nếu cosx = – ( nếu a a a a b3.Giải (2) và kết luận. a.tanx +b = 0 (a 0) a.cotx + b = 0 (a 0) Cách giải 3: b b cot g tg 1 t2 tanx = cotx = x 2t a a b1. Đặt t tg , với sin x , cos x 1 t2 1 t2 2 3.phương trình bậc hai theo 1 HSLG a.sin2x + b.sinx + c = 0 2 (3.1) b2. Giải phương trình bậc hai theo t: (b c)t 2at b c 0 a.cos2x + b.cosx + c = 0 (3.2) b3. Kết luận a.tan2x + b.tanx + c = 0 (3.3) a.cot2x + b.cotx + c = 0 (3.4) sin x cos x 2 sin( x ) 2 cos( x ) Đăc biệt : 4 4 Cách giải. BT2. Giải các phương trình sau b1.Dùng ẩn phụ: 2 1/. 3cosx + 4sinx = – 5 2/. 2sin2x – 2cos2x = (3.1) Đặt X = sinx ; (3.2) Đặt X = cosx , ĐK:–1 X 1 4/ 2sin15x + 3 cos5x + sin5x = 4 (3.3) Đặt X = tanx ; (3.4) Đặt X = cotx 2 3/. 5sin2x – 6cos x = 13 ta được phương trình a.X2 + b.X + c = 0 (2) 26 . Tìm nghiệm x ( ; ) 5/ cos 7 x 3 sin 7 x 2 0 57 b2.Giải (2) tìm X = X0 ( chọn nghiệm ) b3.Dùng phương trình cơ bản giải phương trình tìm x. Kết luận 6/ ( cos2x – 3 sin2x) – 3 sinx – cosx + 4 = 0 4. Phương trình bậc hai theo 1 HSLG a.sin3x + b.sin2x + c.sinx + d = 0 (4.1) Loai 3. Phương trình đẳng cấp đối với sin x và cosx a.cos3x + b.cos2x + c.cosx + d = 0 (4.2) a.sin2x + b.sinxcosx + c.cos2x = d (1) dạng: a.tan3x + b.tan2x + c.tanx + d = 0 (4.3) Cách giải 1: a.cot3x + b.cot2x + c.cotx + d = 0 (4.4) b1.Tìm nghiệm cosx = 0 Cách giải: b2.Với cosx 0.Chia 2 vế của (1) cho cos2x, ta được: b1.Dùng ẩn phụ: a.tan2x + b.tanx + c = d.(1 + tan2x) (2) (4.1) Đặt X = sinx , – 1 X 1 (4.2) Đặt X = cosx b3.Giải (2) và kết luận. , –1 X 1 Cách giải 2: (4.3) Đặt X = tanx b1.Dùng công thức nhân đôi, hạ bậc (4.4) Đặt X = cotx b2.Biến đổi (1) về dạng: A.sin2x + B.cos2x = C (2) ta được phương trình a.X3 + b.X2 + c.X + d = 0 = 0 (2) (pt. bậc nhất theo sin2x và cos2x) b2.Giải (2) tìm X = X0 ( chọn nghiệm ) b3.Giải (2) và kết luận. b3.Dùng phương trình cơ bản giải phương trình tìm x. Kết luận Chú ý: Đối với phương trình đẳng cấp bậc 3: asin3x + bsin2xcosx + csinxcos2x + d.cos3x = e BT1. Giải các phương trình sau: Cách giải. 2 cos 2 x 4 cos x 1 b1.Tìm nghiệm cosx = 0 2/. 4sin3x+3 2 sin2x = 8sinx 1/. sin x 0 b2.Với cosx 0.Chia 2 vế của (1) cho cos3x, ta được: a.tan3x + b.tan2x + c.tanx + d = e.(1 + tan2x) (2) 1 5sin x 2 cos 2 x 0 3/. 4cosx.cos2x +1=0 4/. b3.Giải (2) và kết luận. cos x 0 5/. Cho 3sin3x – 3cos2x+4sinx– cos2x+2 = 0 (1) và BT3. Giải các phương trình sau cos2x+3cosx(sin2x – 8sinx) = 0 (2). Tìm n0 của (1) đồng thời là n0 của (2) 1/ 3sin2x– 3 sinxcosx + 2cos2x = 2 2/ 4 sin2x+3 3 sinxcosx – 2cos2x = 4 7/. sin6x + cos4x = cos2x 6/. sin3x + 2cos2x – 2 = 0
