Cực trị của hàm số là giá trị mà hàm số đổi chiều biến thiên khi qua đó. Trong hình học, nó biểu diễn khoảng cách lớn nhất từ điểm này sang điểm kia và khoảng cách nhỏ nhất từ điểm này sang điểm nọ. Nếu trên hệ tọa độ Descartes giá trị cực đại là điểm thuộc đỉnh cao nhất trên trục tọa độ và giá trị cực tiểu là điểm thuộc đáy "sâu nhất" của hệ tọa dộ. Show
Giá trị cực đại không phải giá trị lớn nhất, giá trị cực tiểu không phải giá trị nhỏ nhất của hàm số Cực trị hàm một biến[sửa | sửa mã nguồn]Nếu đạo hàm cấp một của hàm f(x) tại x=x0 là f '(x0)=0 thì f(x0) là điểm dừng (hay điểm ổn định)(stationary value) của hàm f(x). Nếu đạo hàm cấp n của hàm f(x) tại x=x0 là f(n)(x0)≠0 thì điểm dừng f(x0) là:
Cực trị hàm nhiều biến[sửa | sửa mã nguồn]Điều kiện cần để hàm z= f(x1, x2,..., xn) có cực trị là dz = f1 dx1 + f2 dx2 +... + fn dxn = 0. dz = 0 khi và chỉ khi f1 dx1 = f2 dx2 =... = fn dxn = 0 d2z được biểu diễn bằng ma trận Hessian:
Từ ma trận H có các ma trận con , ,..., . Điều kiện đủ để hàm có cực đại là det(H1) < 0, det(H2) > 0, det(H3) < 0,..., (-1)n det(Hn) > 0 Điều kiện đủ để hàm có cực tiểu là det(H1), det(H2), det(H3),..., det(Hn) > 0 Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]Fundamental Methods of Mathematical Economics, 3rd Edition, Alpha C Chiang, McGraw-Hill, 1984, page 336 Cho hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a ; b) và điểm x ∈ (a ; b).1. Định nghĩa Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên khoảng \((a ; b)\) và điểm \(x_0 \in (a ; b).\) - Nếu tồn tại số \(h > 0\) sao cho \(f(x) < f(x_0), ∀x ∈ (x_0- h ; x_0+ h), x \neq x_0\) thì ta nói hàm số \(f\) đạt cực đại tại \(x_0.\) - Nếu tồn tại số \(h > 0\) sao cho \(f(x) > f(x_0), ∀x ∈ (x_0- h ; x_0+ h), x \neq x_0\) thì ta nói hàm số \(f\) đạt cực tiểu tại \(x_0.\)  Chú ý:
- Điểm cực trị \({x_0}\) của hàm số. - Giá trị cực trị của hàm số. - Điểm cực trị \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) của đồ thị hàm số.
2. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị Định lí 1. Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên khoảng \(K = (x_0- h ; x_0+ h) (h > 0)\) và có đạo hàm trên \(K\) hoặc trên \(K{\rm{\backslash }}\left\{ {{\rm{ }}{x_0}} \right\}\) +) Nếu \(\left\{ \matrix{f'\left( x \right) > 0 \, | \, \forall \left( {{x_0} - h;\,\,{x_0}} \right) \hfill \cr f'\left( x \right) < 0 \, | \, \forall \left( {{x_0};\,\,{x_0} + h} \right) \hfill \cr} \right.\) thì \(x_0\) là điểm cực đại của hàm số +) Nếu \(\left\{ \matrix{f'\left( x \right) < 0 \, | \, \forall \left( {{x_0} - h;\,\,{x_0}} \right) \hfill \cr f'\left( x \right) > 0 \, | \, \forall \left( {{x_0};\,\,{x_0} + h} \right) \hfill \cr} \right.\) thì \(x_0\) là điểm cực tiểu của hàm số Hàm số có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm không xác định. Định lý 2: Giả sử \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm cấp 2 trong \(\left( {{x_0} - h;{x_0} + h} \right)\left( {h > 0} \right)\).
3. Quy tắc tìm cực trị của hàm sốPhương pháp: Có thể tìm cực trị của hàm số bởi một trong hai quy tắc sau: Quy tắc 1: (suy ra từ định lý 1) - Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số. - Bước 2: Tính \(f'\left( x \right)\), tìm các điểm tại đó \(f'\left( x \right) = 0\) hoặc không xác định. - Bước 3: Lập bảng biến thiên và kết luận. + Tại các điểm mà đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương thì đó là điểm cực tiểu của hàm số. + Tại các điểm mà đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm thì đó là điểm cực đại của hàm số. Quy tắc 2: (suy ra từ định lý 2) - Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số. - Bước 2: Tính \(f'\left( x \right)\), giải phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) và kí hiệu \({x_1},...,{x_n}\) là các nghiệm của nó. - Bước 3: Tính \(f''\left( x \right)\) và \(f''\left( {{x_i}} \right)\). - Bước 4: Dựa và dấu của \(f''\left( {{x_i}} \right)\) suy ra điểm cực đại, cực tiểu: + Tại các điểm \({x_i}\) mà \(f''\left( {{x_i}} \right) > 0\) thì đó là điểm cực tiểu của hàm số. + Tại các điểm \({x_i}\) mà \(f''\left( {{x_i}} \right) < 0\) thì đó là điểm cực đại của hàm số.
\>> Xem thêm Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay \>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc. Giá trị cực trị của hàm số là gì?Cực trị của hàm số là giá trị mà hàm số đổi chiều biến thiên khi qua đó. Hàm số đạt cực tiểu khi nào?x0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a;b) ⊂ K chứa điểm x0 sao cho f(x) > f(x0), ∀ x ∈ (a;b) \{x0}. Khi đó f(x0) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f. Cực tiểu trong toán học là gì?Trong toán học, một bề mặt cực tiểu (cũng gọi là mặt cực tiểu, hay bề mặt tối thiểu, hay mặt tối thiểu) là một bề mặt tối thiểu cục bộ diện tích của nó. Điều này tương đương với độ cong trung bình bằng không. Hàm số bậc 4 có 3 điểm cực trị khi nào?Định nghĩa cực trị của hàm số bậc 4 +) Nếu y′=0 có 3 nghiệm phân biệt thì hàm số y= f(x) có 3 cực trị ( gồm cả cực đại và cực tiểu ). |
