Như vậy, cấp số nhân với số hạng đầu khác không hội tụ khi và chỉ khi giá trị tuyệt đối của công bội nhỏ hơn 1.  Image via Wikipedia Thí dụ 1.2.2: Cho q = 1/3 ta được: (do ) Cho q = -1/4 ta được: (do ) Thí dụ 1.2.3: Tìm tổng của chuỗi: Lập tổng ta có: Phân tích số hạng thứ n ta có:
Do đó: Hay: Dễ dàng thấy tổng Sn hội tụ về 1 nên chuỗi đã cho hội tụ và có tổng S = 1 Thí dụ 1.2.4: Tìm tổng của chuỗi: Dự đoán: Sử dụng Maple vẽ tổng của với n = 10.000 ta có: \>>plot(Sn, 1 .. 10000); Dựa vào đồ thị của Sn ta thấy đường cong luôn tiệm cận với 0.25. Suy ra, ta có thể dự đoán chuỗi số này hội tụ đến 1/4. Dựa vào dự đoán trên ta sẽ chứng minh chuỗi trên hội tụ và có tổng bằng Phân tích số hạng thứ n thành thừa số. Ta có: Khi đó, tổng Sn sẽ là: . Rõ ràng, qua giới hạn, Sn hội tụ về 1/4. Vậy chuỗi đã cho hội tụ tổng của chuỗi bằng 1/4 Nhận xét: Để tìm tổng của chuỗi số bằng cách lập tổng riêng phần thứ n, ta cần phân tích số hạng tổng quát thành các thừa số có tính chất truy hồi. 1.1.1 Định nghĩa 1: Cho dãy số { } n u . Tổng vô hạn 1 2 1 ... ... n n n u u u u ¥ = + + + + =å (1) được gọi là chuỗi số (chuỗi) và số n u được gọi là số hạng tổng quát thứ n của (1). Một chuỗi số hoàn toàn xác định khi biết số hạng tổng quát của nó. Tổng của n số hạng đầu tiên của (1) 1 2 ... n n S = u + u + + u được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi số (1). |
