Hàm số \(y = f(x)\) đồng biến (tăng) trên khoảng (a;b) nếu \(\forall {x_1},{x_2} \in (a;b),{x_1} < {x_2} \Rightarrow f({x_1}) < f({x_2})\) Hàm số \(y = f(x)\) nghịch biến (giảm) trên khoảng (a;b) nếu \(\forall {x_1},{x_2} \in (a;b),{x_1} < {x_2} \Rightarrow f({x_1}) > f({x_2})\)
1. Lý thuyết
Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng (a;b).
+ Định nghĩa:
Hàm số \(y = f(x)\) đồng biến (tăng) trên khoảng (a;b) nếu
\(\forall {x_1},{x_2} \in (a;b),{x_1} < {x_2} \Rightarrow f({x_1}) < f({x_2})\)
Hàm số \(y = f(x)\) nghịch biến (giảm) trên khoảng (a;b) nếu
\(\forall {x_1},{x_2} \in (a;b),{x_1} < {x_2} \Rightarrow f({x_1}) > f({x_2})\)
Xét sự biến thiên của hàm số là tìm các khoảng hàm số đồng biến và các khoảng hàm số nghịch biến.
+ Mô tả sự biến thiên bằng bảng biến thiên
Kết quả xét sự biến thiên được tổng kết trong một bảng biến thiên. Trong đó:
Dấu mũi tên đi lên diễn tả hàm số đồng biến trên khoảng tương ứng.
Dấu mũi tên đi xuống diễn tả hàm số nghịch biến trên khoảng tương ứng.
+ Mô tả sự biến thiên bằng đồ thị
Hàm số đồng biến trên khoảng (a;b) khi và chỉ khi đồ thị hàm số có dạng “đi lên” (từ trái sang phải) trên khoảng đó.
Hàm số nghịch biến trên khoảng (a;b) khi và chỉ khi đồ thị hàm số có dạng “đi xuống” (từ trái sang phải) trên khoảng đó.
+ Hàm số bậc nhất \(y = ax + b\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) nếu \(a > 0\), nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) nếu \(a < 0\).
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Chứng minh hàm số \(y = 2{x^2}\)đồng biến trên khoảng \((0; + \infty )\)
Xét hai số bất kì \({x_1},{x_2} \in (0; + \infty )\) sao cho \({x_1} < {x_2}\).
Ta có: \(0 < {x_1} < {x_2}\) nên \(2{x_1}^2 < 2{x_2}^2\) hay \(f({x_1}) < f({x_2})\)
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \((0; + \infty )\)
Ví dụ 2. Cho bảng biến thiên của hàm số \(y = 2{x^2} + 1\)
- Dấu mũi tên đi xuống diễn tả hàm số nghịch biến trên khoảng \(( - \infty ;0)\)
- Dấu mũi tên đi lên diễn tả hàm số đồng biến trên khoảng \((0; + \infty )\)
Ví dụ 3. Cho đồ thị của hàm số \(y = f(x)\)
Hàm số \(y = f(x)\) đồng biến trên khoảng (2;5)
Hàm số \(y = f(x)\) nghịch biến trên khoảng (-4;2)
- Đồ thị của hàm số Đồ thị của hàm số \(y = f(x)\) xác định trên tập D là tập hợp tất cả các điểm \(M(x;f(x))\) trên mặt phẳn tọa độ với mọi x thuộc D. Kí hiệu: \((C) = \{ M(x;f(x))|x \in D\} \)
- Tập xác định, tập giá trị của hàm số Tập xác định của hàm số \(y = f(x)\) là tập hợp tất cả các số thực x sao cho biểu thức \(f(x)\) có nghĩa. Tập giá trị của hàm số \(y = f(x)\) là tập hợp tất cả các giá trị \(f(x)\) tương ứng với x thuộc tập xác định. Hàm số. Cách cho một hàm số
Nếu với mỗi giá trị \(x\) thuộc tập D, ta xác định được một và chỉ một giá trị tương ứng thuộc tập hợp số thực \(\mathbb{R}\) thì ta có một hàm số.
+ Hàm số y = f (x) được gọi là đồng biến (tăng) trên D = (a ; b) nếu với mọi D = (a ; b) sao cho .
+ Hàm số y = f (x) được gọi là nghịch biến (giảm) trên D = (a ; b) nếu với mọi D = (a ; b) sao cho .