6. Hồ Văn Hoàng Chuyên đề lượng giác 3/ 3 sin2x+5 cos2x-2cos2x-4sin2x=0 13 3/. cos3x + sin3x = cos2x 4/. cos6x – sin6x = cos22x 3 )cos2x – 5 – 3 =0 8 4/ 2 sin2x + 6sinxcosx + 2(1+ 7 6/ sin3(x- /4)= 2 sinx 5/ tanx sin2x – 2sin2x = 3(cos2x + sinxcosx) cot( x ) cot( x ) 6/. cos6x + sin6x = 2(cos8x + sin8x) 5/. sin4x + cos4x = 8 3 6 7/ 3cos4x – 4sin2xcos2x + sin4x = 0 8/ sinx – 4sin3x + cosx = 0 3 3 8/. cos6x + sin6x = cos4x 9/ 4cos3x + 2sin3x – 3sinx = 0 10/ 2 cos3x = sin3x 7/. cos x + sin x = cosx – sinx 11/ cos3x – sin3x = cosx + sinx 12/ sinx sin2x + sin3x = 6 cos3x 9/. sinx + sin2x + sin3x + sin4x = cosx + cos2x + cos3x + cos4x x x 1 Loại 4. Phương trình đối xứng và gần đối với sinx và cosx 10/ . cos8x + sin8x = 11/. (sinx + 3)sin4 2 – (sinx+3) sin2 2 +1 = 0 8 4.1 dạng: a.(sinx + cosx) + b.sinxcosx = c (1) Cách giải: Loại 7. Phương trình lượng giác biến đổi về dạng tích bằng 0 b1.Đặt X = sinx + cosx = 2 sin( x ) ta có: f ( x) 0 Cách giải: Dùng công thức f(x).g(x) = 0 4 g ( x) 0 X2 1 2 và sinxcosx = X BT7. Giải các phương trình sau 2 1/. cos2x – cos8x + cos4x = 1 b2.Biến đổi (1) thành phương trình bậc hai theo X (2) 2/. sinx + 2cosx + cos2x – 2sinxcosx = 0 b3.Giải (2) và kết luận. 3/. sin2x – cos2x = 3sinx + cosx – 2 sin3 x + 2cosx – 2 + sin2 x = 0 4/. 5/. 3sinx + 2cosx = 2 + 3tanx 4.2 dạng: a.(sinx – cosx) + b.sinxcosx = c (1) 3 sin2x+ 2 cos2x+ 6 cosx=0 Cách giải: 6/. 2 7/. 2sin2x – cos2x = 7sinx + 2cosx – 4 2 sin( x ) , ta có: b1.Đặt X = sinx – cosx = 5 4 8/. cos8x + sin8x = 2(cos10x + sin10x) + cos2x 4 1 X2 X 2 và sinxcosx = 9/. 1 + sinx + cos3x = cosx + sin2x + cos2x 2 10/. 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0 b2.Biến đổi (1) thành phương trình bậc hai theo X (2) 11/. sin2 x(tanx + 1) = 3sinx(cosx – sinx) + 3 12/. cos3x + cos2x + 2sinx – 2 = 0 13/. cos2x – 2cos3x + sinx = 0 b3.Giải (2) và kết luận. 14/. sin2x = 1 + 2 cosx + cos2x 15/. cosx(cos4x + 2) + cos2x – cos3x = 0 BT4. Giải các phương trình sau 16/. 1 + tanx = sinx + cosx 17/. (1 – tanx)(1 + sin2x) = 1 + tanx 1/. sin3 x + cos3 x = 2sinxcosx + sin x + cosx 2/. 1 – sin3 x + cos3 x = sin2x 18/. cotx – tanx = cosx + sinx 19/. 9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = 8 2 sin2x(sin x + cosx) = 2 3/. 