Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử là nguyên tắc cơ bản là nền tảng để thực hiện các phương pháp quy đồng, rút gọn phân thức đã học. Hãy cùng Cmath tìm hiểu các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử tiêu biểu qua bài viết dưới đây nhé!
Phương pháp đặt nhân tử chung
Về cơ bản cách làm của phương pháp này chính là lựa chọn ra những biến hay hằng số của một số biểu thức là ước chung và chọn chúng làm nhân tử. Cách làm tổng quát như sau:
A.B + C.B – B.Q = B.(A + C – Q)
Bản chất của vấn đề là tìm cách phải đưa được biểu thức dạng tổng hiệu của các đa thức đã cho về dạng tích của nhiều đa thức. Bởi rất nhiều bạn mới học, chưa nắm rõ bản chất vấn đề khi thực hiện đặt nhân tử chung mà kết quả thì chưa tồn tại dạng tích mà vẫn ở dạng tổng.
Ví dụ: Sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung hãy phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) 2x^2 – 8x^3 + 12x = 2.x.x^3 – 2.4.x.x^2 + 2.6.x = 2.x.(x^3 – 4x^2 +6)
b) xy^2 – 3x^2.y^2 + 2xy^3 = xy^2.(1 – 3 + 2y)
Phương pháp nhóm nhiều hạng tử
Với phương pháp này, ta dùng linh hoạt các tính chất giao hoán, kết hợp của phép cộng các đa thức. Ta kếp hợp những hạng tử của đa thức thành từng nhóm thích hợp rồi sử dụng các phương pháp phân tích nhân tử theo từng nhóm rồi phân tích chung đối với các nhóm. Thông thường sau khi nhóm các hạng tử lại với nhau, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức để làm tiếp các bước sau.
Ví dụ: Sử dụng phương pháp nhóm nhiều hạng tử hãy phân tích đa thức sau thành nhân tử:
x^4 + x – 4x^2 – 2 = (x^4 – 4x^2) + (x – 2)
= x^2(x^2 – 4) + (x – 2) = x^2(x – 2)(x + 2) + (x – 2)
= (x – 2)[x^2(x + 2) + 1] = (x – 2)(x^3 + 2x^3 + 1)
Thêm bớt hạng tử
Bản chất của phương pháp này là ta có thể thêm bớt cùng 1 hạng tử nào đó của đa thức để làm xuất hiện những nhóm hạng tử có khả năng xuất hiện nhân tử chung. Sau đó dùng các phương pháp khác để phân tích đa thức đã cho về dạng nhân tử.
Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử sử dụng phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử.
x^4 + 4 = x^4 + 4x^2 + 4 – 4x^2 = (x^4 + 4x^2 + 4) – 4x^2
= (x^2 + 2)^2 – (2x)^2
= (x^2 + 2 – 2x)(x^2 + 2 + 2x)
Phương pháp dùng hằng đẳng thức
Ở phương pháp này, các bạn cần vận dụng một cách linh hoạt 7 hằng đẳng thức đáng nhớ vào việc phân tích đa thức thành nhân tử. Vận dụng các hằng đẳng thức để biến đổi đa thức ban đầu thành tích các nhân tử hoặc lũy thừa của một đa thức đơn giản.
Ví dụ: Sử dụng phương pháp dùng hằng đẳng thức phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) x^2 – 4x + 4 = x^2 – 2.x.2 + 2^2 = (x – 2)^2
b) x^3 + 9x^2 + 27x + 27 = x^3 + 3.x^2.3 + 3.x.3^2 + 3^3 = (x + 3)^2
Phương pháp tách
Ta có thể tách 1 hạng tử nào đó của đa thức đã cho thành hai hay nhiều hạng tử thích hợp sao cho khi nhóm với những hạng tử khác làm xuất hiện nhân tử chung. Sau đó ta có thể dùng các phương pháp khác để phân tích đa thức đã cho về thành nhân tử.
Ví dụ: Sử dụng phương pháp tách hãy phân tích đa thức sau thành nhân tử:
2x^2 – 7xy + 5y^2 = 2x^2 – 2xy – 5xy + 5y^2
= (2x^2 – 2xy) – (5xy – 5y^2)
= 2x(x – y) – 5y(x – y)
= (x – y)(2x – 5y)
Phương pháp đặt biến phụ
Trong một số trường hợp, đa thức đã cho quá phức tạp, khó có thể phân tích thành nhân tử. Để có thể phân tích đa thức thành nhân tử một cách dễ dàng, ta cần đặt biến phụ thích hợp.
Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử áp dụng phương pháp đặt biến phụ
A = (x^2 + 2x + 8)^2 + 3x.(x^2 + 2x + 8) + 2x^2
Đặt y = x^2 + 2x + 8
Ta có:
A = y^2 + 3xy + 2x^2
= y^2 + xy + 2xy + 2x^2
= (y^2 + xy) + (2xy + 2x^2) = y(x + y) + 2x(x + y)
= (x + y)(2x + y)
Phương pháp giảm dần số mũ lũy thừa
Phương pháp này chỉ áp dụng được cho các đa thức như: a^7 + a^5 + 1; a^8 + a^4 + 1;… Đây đều là những đa thức có dạng a^(3k+2) + a^(3h+1). Khi phân tích các đa thức có dạng như trên thì biểu thức sau khi phân tích đều có 1 nhân tử là: a^2 + a +1.
Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = a^5 + a^4 + 1
Ta có: B = a^5 + a^4 + a^3 – a^3 – a^2 – a + a^2 + a + 1
= a^3(a^2 + a + 1) – a(a^2 + a + 1) + (a^2 + a + 1)
= (a^2 + a + 1)(a^3 – a + 1)
Phương pháp hệ số bất định
Ví dụ: Phân tích đa thức: x^4 – 6x^3 – 12^2 – 14x + 3 thành nhân tử
Lời giải:
Quan sát đa thức trên ta thấy, các số 1, 3 không là nghiệm của đa thức. Đa thức đã cho không có nghiệm là số nguyên và cũng không có nghiệm là số hữu tỉ.
Như vậy nếu đa thức trên phân tích đa thức thành nhân tử thì phải có dạng:
(x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d) = x^4 + (a + c)x^3 + (ac + b + d)x^2 + (ad + bc)x + bd
Sử dụng phương pháp đồng nhất hệ số đa thức này với đa thức đã cho ta có:
Xét bd = 3 với b, d thuộc Z, với b = 3, d = 1, hệ điều kiện trên trở thành:
Vậy: x^4 – 6x^3 – 12^2 – 14x + 3 = (x^2 – 2x + 3)(x^2 – 4x + 1)
Bài tập vận dụng
Bài 1. Sử dụng các phương pháp đã học hãy phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) 3x – 6y
b) ⅖. x^2 + 5x^3 + x^2y
c) 14x^2y – 21xy^2 + 28.x^2.y^2
d) ⅖.x(y – 1) – ⅖.y(y – 1)
e) 10x(x – y) – 8y(y – x)
Lời giải:
a) 3x – 6y = 3(x – 2y)
b) ⅖. x^2 + 5x^3 + x^2y = x^2(⅖ + 5x + y)
c) 14x^2y – 21xy^2 + 28.x^2.y^2 = 7xy.2x – 7xy.3y + 7xy.4xy
= 7xy(2x – 3y + 4xy)
d) ⅖.x(y – 1) – ⅖.y(y – 1) = ⅖(y – 1)(x – y)
e) 16x(x – y) – 12y(y – x)
Vì: y – x = -(x – y) nên ta có:
16x(x – y) – 12y(y – x) = 16x(x – y) – 12y[-(x – y)]
= 16x(x – y) + 12y(x – y) = 4( x – y)(4x + 3y)
Bài 2. Tính giá trị của biểu thức:
a) 15.91,5 + 150.0,85
b) x(x – 1) – y(1 – x) với các giá trị x = 2001 và y = 1999
Lưu ý: Với dạng bài tập cần tính giá trị của một biểu thức phức tạp như thế này chúng ta cần phân tích các hạng tử để xuất hiện nhân tử chung rồi tiến hành phân tích đa thức đã cho thành nhân tử trước khi tính giá trị.
Lời giải:
a) 15.91,5 + 150.0,85 = 15.91,5 + 15.10.0,85
= 15(91,5 + 10.0,85)
= 15(91,5 + 8,5) = 15.100 = 1500
b) x(x – 1) – y(1 -x)
= x(x – 1) + y(x – 1) = (x – 1)(x + y)
Thay x = 2001 và y = 1999 vào biểu thức vừa biến đổi ta có:
(2001 – 1)(2001 + 1999) = 2000.4000 = 8000000.
Bài 3. Có ý kiến cho rằng 55^(n + 1) – 55^n chia hết cho 54 (với n là số tự nhiên). Bằng các kiến thức đã học hãy chứng minh nhận xét trên là đúng.
Lời giải:
Ta có: 55^(n + 1) – 55^n = – 55^n + 55^n.55
Đặt nhân tử chung 55^n ra ngoài ta có: 55^n(55 – 1) = 55^n.54
Sau khi biến đổi ta thấy biểu thức đã cho luôn chia hết cho 54 (với n là số tự nhiên).
Vậy nhận xét trên là hoàn toàn đúng.
Bài 4. Sử dụng các phương pháp đã học hãy phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) (a + b)^3 – (a – b)^3
b) (a + b)^3 + (a – b)^3
c) 8x^3 + 12x^2.y + 6xy^2 + y^3
d) -x^3 + 9x^2 – 27x + 27
Lời giải:
a) (a + b)^3 – (a – b)^3
= [(a + b) – (a – b)].[(a + b)^2 + (a + b).(a – b) + (a – b)^2]
= (a + b – a + b)(a^2 + 2ab + b^2 + a^2 – b^2 + a^2 – 2ab + b^2)
= 2b.(3a^2 + b^2)
b) (a + b)^3 + (a – b)^3
= [(a + b) + (a – b)].[(a + b)^2 – (a + b).(a – b) + (a – b)^2]
= (a + b + a – b)(a^2 + 2ab + b^2 – a^2 + b^2 + a^2 – 2ab + b^2)
= 2a.(a^2 + 3b^2)
c) 8x^3 + 12x^2.y + 6xy^2 + y^3
= (2x)^3 + 3.(2x)^2.y + 3.2x.y^3 + y^3
= (2x + y)^3
d) -x^3 + 9x^2 – 27x + 27
= (-x)^3 + 3.(-x)^2.3 + 3.(-x).3^2 + 3^3
= (-x + 3)^2 = (3 – x)^2
Tham khảo thêm:
Tạm kết
Bài viết trên đã tổng hợp các cách phân tích đa thức thành nhân tử phổ biến nhất. Hy vọng qua bài viết các em có thể nắm rõ các phương pháp, áp dụng làm bài tập một cách thành thạo. Chúc các em luôn học tốt và hãy luôn theo dõi Cmath để cập nhật các bài viết mới hàng ngày nhé.