một hàm số được gọi là khả vi tại một điểm nếu nó có vi phân tại điểm đó. Đối với hàm số một biến thực, tính khả vi tương đương với sự tồn tại đạo hàm. Nếu một hàm số nhiều biến là khả vi tại một điểm thì nó có các đạo hàm riêng tại điểm đó; điều ngược lại cũng đúng nếu các đạo hàm riêng là liên tục. Hàm số được gọi là khả vi trong một miền nếu nó khả vi tại mọi điểm của miền đó. hàm khả vi
Bây giờ, mà kêu bạn cho kết quả của bài toán này thì chỉ trong vài giây là có ngay kết quả nhờ chiếc máy tính bỏ túi chứ có khó khăn gì. Tuy nhiên, nếu giả sử bạn không có máy tính trong tay, chỉ được tính nhẩm thôi thì bạn làm thế nào? Chỉ cần: Bạn đang xem tài liệu "Hàm số khả vi và vi phân toàn phần", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
0% found this document useful (0 votes) 2K views 18 pages Copyright© © All Rights Reserved Available FormatsPDF, TXT or read online from Scribd Share this documentDid you find this document useful?0% found this document useful (0 votes) 2K views18 pages hàm khả viTr ầ n V ũ Trung KSTN Đ KT Đ – K55 1 Hàm khả vi Đị nh ngh ĩ a Đạ o hàm c ủ a hàm s ố () f x t ạ i đ i ể m x và ký hi ệ u là ( ) f x ′ là gi ớ i h ạ n: ( ) ( ) ( ) 0 lim x f x x f x f x x ∆ → +∆ −′ \=∆ n ế u gi ớ i h ạ n đ ó t ồ n t ạ
ế u ( ) f x ′ t ồ n t ạ i, thì ta nói hàm ( ) y f x \= kh ả vi t ạ i x . Bài toán 1. Tìm t ấ t c ả các hàm : f → ℝ ℝ th ỏ a mãn ( ) ( ) ( ) 21212 f x f x x x − ≤ − , 12 , x x ∀ ∈ ℝ . L ờ i gi ả Thay 1 x x x \= +∆ và 2 x x \= vào bi ể u th ứ c đ ã cho đượ c: ( ) ( ) ( ) 2 f x x f x x +∆ − ≤ ∆ . Suy ra ( ) ( ) f x x f x x x +∆ −≤ ∆∆ , do đ ó ( ) ( ) 0 lim0 x f x x f x x ∆ → +∆ −\=∆ . Theo đị nh ngh ĩ a, () f x kh ả vi t ạ i m ọ i đ i ể m x ∈ ℝ , và ()0 f x ′ \= . V ậ y () f x là hàm h ằ ng. Bài toán 2. Cho hàm s ố 1sin0()00 x x f x x x α ≠ \= \= v ớ i α là h ằ ng s ố d ươ ng. Tìm các giá tr ị c ủ a α để f kh ả vi trên ℝ . (KSTN 2005) L ờ i gi ả D ễ th ấ y f liên t ụ c t ạ i m ọ i đ i ể m 0 x ≠ . Xét tính liên t ụ c t ạ i đ i ể m 0 x \= : 10sin x x x α α ≤ ≤ , mà 0 lim0 x x α → \= 0 α ∀ \> , suy ra 00 1lim()limsin0(0) x x f x x f x α → → \= \= \= . Do đ ó, f liên t ụ c trên ℝ . V ớ i m ọ i α , f kh ả vi t ạ i m ọ i đ i ể m 0 x ≠ . C ầ n tìm α để f kh ả vi t ạ i 0 x \= , t ứ c là gi ớ i h ạ n 100 ()(0)1(0)limlimsin x x f x f f x x x α −→ → − ′ \= \= t ồ n t ạ bai 21 Tr ầ n V ũ Trung KSTN Đ KT Đ – K55 2 Gi ớ i h ạ n trên t ồ n t ạ i v ớ i m ọ i 1 α \> : 10 1limsin0 x x x α −→ \= . Ta ch ứ ng minh nó