Khái niệm hạt nhân cũng có thể áp dụng được đối với các đồng cấu mô đun, là các tổng quát hóa của không gian vectơ khi các vô hướng là phần tử của một vành, thay vì là một trường. Tập nguồn của ánh xạ là một mô đun, và hạt nhân tạo nên một mô đun con. Ở đây, khái niệm về hạng và số vô hiệu không nhất thiết áp dụng được.
Trong giải tích hàm[sửa | sửa mã nguồn]
Nếu V và W là các không gian vectơ tô pô sao cho W hữu hạn chiều thì một toán tử tuyến tính L: V → W là liên tục khi và chỉ khi hạt nhân của L là một không gian con đóng của V.
Biểu diễn dưới dạng phép nhân ma trận[sửa | sửa mã nguồn]
Xét một biến đổi tuyến tính được biểu diễn bởi một ma trận A cỡ m × n với các hệ số trên một trường K (thường là hoặc ), tức là tác động lên các vectơ cột x với n thành phần trên K. Hạt nhân của ánh xạ này là tập hợp các nghiệm của phương trình Ax = 0, với 0 được hiểu là vectơ không. Số chiều của hạt nhân của A được gọi là số vô hiệu của A. Dạng thức hóa như sau:
Phương trình ma trận trên là tương đương với hệ phương trình tuyến tính thuần nhất sau:
Vì thế hạt nhân của A là chính là tập nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất trên.
Các tính chất của không gian con[sửa | sửa mã nguồn]
Hạt nhân của một ma trận A cỡ m × n trên một trường K là không gian con của Kn. Tức là, hạt nhân của A hay tập Null(A) có ba tính chất sau:
- Null(A) luôn chứa vectơ không, vì A0 = 0.
- Nếu x ∈ Null(A) và y ∈ Null(A), thì x + y ∈ Null(A). Điều này là do tính phân phối của phép nhân ma trận đối với phép cộng.
- Nếu x ∈ Null(A) và c là một vô hướng c ∈ K, thì cx ∈ Null(A) vì A(cx) = c(Ax) = c0 = 0.
Không gian hàng của một ma trận[sửa | sửa mã nguồn]
Tích Ax có thể được viết dưới dạng tích vô hướng của các vectơ như sau:
Ở đây a1,..., am chỉ các hàng của ma trận A. Suy ra rằng x thuộc hạt nhân của A khi và chỉ khi x trực giao (hay vuông góc) với từng vectơ hàng của A (vì trực giao được định nghĩa là có tích vô hướng bằng 0).
Không gian hàng, hay đối ảnh của ma trận A là span của các vectơ hàng của A. Bằng lập luận như trên, hạt nhân của A là phần bù trực giao của không gian hàng. Tức là, một vectơ x thuộc hạt nhân của A, khi và chỉ khi nó vuông góc với từng vectơ trong không gian hàng của A.
Số chiều của không gian hàng của A được gọi là hạng của A, còn số chiều của hạt nhân của A được gọi là số vô hiệu của A. Các đại lượng này được liên hệ bởi định lý hạng và số vô hiệu
Không gian hạt nhân trái[sửa | sửa mã nguồn]
Không gian hạt nhân trái, hay đối hạch (cokernel), của một ma trận A gồm các vectơ x sao cho xTA = 0T, trong đó T là ký hiệu cho chuyển vị của một ma trận. Không gian null trái chính là hạt nhân của AT, và là phần bù trực giao của không gian cột của A, và đối ngẫu với đối hạch của biến đổi tuyến tính tương ứng. Hạt nhân, không gian hàng, không gian cột và hạt nhân trái của A là bốn không gian con cơ bản liên quan tới ma trận A.
Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất[sửa | sửa mã nguồn]
Hạt nhân cũng có vai trò trong nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất:
Nếu u và v là hai nghiệm có thể của phương trình trên thì
Vì vậy, hiệu của hai nghiệm bất kỳ của phương trình Ax = b nằm trong hạt nhân của A.
Từ đó suy ra rằng bất kỳ nghiệm nào của phương trình Ax = b có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của một nghiệm cố định v và một phần tử bất kỳ của hạt nhân. Tức là, tập nghiệm của phương trình Ax = b là
Một cách hình học, điều này nói rằng tập nghiệm của Ax = b là hạt nhân của A được tịnh tiến theo vectơ v.
Ví dụ minh họa[sửa | sửa mã nguồn]
Sau đây là một ví dụ đơn giản về tính toán hạt nhân của một ma trận (xem phần dưới về các phương pháp tốt hơn cho các tính toán phức tạp). Ví dụ minh họa cũng liên hệ đến không gian hàng và quan hệ của nó với hạt nhân.