2sinx + cotx = 2sin2x + 1 4/. Loại 8. Phương trình LG phải thực hiện công thúc nhân đôi, hạ bậc 2 (sin x + cosx) = tanx + cotx 5/. (1+sin x)(1+cosx) = 2 6/. cos2x = cos2x – sin2x = 2cos2x – 1=1–2sin2x 1 t2 2t 3 sinx = ; cosx = sin2x=2sinxcosx 1t 1 t2 2 3 3 7/. 1+sin 2x + cos 2 x = sin 4x 8/. 3(cotx – cosx)-5(tanx-sin x)=2 2 2 tan x 2t tan2x= 4 4 2 2 1 tan 2 x 9/. cos x + sin x – 2(1 – sin xcos x) sinxcosx – (sinx+cosx)=0 tanx= 1 t2 BT8. Giải các phương trình sau Loại 5. Giải phương trình lượng giác bằng phương pháp hạ bậc 1 Công thức hạ bậc 2 Công thức hạ bậc 3 1/. sin3xcosx = + cos3xsinx 2/. cosxcos2xcos4xcos8x = 1/16 4 1 cos 2 x 3 cos x cos3 x cos2x= cos3x= ; ; 2 4 4/ . sin2x(cotx + tan2x) = 4cos2x 3/. tanx + 2cot2x = sin2x 5/. sin4x = tanx 6/. sin2x + 2tanx = 3 1 cos2 x 3 sin x sin 3x sin2x= sin3x= 7/. sin2x+cos2x+tanx=2 8/. tanx+2cot2x=sin2x 2 4 3 9/. cotx=tanx+2cot2x 10/. tan2x+sin2x= cotx BT5. Giải các phương trình sau 2 1/. sin2 x + sin2 3x = cos2 2x + cos24 x 12/. sin 2 4 x sin 2 3 x sin 2 2 x sin 2 x 11/. (1+sinx)2 = cosx 2/. cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 3/2 3/. sin2x + sin23x – 3cos22x = 0 9x 13/. cos2 x cos2 2 x cos2 3 x cos2 4 x 2 5x 4/. cos3x + sin7x = 2sin2( ) – 2cos2 2 42 5/. sin24 x + sin23x = cos22x + cos2x , với x (0; ) Loại 9. Phương trình LG phải thực hiện phép biến đổi tổng_tích và tích_tổng 6/. sin 4x – cos 6x = sin( 10,5 10 x ) với x (0; ) 2 2 2 1. Công thức biến đổi tổng thành tích ab ab ab ab 8/. 4sin3x – 1 = 3 – 3 cos3x 7/. cos4x – 5sin4x = 1 cosa + cosb = 2cos .cos cosa – cosb = – 2sin .sin 2 2 2 2 9/. sin22x + sin24x = sin26x 10/. sin2x = cos22x + cos23x ab ab ab ab 11/. 4sin3xcos3x + 4cos3x sin3x + 3 3 cos4x = 3 sina + sinb = 2sin .cos sina – sinb = 2cos .sin 2 2 2 2 12/. 2cos22x + cos2x = 4 sin22xcos2x x sin(a b) sin(a b) ) – 7/2 , với x 1
7. Hồ Văn Hoàng Chuyên đề lượng giác 3/. sin2x + sin4x = sin6x 4/. sinx + 2 sin x 2 x tg 2 sin2x = cosx + cos2x x 2 sin 2 x 4 cos 2 5/ sin8x + cos4x =1 + 2sin2xcos6x 6/ cosx + 2 cos2x + cos3x + cos4x = 0 sin 4 2 x cos 4 2 x 7/ sinx + sin2x + sin3x + sin4x = 0 8/ sin5x + cos 4 4 x 9/. 10/. sinx + 2sin2x = 1 tg x tg x 9/ tanx + tan2x = tan3x 10/ 3cosx + cos2x 4 4 – cos3x +1 = 2sinxsin2x cogt 2 x tg 2 x 16(1 cos 4 x) cos 2 x Loại 10. Phương trình lượng giác chứa ẩn ở mẫu số Cách giải. cos 2 x 1 sin 2 x 11/. cot gx 1 sin 2 x 12/. b1. Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa ( mẫu số khác 0 ) 1 tgx 2 b2. Rút gọn phương trình, giải phương trình cuối cùng ( sau khi 2 thu gọn ) cot gx tgx 4sin 2 x sin 2 x b3. Đối chiếu với điều kiện ban đầu để chọn nghiệm x x 13/. sin 2 tg 2 x cos 2 0 14/. Chú ý: Việc chọn nghiệm ( nhận nghiệm nào, loại nghiệm nào ), 2 4 2 tùy theo bài tốn ta dùng phương pháp đại số hoặc phương pháp 3 1 sin x tg 2 x 5sin x 2 hình học Giả sử rằng: 2 cos 6 x sin 6 x sin x cos x 15/. 0 16/. 2m + Điều kiện xác định là: x x0 m ,p * 2 2sin x p x cot gx sin x 1 tgx.tg 4 + Phương trình có nghiệm là 2 2k x k ,n * 3 n 17/. tgx 18/. 20 cot x phương pháp đại số 4 2k 2m tgx 7 + Nghiệm xk bị loại m : x0 cos 2 x n p 4sin 2 2 x 6sin 4 x 9 3cos 2 x + Nghiệm xk được nhận 19/. 0 20/. cos x 2k 2m m : x0 1 n p 3 sin x cos x cos x phương pháp hình học 6 2m 21/. 4sin x 3cos x 22/. 6 + Điều kiện xác định là: x x0 m ,p * có nghĩa 4sin x 3cos x 1 p 1 là trên đường tròn lượng giác có p điểm A1, A2, ..., Ap không thể 3 sin x cos x 3 là ngọn cung nghiệm của phương trình đã cho. 3 sin x cos x 1 + Ký hiệu L A1 , A2 ,..., Ap ( tập hợp các điểm bị loại ). 1 cos x cos 2 x cos 3 x 2 23/. 3 sin x) 24/. (3 2 cos 2 x cos x 1 3 2k + Các nghiệm xk * được biểu diễn bởi k ,n cos x 2sin x.cos x n 3 2 cos 2 x sin x 1 n ngọn cung nghiệm trên đường tròn lượng giác. + Ngọn cung nào thuộc L thì bị loại, ngược lại thì được nhận. 1 25/. 1 tgx 2sin x 26/. cos x 1 1 BT 10. Giải các phương trình sau sin x cos x tan x cot x 1 cos 2 x 1/. 1 cot g 2 x 2/. 1 1 10 sin 2 2 x 27/. cos x 28/ sin x cos x sin x 3 cos x 2sin x cos x 3 sin 5 x 2 cos 2 x sin x 1 1 5sin x cos 3x sin 3x 3/. 5 sin x cos 2 x 3 4/. sin 4 x cos 4 x 1 1 2sin 2 x 29/. (tan x cot x) 30/. sin 2 x 2 sin x cot g 5 x 1 sin 3 x sin 5 x cos 9 x 3 5 2 5/. 2tgx cot gx 3 6/. 1 1 sin 2 x 31/. 2cos2x – 8cosx + 7 = 32/. 2sin3x – cos x sin x 1 2tgx cot gx 2sin 2 x 1 sin 2 x = 2cos3x + cos x 2 cos x sin x 1 7/. 8/. 1 33/. tan x sin 2 x cos 2 x 2 2 cos x 0 34/. 1 + tgx cot g 2 x cot gx 1 cos x
8. Hồ Văn Hoàng Chuyên đề lượng giác 1 1 cos 2 x 3 x 3x cot2x = 1/. sin( ) = sin( ) 2/. sin 2 2 x 2 10 2 10 2 1 35/. 2tanx + cot2x = 2sin2x + 36/ . sin( 3x ) = sin2x sin( x ) sin 2 x 4 4 4x 1 1 cos 2 x cos 2 2 sin( x ) 3 4 sin x cos x 0 3/. 4/. cosx – 1 tg 2 x 2 37/. 2 tan x cot x 38/ 3 sin 2 x 3 x 2sin( )=3 3 cos 2 x cot 2 x 2 2 4sin x cos x 7 cot 2 x cos 2 x 4 4 6/. 3cot2x 5/. cos( 2 x ) = sin(4x+3 ) 2 + 2 2 sin2x = (2 + 3 2 )cosx 2 7/. 