Cong thuc diện tích hình thoi toán 8 năm 2024

Table of Contents

I. Cách tính diện tích của một tứ giác có hai đường chéo vuông góc

Ví dụ 1. Hãy tính diện tích tứ giác ABCD theo AB và BD biết ACDB tại H ( hình 145) (SGK, trang 127)

Giải

Kết luận: Nếu tứ giác có hai đường chéo vuông góc thì diện tích của nó bằng nửa tích hai đường chéo.

II. Công thức tính diện tích hình thoi

Lưu ý: Hình thoi có hai đường chéo vuông góc nên ta có công thức tính diện tích hình thoi như sau:

Diện tích hình thoi bằng nửa tính hai đường chéo: (SGK, trang 127)

Trong đó: S là diện tích hình thoi

là độ dài hai đường chéo

III. Ví dụ

Ví dụ 2: Cho hình thang cân ABCD (AB// CD) có AB = 30cm, CD = 50cm, diện tích hình thang bằng 800 cm2. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA.

1. Tứ giác MNPQ là hình gì ? Vì sao ?

1. Tính diện tích tứ giác MNPQ.

Giải:

1. Ta có ABCD là hình thang cân AC = BD

Xét tam giác ABD có M, Q lần lượt là trung điểm của AB, AD (gt)

MQ là đường trung bình

Chứng minh tương tự ta có MN, NP lần lượt là đường trung bình của tam giác ABC, tam giác BCD . Suy ra:

Xét tứ giác MNPQ có MQ // NP; MQ = NP () nên tứ giác MNPQ là hình bình hành

Mà MN = NP (AC = BD)

Suy ra MNPQ là hình thoi.

1. Xét hình thang ABCD có N, Q lần lượt là trung điểm BC, AD (gt)

NQ là đường trung bình

Hình thoi MNPQ có MP NQ nên MP vuông góc với hai đáy AB, CD. Suy ra MP là đường cao của hình thang cân ABCD.

Bài tập luyện tập diện tích hình thoi của trường Nguyễn Khuyến

1. Bài Tập Tự Luận

Bài 1. Cho hình thoi ABCD có AB = 5cm. Gọi I là giao điểm của hai đường chéo và AI = 4cm.

1. Tính diện tích hình thoi.

1. Tính đường cao của hình thoi.

ĐÁP ÁN

1. Ta có tại I, I là trung điểm BD, AC (ABCD là hình thoi)

Xét tam giác ABI vuông tại I có

1. Gọi BH là đường cao của hình thoi ABCD. Khi đó:

Bài 2. Cho hình thoi ABCD có AB = BD = 12 cm.

1. Tính diện tích hình thoi ABCD.

1. Lấy điểm E đối xứng của A qua D. Chứng minh tứ giác ABCE là hình thang cân.

1. Tính diện tích hình thang cân ABCE.

ĐÁP ÁN

1. Gọi I là giao điểm của AC và BD

tại I và I là trung điểm của AC và BD .

Xét tam giác ABI vuông tại I có

(Định lí Pytago)

1. Tam giác ABD có AB = AD = BD nên tam giác ABD đều .

(DC // AB, đồng vị)

Tam giác CDE có DC = DE (=AD) nên tam giác CDE cân tại D

Mà (cmt)

CDE đều

Xét tứ giác ABCE có BC // AE ( BC // AD)

Tứ giác ABCE là hình thang

Mà

Hình thang ABCE là hình thang cân.

1. Kẻ

Ta có

AE = AD + DE = 6 + 6 = 12 cm

2. Bài Tập Trắc Nghiệm

Bài 1. Cho tứ giác ABCD có đường chéo AC vuông góc với BD, diện tích của tứ giác ABCD là 72 cm2; BD = 8 cm. Độ dài đường chéo AC là:

1. 8 cm

1. 10 cm

1. 16 cm

1. 18 cm

ĐÁP ÁN

Vì tứ giác ABCD có đường chéo vuông góc nên:

Vậy chọn đáp án D.

Bài 2. Hai đường chéo hình thoi có độ dài là 12 cm và 16 cm. Độ dài cạnh hình thoi là:

1. 11 cm

1. 7 cm

1. 10 cm

1. 20 cm

ĐÁP ÁN

Giả sử hình thoi là ABCD có AC = 12cm; BD= 16 cm . Gọi I là giao điểm hai đường chéo AC và BD.

