Tôi nghĩ tích vô hướng là phép nhân có hướng. Phép nhân vượt xa phép đếm lặp đi lặp lại. nó áp dụng bản chất của một mặt hàng cho một mặt hàng khác. (Ví dụ phép nhân phức là phép quay, không phải phép đếm lặp. )
Khi xử lý các tốc độ tăng trưởng đơn giản, phép nhân chia tỷ lệ này theo tỷ lệ khác
- "3 x 4" có thể có nghĩa là "Hãy tăng trưởng gấp 3 lần của bạn và làm cho nó lớn gấp 4 lần, để có được 12 lần"
Khi xử lý các vectơ ("tăng trưởng theo hướng"), chúng ta có thể thực hiện một số thao tác
- Thêm vectơ. Tích lũy sự tăng trưởng chứa trong một số vectơ
- Nhân với một hằng số. Làm cho một vectơ hiện có mạnh hơn (theo cùng một hướng)
- chấm sản phẩm. Áp dụng sự tăng trưởng có hướng của một vectơ cho một vectơ khác. Kết quả là chúng ta đã tạo ra vectơ ban đầu mạnh hơn bao nhiêu (dương, âm hoặc bằng 0)
Hôm nay chúng ta sẽ xây dựng trực giác của mình về cách thức hoạt động của sản phẩm chấm
Lấy công thức ra khỏi con đường
Bạn đã thấy phương trình tích vô hướng ở khắp mọi nơi
Và cũng là lời biện minh. “Ồ, Billy, Định luật Côsin (anh nhớ chứ, phải không?) nói rằng các phép tính sau đây là như nhau, vì vậy chúng là. " Không đủ tốt -- nó không nhấp chuột. Ngoài tính toán, nó có nghĩa là gì?
Mục tiêu là áp dụng một vectơ cho một vectơ khác. Phương trình trên cho thấy hai cách để thực hiện điều này
- phối cảnh hình chữ nhật. kết hợp các thành phần x và y
- quan điểm cực. kết hợp độ lớn và góc
Phương trình "thứ này = thứ kia" chỉ có nghĩa là "Đây là hai cách tương đương để 'nhân theo hướng' các vectơ"
Xem số dưới dạng vectơ
Hãy bắt đầu đơn giản và coi 3 x 4 là tích vô hướng
Số 3 là "tăng trưởng có định hướng" theo một chiều duy nhất (giả sử trục x) và 4 là "tăng trưởng có định hướng" theo cùng một hướng đó. 3 x 4 = 12 có nghĩa là chúng ta có mức tăng trưởng gấp 12 lần trong một chiều. Vâng
Bây giờ, giả sử 3 và 4 đề cập đến các kích thước khác nhau. Giả sử 3 có nghĩa là "nhân ba số chuối của bạn" (trục x) và 4 có nghĩa là "tăng gấp bốn lần số cam của bạn" (trục y). Bây giờ chúng không phải là cùng một loại số. điều gì xảy ra khi áp dụng tăng trưởng (sử dụng sản phẩm chấm) trong vũ trụ "chuối, cam" của chúng ta?
- (3,0) có nghĩa là "Nhân ba quả chuối, phá cam"
- (0,4) có nghĩa là "Tiêu hủy chuối của bạn, tăng gấp bốn lần số cam của bạn"
Áp dụng (0,4) cho (3,0) có nghĩa là "Tiêu diệt sự phát triển của chuối của bạn, tăng gấp bốn lần sự phát triển của cam của bạn". Nhưng (3, 0) không có quả cam để bắt đầu phát triển, vì vậy kết quả cuối cùng là 0 ("Hãy phá hủy tất cả trái cây của bạn đi, anh bạn")
Xem cách chúng tôi "áp dụng" và không chỉ đơn giản là thêm? . (3,0) + (0, 4) = (3, 4) [một véc tơ tăng gấp ba số cam và gấp bốn số chuối của bạn]
"Ứng dụng" là khác nhau. Chúng tôi đang thay đổi véc tơ ban đầu dựa trên các quy tắc của véc tơ thứ hai. Và quy tắc của (0, 4) là "Hủy bỏ sự phát triển của quả chuối và tăng gấp 4 lần sự phát triển của quả cam của bạn. " Khi áp dụng cho thứ chỉ có chuối, như (3, 0), chúng ta không còn gì
Kết quả cuối cùng của quy trình sản phẩm chấm có thể là
- Số không. chúng tôi không có bất kỳ sự tăng trưởng nào theo hướng ban đầu
- Số dương. chúng tôi có một số tăng trưởng theo hướng ban đầu
- Số âm. chúng ta có sự tăng trưởng âm (đảo ngược) theo hướng ban đầu
Hiểu tính toán
"Áp dụng vectơ" vẫn còn hơi trừu tượng. Tôi nghĩ "Một vectơ truyền cho vectơ kia bao nhiêu năng lượng/lực đẩy?". Đây là cách tôi hình dung nó
Tọa độ hình chữ nhật. Chồng chéo từng thành phần
Giống như nhân các số phức, hãy xem cách mỗi thành phần x và y tương tác với nhau
Chúng tôi liệt kê tất cả bốn kết hợp (x với x, y với x, x với y, y với y). Vì tọa độ x và y không ảnh hưởng lẫn nhau (giống như cầm xô nghiêng dưới thác nước -- không có gì rơi vào), tổng năng lượng hấp thụ là hấp thụ (x) + hấp thụ (y)
tọa độ cực. chiếu
Từ "chiếu" thật vô trùng. Tôi thích "dọc theo con đường". Bao nhiêu năng lượng đang thực sự đi theo hướng ban đầu của chúng tôi?
