Mục lục
Lịch sử Tam giác Pascal
Blaise Pascal sinh ra tại Clermont-Ferrand, thuộc vùng Auvergne của Pháp vào ngày 19 tháng 6 năm 1623. Năm 1653, ông viết Chuyên luận về Tam giác số học mà ngày nay được gọi là Tam giác Pascal. Mặc dù các nhà toán học khác ở Ba Tư và Trung Quốc đã độc lập phát hiện ra tam giác vào thế kỷ thứ mười một, nhưng hầu hết các tính chất và ứng dụng của tam giác đều do Pascal khám phá.
Tam giác này là một trong nhiều đóng góp của Pascal cho toán học. Ông cũng đưa ra những định lý quan trọng trong hình học, khám phá ra nền tảng của xác suất và phép tính, đồng thời phát minh ra máy tính Pascaline. Tuy nhiên, ông được biết đến nhiều nhất với những đóng góp cho tam giác Pascal
Định nghĩa tam giác Pascal
Hầu hết mọi người được giới thiệu về tam giác Pascal thông qua một bộ quy tắc có vẻ tùy ý. Bắt đầu với số 1 ở trên cùng và với số 1 chạy dọc theo hai cạnh của tam giác. Mỗi số mới nằm giữa hai số và bên dưới chúng và giá trị của nó là tổng của hai số trên nó. Tam giác lý thuyết là vô hạn và tiếp tục đi xuống mãi mãi, nhưng chỉ có 6 dòng đầu tiên xuất hiện trong hình 1. Nhiều hàng của tam giác Pascal được liệt kê trong hình cuối cùng của bài viết này. Một cách khác để mô tả tam giác là xem dòng đầu tiên là một chuỗi vô hạn các số không ngoại trừ một số 1 duy nhất. Để có được các dòng liên tiếp, hãy cộng mọi cặp số liền kề và viết tổng giữa và bên dưới chúng. Phần khác 0 là tam giác Pascal
Xây dựng tam giác Pascal
Cách dễ nhất để dựng hình tam giác là bắt đầu từ hàng 0 và chỉ viết số một. Từ đó, để có được các số trong các hàng tiếp theo, hãy thêm số ngay phía trên và bên trái của số với số ở trên và bên phải của nó. Nếu không có số nào ở bên trái hoặc bên phải, hãy thay số 0 vào số còn thiếu đó và tiếp tục cộng. Dưới đây là hình minh họa các hàng từ 0 đến 5
Từ hình trên, nếu nhìn theo đường chéo, đường chéo thứ nhất là dãy đơn vị, đường chéo thứ hai là dãy số đếm, đường chéo thứ ba là dãy số tam giác, v.v.
Công thức tam giác Pascal
Công thức tìm phần tử ở hàng thứ n và cột thứ k của tam giác pascal được cho bởi
\(\begin{array}{l}i. e. ,{n \choose k}\end{array} \)
Các phần tử của các hàng và cột sau có thể được tìm thấy bằng cách sử dụng công thức dưới đây
\(\begin{array}{l}Pascal\ Triangle\ Formula = {n \choose k}= {n-1 \choose k-1}+ {n-1 \choose k}\end{array} \)
Ở đây, n là một số nguyên không âm bất kỳ và 0 ≤ k ≤ n
Ký hiệu trên có thể được viết là
\(\begin{array}{l}{n \choose k} (i. e. , n\ choose\ k) = C(n, k) = \ ^{n}C_{k} = \frac{n. }{[k. (n-k). ]}\end{mảng} \)
Mô hình nhận các hệ số nhị thức này được gọi là quy tắc Pascal.
Khai triển nhị thức Pascal
Tam giác Pascal xác định các hệ số xuất hiện trong khai triển nhị thức. Điều đó có nghĩa là hàng thứ n của tam giác Pascal bao gồm các hệ số của biểu thức khai triển của đa thức (x + y)n.
Khai triển của (x + y)n là.
(x + y)n = a0xn + a1xn-1y + a2xn-2y2 + … + an-1xyn-1 + anyn
trong đó các hệ số dạng ak chính xác là các số ở hàng thứ n của tam giác Pascal. Điều này có thể được thể hiện như.
\(\begin{array}{l}a_{k}= {n \choose k}\end{array} \)
Ví dụ: chúng ta hãy mở rộng biểu thức (x + y)n cho n = 3.
(x + y)3 = 3C0x3 + 3C1 x2y + 3C2 xy2 + 3C3 x0y3
= (1)x3 + (3)x2y + (3)xy2 + (
Ở đây, các hệ số 1, 3, 3, 1 đại diện cho các phần tử ở hàng thứ 3 của tam giác pascal
Cách sử dụng Tam giác Pascal?