không t ồ n t ạ i v ớ i 1 α ≤ . Th ậ t v ậ y, gi ả s ử 110 1limsinlimsin x t x t t M x α α − −→ →∞ \= \= , t ứ c là v ớ i m ỗ i 0 ε \> , 0 t ∃ : 0 t t \> 1 sin t t M α ε − ⇒ − < . Cho t k π \= v ớ i s ố nguyên k đủ l ớ n, ta đượ c M ε < , 0 ε ∀ \> , suy ra 0 M \= . Khi đ ó, 0 ε ∀ \> , 0 t ∃ : 0 t t \> 1 sin t t α ε − ⇒ < . Ch ọ n 12 ε \= , 2 t k π π \= + v ớ i s ố nguyên k đủ l ớ n, do 10 α − ≥ nên 1 12 k α π π ε − + ≥ \> , khi đ ó 1 sin t t α ε − \> , mâu thu ẫ
ậ y 1 α \> . Đạ o hàm và s ự bi ế n thiên c ủ a hàm s ố D ạ ng bài ch ứ ng minh hàm t ă ng gi ả m b ằ ng cách tính đạ o hàm Bài toán 3. Kh ả o sát s ự bi ế n thiên c ủ a hàm s ố () f x đượ c xác đị nh nh ư sau: 1 khi 0()10khi 0 x x x x f xe x + ≠ \= + \= . (KSTN 1999) L ờ i gi ả i . 0 lim()0(0) x f x f → \= \= , suy ra f liên t ụ c t ạ i 0 x \= . V ớ i 0 x ≠ , 111122211 1111'()1111 x x x x x x e xe e e x x f xe e + + + +\= + \= + + + . Đặ t 1 t x \= , ()1 t t g t e te \= + + . ( ) '()202 t g t e t t \= + \= ⇔ \= − , qua đ i ể m 2 t \= − , '() g t đổ i d ấ u t ừ âm sang d ươ ng, do đ ó 2 ()(2)10 g t g e − ≥ − \= − \> , suy ra '()0 f x \> v ớ i m ọ i 0 x ≠ . V ậ y () f x đồ ng bi ế n trên ℝ . Tr ầ n V ũ Trung KSTN Đ KT Đ – K55 3 Bài toán 4. Cho hàm s ố () f x liên t ụ c và ngh ị ch bi ế n trên đ o ạ n [ ] 0; b và cho ( ) 0; a b ∈ . Ch ứ ng minh r ằ ng: 00 ()() a b b f x dx a f x dx ≥ ∫ ∫ . (Olympic SV 1995) (KSTN 2005) L ờ i gi ả i . Xét hàm 0 ()() x f t dt F x x \= ∫ , ta c ầ n ch ứ ng minh ()() F a F b ≥ v ớ i a b ≤ , t ứ c F là hàm gi ả Đạ o hàm F : 02 ()()'() x xf x f t dt F x x −\= ∫ . Do () f x ngh ị ch bi ế n nên 00 00000 ()()() x x f t dt f x dt x f x ≥ \= ∫ ∫ , ( ) 0 0; x b ∀ ∈ . Do đ ó '()0 F x ≤ , 0 x ∀ \> , suy ra đ pcm. Đạ o hàm c ủ a hàm h ằ ng Hàm hằng khả vi mọi cấp bằng 0 . Trong nhi ề u bài t ậ p có cho gi ả thi ế t ()0 f x \= v ớ i m ọ i D x ∈ , vi ệ c đạ o hàm nhi ề u l ầ n c ả 2 v ế có th ể giúp gi ả i quy ế t v ấ n đề . Bài toán 5. Cho tr ướ c các s ố th ự c 12 ,,, n λ λ λ … khác nhau t ừ ng đ ôi m ộ
ứ ng minh r ằ ng: 1122 0 n n k x k x k x λ λ λ − + − + − \= … v ớ i m ọ i x ∈ ℝ khi và ch ỉ khi 12 0 n k k k \= = = = … . (KSTN 2009) L ờ i gi ả i . Ch ứ ng minh quy n ạ
ườ ng h ợ p 1 n \= hi ể n nhiên đ úng. Gi ả s ử bài toán đ úng đế n 1 n − , ngh ĩ a là n ế u 11 0 ni ii a x b −\= − \= ∑ , x ∀ ∈ ℝ thì t ấ t c ả 0 i a \= . Ta ch ứ ng minh n ế u 1122 ()0 n n f x k x k x k x λ λ λ \= − + − + − \= … v ớ i m ọ i x ∈ ℝ thì 12 0 n k k k \= = = = … . |
