Bài 42 trang 163 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Dùng thước và compa, hãy dựng các điểm B và C thuộc đường tròn (O) sao cho AB và AC là các tiếp tuyến của đường tròn (O). Lời giải: * Phân tích Giả sử tiếp tuyến AB và AC cần dựng thỏa mãn điều kiện bài toán Ta có: AB ⊥ OB ⇒ ∠(ABO) = 90o AC ⊥ OC ⇒ ∠(ACO) = 90o Tam giác ABO có ∠(ABO) = 90o nội tiếp trong đường tròn đường kính AO và tam giác ACO có ∠(ACO) = 90o nội tiếp trong đường tròn đường kính AO. Suy ra B và C là giao điểm của đường tròn đường kính AO với đường tròn (O). * Cách dựng - Dựng I là trung điểm của OA - Dựng đường tròn (I; IO) cắt đường tròn (O) tại B và C - Nối AB, AC ta được hai tiếp tuyến cần dựng * Chứng minh Tam giác ABO nội tiếp trong đường tròn (I) có OA là đường kính nên: ∠(ABO) = 90o Suy ra: AB ⊥ OB tại B nên AB là tiếp tuyến của đường tròn (O) Tam giác ACO nội tiếp trong đường tròn (I) có OA là đường kính nên: ∠(ACO) = 90o Suy ra: AC ⊥ OC tại C nên AC là tiếp tuyến của đường tròn (O) * Biện luận Luôn dựng được đường tròn tâm I, cắt đường tròn tâm O tại hai điểm B và C và luôn có AB, AC là hai tiếp tuyến của đường tròn (O). Bài 43 trang 163 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho điểm A nằm trên đường thẳng d, điểm B nằm ngoài đường thẳng d. Dựng đường tròn (O) đi qua A và B nhận đường thẳng d làm tiếp tuyến. Lời giải: * Phân tích - Giả sử dựng được đường tròn (O) qua A, B và tiếp xúc với d. Khi đó đường tròn (O) phải tiếp xúc với d tại A - Đường tròn (O) đi qua A và B nên tâm O nằm trên đường trung trực của AB - Đường tròn (O) tiếp xúc với d tại A nên điểm O nằm trên đường thẳng vuông góc với d tại điểm A * Cách dựng - Dựng đường thẳng trung trực của AB - Dựng đường thẳng đi qua A và vuông góc với d. Đường thẳng này cắt đường trung trực của AB tại O - Dựng đường tròn (O; OA) ta được đường tròn cần dựng * Chứng minh Vì O nằm trên đường trung trực của AB nên OA = OB. Khi đó đường tròn (O; OA) đi qua hai điểm A và B Ta có: OA vuông góc với d tại A nên d là tiếp tuyến của (O) Vậy (O) thỏa mãn điều kiện bài toán. Bài 44 trang 163 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ đường tròn (B; BA) và đường tròn (C; CA), chúng cắt nhau tại điểm D (khác A). Chứng minh rằng CD là tiếp tuyến của đường tròn (B). Lời giải: Xét hai tam giác ABC và DBC, ta có: BA = BD (bán kính của (B; BA)) CA = CD (bán kính của (C; CA)) BC chung Suy ra: ΔABC = ΔDBC (c.c.c) Suy ra: CD ⊥ BD tại D Vậy CD là tiếp tuyến của đường tròn (B; BA) Bài 45 trang 163 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho tam giác ABC cân tại A, các đường cao AD và BE cắt nhau tại H. Vẽ đường tròn (O) có đường kính AH. Chứng minh rằng:
Lời giải:
Tam giác AEH vuông tại E có EO là đường trung tuyến nên : EO = OA = OH = AH/2 (tính chất tam giác vuông) Vậy điểm E nằm trên đường tròn (O ; AH/2 )
Suy ra tam giác OHE cân tại O Trong tam giác BDH ta có: Từ (1), (2) và (3) suy ra: Tam giác ABC cân tại A có AD ⊥ BC nên BD = CD Tam giác BCE vuông tại E có ED là đường trung tuyến nên: ED = DB = BC/2 (tính chất tam giác vuông) Suy ra tam giác BDE cân tại D Suy ra: DE ⊥ EO. Vậy DE là tiếp tuyến của đường tròn (O). Bài 46 trang 163 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho góc nhọn xOy, điểm A thuộc tia Ox. Dựng đường tròn tâm I tiếp xúc với Ox tại A và có tâm I nằm trên Oy. Lời giải: * Phân tích Giả sử đường tròn tâm I dựng được thỏa mãn điều kiện bài toán. - Đường tròn tâm I tiếp xúc với Ox tại A nên I nằm trên đường thẳng vuông góc với Ox kẻ từ A - Tâm I nằm trên tia Oy nên I là giao điểm của Oy và đường thẳng vuông góc với Ox tại A * Cách dựng - Dựng đường vuông góc với Ox tại A cắt Oy tại I - Dựng đường tròn (I; IA) * Chứng minh Ta có: I thuộc Oy; OA ⊥ IA tại A Suy ra Ox là tiếp tuyến của đường tròn (I; IA) hay (I; IA) tiếp xúc với Ox. * Biện luận Vì góc (xOy) là góc nhọn nên đường thẳng vuông góc với Ox tại A luôn cắt tia Oy nên tâm I luôn xác định và duy nhất. Bài 47 trang 163 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho đường tròn (O) và đường thẳng d không giao nhau. Dựng tiếp tuyến của đường tròn (O) sao cho tiếp tuyến đó song song với d |