Xét ma trận
Hạt nhân của ma trận này chứa các vectơ (x, y, z) ∈ R3 sao cho
có thể biểu diễn phương trình trên dưới dạng một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất liên hệ x, y, và z:
Hệ phương trình trên cũng có thể viết thành dạng ma trận như sau:
Bằng phép khử Gauss-Jordan, ma trận có thể được rút gọn thành:
Viết lại ma trận dưới dạng phương trình ta được:
Các phần tử của hạt nhân có thể được biểu diễn dưới dạng tham số như sau:
Vì c là một biến tự do nhận giá trị trên mọi số thực, ta cũng có thể biểu diễn như sau:
Hạt nhân của A chính là tập nghiệm của hệ phương trình trên (trong trường hợp này, là đường thẳng đi qua gốc tọa độ trong R3). Ở đây, vì vectơ (−1,−26,16)T lập một cơ sở cho hạt nhân của A nên số vô hiệu của A bằng 1.
Các tích vô hướng sau là bằng 0:
cho thấy các vectơ trong hạt nhân của A trực giao với từng vectơ cột của A.
Hai vectơ hàng trong A (độc lập tuyến tính) span không gian hàng của A — một mặt phẳng trực giao với vectơ (−1,−26,16)T.
Với ma trận A có hạng 2, số vô hiệu 1 và kích thước bằng 3 của A, ta có một minh họa của định lý hạng-số vô hiệu.
Ví dụ[sửa | sửa mã nguồn]
- Nếu L: Rm → Rn, thì hạt nhân của L là tập nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất. Trong ví dụ minh họa trên, nếu L là toán tử: thì hạt nhân của L là tập nghiệm của hệ phương trình
- Cho C[0,1] là không gian vectơ của tất cả các hàm giá trị thực trên đoạn [0,1], và định nghĩa L: C[0,1] → R bởi quy ước Vậy thì hạt nhân của L chứa các hàm f ∈ C[0,1] sao cho f(0.3) = 0.
- Cho C∞(R) là không gian vectơ của các hàm khả vi vô hạn lần R → R, và cho D: C∞(R) → C∞(R) là toán tử vi phân: Vậy hạt nhân của D gồm tất cả các hàm số trong C∞(R) có đạo hàm bằng 0, tức là tập các hàm hằng.
- Cho R∞ là tích trực tiếp của vô hạn các bản sao của tập R, và cho s: R∞ → R∞ là toán tử dịch chuyển Vậy thì hạt nhân của s là không gian một chiều chứa các vectơ (x1, 0, 0, ...).
- Nếu V là một không gian tích trong và W là một không gian con, hạt nhân của phép chiếu trực giao V → W là phần bù trực giao của W trong V.
Tính toán bằng phép khử Gauss[sửa | sửa mã nguồn]
Một cơ sở của hạt nhân của một ma trận có thể được tính nhờ phép khử Gauss.
Để làm điều này, cho một ma trận A cỡ m × n, trước hết ta xây dựng ma trận bổ sung trên hàng trong đó I là ma trận đơn vị n × n.
Tính toán dạng cột bậc thang rút gọn bằng phép khử Gauss (hay bất kỳ phương pháp phù hợp nào), ta có một ma trận Một cơ sở của hạt nhân của A bao gồm các cột khác zero của C sao cho cột tương ứng của B là một cột zero.
Thực tế, tính toán có thể ngừng lại một khi ma trận phía trên mới chỉ được đưa về dạng cột bậc thang: những tính toán còn lại chỉ nhằm đổi cơ sở của không gian vectơ sinh bởi các cột mà phần thuộc ma trận trên là zero.
Ví dụ, giả sử
ta có
Biến đổi phần trên của ma trận về dạng cột bậc thang bằng các biến đổi cột thực hiện trên toàn bộ ma trận để có
Ta thấy ba cột cuối cùng của B là các cột zero, vì thế, ba cột cuối cùng của C,
là một cơ sở của hạt nhân của A.
Chứng minh rằng phương pháp này có thể tính toán ra hạt nhân: Bởi các biến đổi cột tương ứng với việc nhân các ma trận khả nghịch vào phía bên phải, nên ma trận giản ước về có nghĩa là tồn tại một ma trận khả nghịch sao cho với ở dạng cột bậc thang. Vì vậy và Một vectơ cột thuộc hạt nhân của (tức là ) khi và chỉ khi với Vì đang ở dạng cột bậc thang nên khi và chỉ khi các phần tử khác 0 của tương ứng với các cột zero của Bằng việc nhân với , ta có thể suy rằng điều này chỉ có thể khi và chỉ khi là tổ hợp tuyến tính của các cột tương ứng trong
Tính toán bằng số[sửa | sửa mã nguồn]
Vấn đề tính toán hạt nhân của ma trận trên máy tính phụ thuộc vào bản chất của các hệ số trong ma trận