I là trung điểm của AC và BD

Xét tam giác ABI vuông tại I có :

(định lí Pytago)

Vậy chọn đáp án C.

Bài 3. Cho hình thoi ABCD có AC = 60 cm, BD = 80 cm. Vẽ các đường cao AH và AK. Tính diện tích tứ giác AHCK.

Hình thoi là một trong những hình cơ bản được giảng dạy ở nhiều cấp học và được áp dụng nhiều vào trong thực tế. Trong bài viết này, Viện đào tạo Vinacontrol sẽ hướng dẫn bạn công thức tính diện tích hình thoi và kèm theo các bài tập có lời giải chi tiết. Ngoài ra, chúng tôi còn cung cấp "Bảng tính online diện tích các hình phẳng" để giúp bạn giải nhanh các bài tập tính diện tích.

1. Khái niệm và các tính chất của hình thoi

1.1 Hình thoi là gì?

Hình thoi trong hình học Euclide là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau. Đây là hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau hay hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau.

Khi một hình thoi có bốn góc vuông trong bằng nhau thì hình thoi đó được xác định là hình vuông. Như vậy, hình vuông là một trường hợp đặc biệt của hình thoi vì nó có bốn cạnh dài bằng nhau và có bốn góc vuông.

Từ đây ta có thế rút ra kết luận:

• Mọi hình vuông đều là hình thoi, nhưng mọi hình thoi thì không phải đều là hình vuông.
• Mọi hình thoi đều là hình bình hành, nhưng mọi hình bình hành thì không phải hình thoi.

1.2 Tính chất của hình thoi

Hình thoi có những tính chất bao gồm:

• Các góc đối nhau bằng nhau.
• Hai đường chéo vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
• Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình thoi.
• Hình thoi có tất cả tính chất của hình bình hành.

1.3 Dấu hiệu nhận biết hình thoi

Để nhận biết một hình có phải là thoi hay không, ta dựa vào những dấu hiệu sau đây:

• Dấu hiệu 1: Hình tứ giác có 4 cạnh bằng nhau là hình thoi.
• Dấu hiệu 2: Tứ giác có 2 đường chéo là đường trung trực của nhau là hình thoi.
• Dấu hiệu 3: Tứ giác có 2 đường chéo là đường phân giác của cả bốn góc là hình thoi.
• Dấu hiệu 4: Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi.
• Dấu hiệu 5: Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.
• Dấu hiệu 6: Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình thoi.

Hình thoi trong hình học Euclide là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau

2. Công thức tính diện tích hình thoi

Công thức tính diện tích hình thoi được phát biểu như sau

Diện tích của hình thoi bằng một nửa tích độ dài của hai đường chéo Công thức: S =1/2(d1 x d2) = a x h

Trong đó:

• S là diện tích hình thoi
• d1, d2 là hai đường chéo hình thoi
• h là chiều cao của hình thoi
• a là cạnh hình thoi

S =1/2(d1 x d2) = a x h

Ngoài ra, ta có thể tính diện tích hình thoi dựa vào hệ thức trong tam giác (trong trường hợp biết được số đo góc của hình thoi):

S = a² . sin A = a² . sin B = a² . sin C = a² . sin D

Trong đó:

• S: Ký hiệu diện tích hình thoi
• a: Kích thước độ dài cạnh bên
• α: Số đo một góc bất kỳ thuộc hình thoi.

S = a² . sin A = a² . sin B = a² . sin C = a² . sin D

3. Những lưu ý khi làm bài toán tính diện tích

Trong các bài tập, hoặc bài kiểm tra có nhiều bài toán tính diện tích được gài cắm, gây nhiễu cho học sinh và thí sinh. Do đó khi làm bài bạn cần đọc kỹ đề và lưu ý những điểm sau:

• Khi đề bài độ dài các cạnh có đơn vị khác nhau, thì bước đầu tiên cần quy đổi về cùng một đơn vị đo độ dài.
• Đối với bài so sánh diện tích các hình, cũng cần lưu ý về đơn vị đo diện tích của các hình. Nếu chúng khác nhau, hãy quy đổi về cùng một đơn vị đo rồi mới tiến hành so sánh.
• Thực hiện kiểm tra kết quả ít nhất 2.