2cot2x + cos2x + + 5tanx + 5cotx + 4 = 0 8/. Loại 11. phương trình lượng giác chứa căn thức hoặc chứa cos 2 x giá trị tuyệt đối 1 1 Cách giải = cosx + cos 2 x b1). Đặt điều kiện xác định (nếu có) cos x b2). Khử dấu giá trị tuyệt đối hoặc khử căn thức ( thông thường 1 2 9/. sinx – cos2x + + =5 10/. dùng quy tắc bình phương hai vế. Cần nhớ: sin x sin 2 x a 2 b2 ) rồi giải phương trình ab0 1 sin 2 x 1 tan x b3). Kết luận +2 =3 1 sin 2 x 1 tan x Chú ý: Đối với phương trình chứa giá trị tuyệt đối, ta có thể khử dấu giá trị tuyệt đối bằng phương pháp khoảng (cần nhớ dấu của Loại 13. Phương trình LG phải thực hiện các phép biến đổi giá trị lượng giác và chiều biến thiên của các hàm số lượng giác ) phức tạp BT 11. Giải các phương trình sau BT13. Giải các phương trình sau 1/. sin x cos x sin x cos x 2 2/. 2 cos x sin x 1 1/. 3 4 6 (16 3 8 2) cos x 4 cos x 3 cos 2 x 1 sin 2 x 2 sin x cos x 4/. 3/. 9 x 2 16 x 80 2/. cos 3x =1 tìm n0 x Z 1 sin 2 x cos x sin x 4 tg 2 x tgx 3/. 5cos x cos 2 x + 2sinx = 0 5/. 6/. tgx , x 4/. 3cotx – tanx(3-8cos2x) = 0 tgx 1 tgx 1 2 2 2 sin x tan x 4x cos 2 x 5/. 2 cos x 2 cos 3 tan x sin x 0 1 tg 2 x 6/. sin3x + cos3x + sin3xcotx + cos3xtanx = 2sin 2 x 7/. tan2x.tan23 x.tan24x.= tan2x– tan23 x + tan4x sin 3x sin x cos x sin 2 x , 0 x 2 7/. 8/. 8/. tan2x = – sin3xcos2x 1 cos 2 x 9/. sin3x = cosxcos2x(tan2x + tan2x) sin 2 x 2sin x 2 2sin x 1 10/ . sin x sin x 1 sin 2 x cos x sin 2 2 x 4 cos 4 2 x 1 2 cos 2 x tan 2 x 11/ . cos2 4 sin x – 1 = tan2 x 0 9/. 10/. 4 2sin x cos x 12/. sin x 1 cos x 0 x x x 2 3x 11/. 2 cos x sin x 1 12/ . 2 cos 6 sin 2sin 2sin 5 12 5 12 5 3 5 6 sin x cos x 4sin 2 x 1 13/ . sin x cos x sin x cos x 1 14/. Loại 14. Phương trình LG không mẫu mực, đánh giá 2 vế 2 4 sin 2x cos 2x 1 0 ,tổng 2 lượng không âm,vẽ 2 đồ thị bằng đạo hàm sin x cos x sin 3x sin x BT13. Giải các phương trình sau sin 2 x cos 2 x 0 x 2 15/. 16/. 1 cos 2 x cos3x + 2 cos 2 3 x = 2(1+sin22x) 1/. 2 sin x sin x 1 sin x cos x 2/. 2cosx + 2 sin10x = 3 2 + 2sinxcos28x 3/. cos24x + cos26x = sin212x + sin216x + 2 với x 0; Loại 12. Phương trình LG phải đặt ẩn phụ góc hoặc 1 hàm 2 4/. 8cos4xcos 2x + 1 cos 3 x +1 = 0 số lượng giác sin x 5/. cos x BT12. Giải các phương trình sau 5 – 4sin2x – 8cos2x/2 = 3k tìm k Z* để hệ có nghiệm 6/.
9. Hồ Văn Hoàng Chuyên đề lượng giác 2 x 7/. 1– = cosx 2 8/. ( cos2x – cos4x)2 = 6 + 2sin3x 1 9/. 1 cos x 1 cos x cos 2 x sin 4 x 2

240 tài liệu

1047 lượt tải