Đây là một cách để xem nó
Lấy hai vectơ a và b. Xoay tọa độ của chúng tôi để b nằm ngang. no trở nên (. b. , 0) và mọi thứ nằm trên trục x mới này. Sản phẩm chấm bây giờ là gì?
Chà, vectơ a có tọa độ mới (a1, a2) và chúng tôi nhận được
a1 thực sự là "Tọa độ x của a là gì, giả sử b là trục x?". Đó là. a. cos(θ), hay còn gọi là "phép chiếu"
Tương tự cho sản phẩm chấm
Cách hiểu phổ biến là "phép chiếu hình học", nhưng nó thật nhạt nhẽo. Đây là một số phép loại suy nhấp chuột cho tôi
hấp thụ năng lượng
Một vectơ là các tia mặt trời, vectơ kia là hướng của tấm pin mặt trời (vâng, vâng, vectơ pháp tuyến). Số lớn hơn có nghĩa là tia sáng mạnh hơn hoặc bảng điều khiển lớn hơn. Bao nhiêu năng lượng được hấp thụ?
- Năng lượng = Chồng chéo về hướng * Độ mạnh của tia * Kích thước của bảng điều khiển
Nếu bạn giữ bảng điều khiển của mình nghiêng về phía mặt trời, sẽ không có tia nào chiếu vào (cos(θ) = 0)
Nhưng mà. nhưng. các tia mặt trời đang rời khỏi mặt trời và bảng điều khiển hướng về phía mặt trời và sản phẩm chấm là âm khi các vectơ đối lập. Hãy hít một hơi thật sâu và nhớ rằng mục tiêu là nắm lấy sự tương tự (ngoài ra, các nhà vật lý luôn mất dấu vết của các dấu hiệu tiêu cực)
Tăng tốc Mario-Kart
Trong Mario Kart, có những "miếng đệm" trên mặt đất giúp tăng tốc độ của bạn (Chưa từng chơi? Tôi xin lỗi. )
Hãy tưởng tượng vectơ màu đỏ là tốc độ của bạn (hướng x và y) và vectơ màu xanh lam là hướng của miếng đệm tăng tốc (hướng x và y). Số lớn hơn là nhiều sức mạnh hơn
Bạn sẽ nhận được bao nhiêu tăng?
- Nếu bạn đến bằng 0, bạn sẽ không nhận được gì. (Nếu bạn bị rơi xuống bảng, sẽ không có tăng. )
- Nếu bạn đi vuông góc với miếng đệm, bạn sẽ nhận được 0 lợi ích. (Giống như việc xóa chuối, có tăng 0x theo hướng vuông góc. )
- Nếu hướng và miếng đệm của chúng ta được căn chỉnh, tốc độ x của chúng ta sẽ đóng góp vào mức tăng x và tốc độ y của chúng ta sẽ mang lại cho chúng ta mức tăng y
Gọn gàng nhỉ? . tốc độ đến của bạn là $. a. $ và mức tăng tối đa là $. b. $. Tỷ lệ phần trăm tăng bạn thực sự nhận được (dựa trên cách bạn xếp hàng) là $\cos(\theta)$, với tổng mức tăng $. a. b. \cos(\theta)$, là tích vô hướng
Vật lý Vật lý Vật lý
Sản phẩm chấm xuất hiện khắp vật lý. một số trường (điện, hấp dẫn) đang kéo một số hạt. Chúng tôi muốn nhân lên, và chúng tôi có thể nếu mọi thứ được sắp xếp. Nhưng điều đó không bao giờ xảy ra, vì vậy chúng tôi sử dụng tích vô hướng để giải thích cho những khác biệt tiềm ẩn về hướng
Đó là tất cả một khái quát hữu ích. Tích phân là "phép nhân, tính đến các thay đổi" và tích phân là "phép nhân, tính đến hướng"
Và nếu hướng của bạn đang thay đổi thì sao?
Hướng lên trên và hướng lên phía trước
Đừng giải quyết cho "Tích vô cực là phép chiếu hình học, được chứng minh bằng định luật cosin". Tìm các phép loại suy phù hợp với bạn. toán học vui vẻ