4. Các dạng bài tập tính diện tích hình thoi và lời giải chi tiết

4.1 Dạng 1: Tính diện tích hình thoi dựa vào đường chéo

Với dạng bài tập này, ta làm theo các bước sau:

• Bước 1: Xác định dữ kiện đề bài cho, từ đó tính độ dài của hai đường chéo;;
• Bước 2: Nhân độ dài hai đường chéo lại với nhau;
• Bước 3: Chia tích hai đường chéo vừa tính được cho 2.

Ở dạng bài tập này, tính độ dài của hai đường chéo là việc mấu chốt để từ đó tính diện tích hình thoi. Do đó, đòi hỏi sự tư duy nhanh và chính xác với các dữ kiện mà đề bài đã cho.

Bài tập ví dụ 1: Tính diện tích của hình thoi biết độ dài cạnh bằng 15cm và một trong 2 đường chéo của nó bằng 18 cm.

Giải:

Gọi hình thoi S1 có độ dài đường chéo d1 là 18cm, độ dài cạnh là 15cm và đường chéo d2.

Dựa vào tính chất của hình thoi, có hai đường chéo vuông góc với nhau, cắt nhau tại chung điểm của mỗi đường. Do đó tạo nên bốn tam giác vuông.

Áp dụng định lý Py-ta-go ta tính được độ dài đường chéo d2:

d2 = 2 x √(15^2 – 9^2) = 2 x 12 = 24

-> Diện tích hình thoi S1 = ½ ( 18 x 24) = 216 cm2

4.2 Dạng 2: Tính diện tích hình thoi dựa vào chiều cao và cạnh đáy

Do hình thoi có đầy đủ tính chất của tứ giác đặt biệt, có hai cạnh bên và dáy bằng nhau. Do đó, chúng ta có thể sử dụng công thức sau để tính diện tích hình thoi:

S = a x h

• S là diện tích
• a là độ dài cạnh đáy
• h là chiều cao của hình thoi

Để giải bài tập này ta thực hiện các bước như sau:

• Bước 1: Xác định các dữ kiện đề bài cho, tính độ dài chiều cao và cạnh đáy;
• Bước 2: Áp dụng công thức tính diện tích, lấy độ dài chiều cao nhân với cạnh đáy.

Bài tập ví dụ 2: Tính diện tích hình thoi có chiều cao 6cm và độ dài cạnh đáy là 80mm.

Giải

Ta thực hiện quy đổi: 80mm = 8cm.

Độ dài cạnh đáy của hình thoi là 8cm.

Gọi S là diện thích của hình thoi, ta áp dụng công thức: S = a x h = 8 x 6 = 48cm2.

4.3 Dạng 3: Tính diện tích dựa vào công thức lượng giác

Hình thoi có độ dài cạnh đáy là a, ta có công thức tính diện tích sau: S= a². sin α

Bài tập ví dụ 3: Cho hình thoi ABCD, có cạnh hình thoi = 4cm, góc A = 35 độ. Tính diện tích hình thoi ABCD. Giải: Áp dụng công thức, ta có a = 4, góc = 35 độ. Ta thay vào công thức như sau:

S = a2 x sinA = 42 x sin(35o) = 9,177 (cm2).

5. Tổng hợp bài tập tự luyện

Câu 1: Tính diện tích hình thoi có độ dài đường chéo là 14cm và 10cm.

Câu 2: Hình thoi có độ dài các đường chéo là 18dm và 5m. Diện tích hình thoi đó bằng bao nhiêu đề-xi-mét vuông?

Câu 3: Một hình thoi có diện tích 4dm, độ dài một đường chéo là 3/5 dm. Tính độ dài đường chéo thứ hai.

Câu 4: Một khu đất hình thoi có độ dài các đường chéo là 70m và 300m. Tính diện tích khu đất đó.

Câu 5: Một hình thoi có diện tích 4dm2, độ dài một đường chéo là 3/5 dm. Tính độ dài đường chéo thứ hai.

Trên đây là toàn bộ nội dung về công thức tính diện tích hình thoi và bài tập có lời giải. Mong rằng qua bài viết này, Viện đào tạo Vinacontrol đã cung cấp thông tin hữu ích đến bạn.