Tam giác Pascal có thể được sử dụng trong các điều kiện xác suất khác nhau. Giả sử nếu chúng ta tung đồng xu một lần, thì chỉ có hai khả năng nhận được kết quả là Ngửa (H) hoặc Sấp (T)
Nếu chúng ta tung nó hai lần, thì có một khả năng nhận được cả hai mặt ngửa là HH và cả hai đều là mặt TT, nhưng có hai khả năng nhận được ít nhất một Mặt ngửa hoặc một Mặt ngửa, i. e. HT hoặc TH
Bây giờ bạn có thể xem tam giác Pascal sẽ giúp ích như thế nào ở đây. Vì vậy, hãy xem bảng được đưa ra ở đây dựa trên số lần tung và kết quả
Số lần tung Số lần kết quả Tam giác Pascal 1H
T
1,12 HHHTTH
TT
1, 2, 13 HHHHHT, HTH, THH
HTT, THT, TTH
TTT
1,3,3,1Chúng ta cũng có thể mở rộng nó bằng cách tăng số lần tung
Mô hình tam giác Pascal
Bổ sung các hàng
Một trong những tính chất thú vị của tam giác là tổng các số trong một hàng bằng 2n
trong đó n tương ứng với số hàng
1 = 1 = 20
1 + 1 = 2 = 21
1 + 2 + 1 = 4 = 22
1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 23
1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 24
Số nguyên tố trong tam giác
Một mô hình khác có thể nhìn thấy trong tam giác liên quan đến các số nguyên tố. Nếu một hàng bắt đầu bằng một số nguyên tố hoặc là một hàng được đánh số nguyên tố thì tất cả các số trong hàng đó (không tính số 1) đều chia hết cho số nguyên tố đó. Nhìn vào hàng 5 (1 5 10 10 51) ta thấy 5 và 10 chia hết cho 5. Tuy nhiên, đối với một hàng được đánh số hỗn hợp, chẳng hạn như hàng 8 (1 8 28 56 70 56 28 8 1), 28 và 70 không chia hết cho 8
Dãy Fibonacci trong Tam giác
Bằng cách cộng các số trong các đường chéo của tam giác Pascal, dãy Fibonacci có thể thu được như trong hình dưới đây
Có nhiều cách khác nhau để hiển thị các số Fibonacci trên tam giác Pascal. r. Knott đã có thể tìm thấy Fibonacci xuất hiện dưới dạng tổng của các “hàng” trong tam giác Pascal. Anh ta di chuyển tất cả các hàng về một vị trí và ở đây tổng của các cột sẽ biểu thị các số Fibonacci
Tính chất tam giác Pascal
- Mỗi số là tổng của hai số trên nó
- Các số bên ngoài đều là 1
- Tam giác là đối xứng
- Đường chéo đầu tiên hiển thị các số đếm
- Tổng của các hàng cho lũy thừa của 2
- Mỗi hàng cho các chữ số lũy thừa của 11
- Mỗi mục là một “chọn số” thích hợp. ”
- Và đó là những “hệ số nhị thức. ”
- Các số Fibonacci nằm dọc theo các đường chéo
Đây là phiên bản 18 dòng của tam giác pascal;
bài học video
tam giác pascal
Ví dụ về Tam giác Pascal
ví dụ 1
Tìm phần tử thứ ba trong hàng thứ tư của tam giác Pascal
Giải pháp
Để tìm. Phần tử thứ 3 ở hàng thứ 4 của tam giác Pascal
Như chúng ta biết rằng hàng thứ n của tam giác Pascal được cho là nC0, nC1, nC2, nC3, v.v.
Do đó, công thức cho tam giác Pascal được đưa ra bởi
nCk = n-1Ck-1 + n-1Ck
Ở đây, nCk đại diện cho phần tử thứ (k+1) trong hàng thứ n
Bây giờ, để xác định phần tử thứ 3 ở hàng thứ 4, chúng ta phải tính 4C2
Do đó, 4C2 = 4-1C2-1 + 4-1C2
4C2 = 3C1 + 3C2
4C2 = 3 + 3 [Vì 3C1 = 3, 3C2 = 3]
4C2 = 6
Do đó, phần tử thứ ba trong hàng thứ tư của tam giác Pascal là 6
ví dụ 2
Xác định hệ số khai triển của (x+y)2 bằng tam giác Pascal
Giải pháp
Như chúng ta biết rằng hệ số khai triển của (x+y)2 phải là các phần tử ở hàng thứ hai của tam giác Pascal
Vì các phần tử ở hàng thứ 2 của tam giác Pascal là 1, 2, 1 nên các hệ số khai triển của (x+y)2 phải là 1, 2, 1
Câu hỏi thực hành về Tam giác Pascal
Giải các bài toán sau dựa vào tam giác Pascal
- Xác định phần tử thứ 5 ở hàng thứ 6 của tam giác Pascal bằng công thức Pascal
- Tổng các phần tử ở hàng thứ 10 của tam giác Pascal là bao nhiêu?
- Tìm hệ số của các khai triển của (a+b)5 bằng cách sử dụng tam giác Pascal
Câu hỏi thường gặp về Tam giác Pascal
Tam giác Pascal là dãy số hình tam giác bắt đầu bằng số 1 ở trên cùng và số 1 chạy dọc theo hai cạnh của tam giác. Mỗi số mới nằm giữa hai số và bên dưới chúng và giá trị của nó là tổng của hai số trên nó Tam giác Pascal có nhiều ứng dụng trong Toán học, chẳng hạn như trong đại số, lý thuyết xác suất, tổ hợp, thống kê, v.v. Tam giác Pascal có thể được sử dụng để tính toán các kết hợp Các mẫu tìm thấy trong tam giác Pascal là Hàng thứ năm của tam giác Pascal là 1 5 10 10 5 1. Tổng các phần tử trong hàng thứ năm của tam giác Pascal là 32, có thể được xác minh bằng công thức, 2n. (tôi. đ) 2n = 32 Đúng, tam giác Pascal có dạng đối xứng. Các số ở phía bên trái của tam giác có các số phù hợp giống hệt nhau ở phía bên phải. Do đó ta có thể nói tam giác Pascal là tam giác đối xứngTam giác Pascal là gì?
Các ứng dụng của Tam giác Pascal là gì?
Các mẫu được tìm thấy trong Tam giác Pascal là gì?
Mẫu hình tam giác
Mô hình chẵn và lẻ
mẫu Fibonacci
mô hình đối xứngHàng thứ 5 của tam giác Pascal là gì?
Tam giác Pascal có dạng đối xứng không?
Hàng trong tam giác Pascal là gì?
Tổng các số ở hàng thứ 10 trong pascal là bao nhiêu?
Thế nào là hàng 5 tam giác Pascal?
Có bao nhiêu hàng trong tam giác Pascal?