2. Bảng biến thiên
Xét sự biến thiên của một hàm số là ta đi tìm các khoảng đồng biến và các khoảng nghịch biến của hàm số đó. Khi đó, kết quả xét sự biến thiên được ta tổng kết lại trong một bảng, ta gọi đó là bảng biến thiên.
Ví dụ 1. Hình vẽ dưới đây minh họa bảng biến thiên của hàm số y = x2.
Hàm số y = x2 xác định trên khoảng (– ; + ).
Ta nói x dần tới + khi x > 0 và x nhận các giá trị lớn tùy ý.
Ta nói x dần tới – khi x < 0 và |x| nhận các giá trị lớn tùy ý.
Khi x dần tới – hay x dần tới + thì y đều dần tới + .
Khi x = 0 thì y = 0.
Nhận xét bảng biến thiên:
+ Hàm số y = x2 nghịch biến trên khoảng (– ; 0) được miêu tả bằng cách vẽ một mũi tên đi xuống.
+ Hàm số y = x2 đồng biến trên khoảng (0 ; + ) được miêu tả bằng cách vẽ một mũi tên đi lên.
+ Dựa vào bảng biến thiên, ta có thể đoán được đồ thị hàm số đi xuống trong khoảng nào và đi lên trong khoảng nào.
» Xem thêm: Cách xét tính chẵn lẻ của hàm số chi tiết, chuẩn xác nhất Cách tìm tập xác định của hàm số chuẩn xác nhất
3. Một số dạng toán về sự biến thiên của hàm số
3.1. Dạng 1: Bài toán xét sự biến thiên của hàm số trên khoảng cho trước
*Phương pháp giải:
Cách 1: Cho hàm số y = f (x) xác định trên D. Với mọi , tính
+ Hàm số y = f (x) đồng biến trên D nếu H > 0.
+ Hàm số y = f (x) nghịch biến trên D nếu H < 0.
Cách 2: Cho hàm số y = f (x) xác định trên D. Với mọi D và , đặt
+ Hàm số y = f (x) đồng biến trên D nếu H > 0.
+ Hàm số y = f (x) nghịch biến trên D nếu H < 0.
Bài 1. Em hãy xét tính đồng biến và tính nghịch biến của hàm số y = 7 – 2x trên tập số thực R.
ĐÁP ÁN
Với mọi và . Khi đó, ta có:
Ta suy ra H = = – 2 < 0 hay H < 0.
Do đó, hàm số y = 7 – 2x nghịch biến trên tập số thực R.
Bài 2. Em hãy xét tính đồng biến và tính nghịch biến của hàm số trên khoảng (– ; – 3) và trên khoảng (– 3 ; + ).
ĐÁP ÁN
Ta có
Ta suy ra H = .
+ Xét tính đồng biến và tính nghịch biến của hàm số trên khoảng (– ; – 3):
Với mọi (– ; – 3) và . Khi đó, ta được:
hay H < 0.
Do đó, hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (– ; – 3).
+ Xét tính đồng biến và tính nghịch biến của hàm số trên khoảng (– 3 ; + ):
Với mọi (– 3 ; + ) và . Khi đó, ta được:
hay H > 0.
Do đó, hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (– 3 ; + ).
Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (– ; – 3) và đồng biến trên khoảng (– 3 ; + ).
Bài 3. Em hãy xét tính đồng biến và tính nghịch biến của hàm số trên khoảng (– ; 5) và trên khoảng (5 ; + ).
ĐÁP ÁN
Ta có
Ta suy ra H = .
+ Xét tính đồng biến và tính nghịch biến của hàm số trên khoảng (– ; 5):
Với mọi (– ; 5) và . Khi đó, ta được:
.
Suy ra H < 0.
Do đó, hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (– ; 5).
+ Xét tính đồng biến và tính nghịch biến của hàm số trên khoảng (5 ; + ):
Với mọi (5 ; + ) và . Khi đó, ta được:
.
Suy ra H < 0.
Do đó, hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (5 ; + ).
Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên hai khoảng (– ; 5) và khoảng (5 ; + ).
3.2. Dạng 2: Giải phương trình f(x) = 0
*Phương pháp giải:
(1) Phương trình f (x) = 0 có nhiều nhất một nghiệm nếu hàm số y = f (x) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên D.
(2) Nếu hàm số y = f (x) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên D, với mọi x, y thuộc D ta được:
+ f (x) > f (y) khi và chỉ khi x > y (hoặc x < y).
+ f (x) = f (y) khi và chỉ khi x = y.
Bài 4. Em hãy xét sự biến thiên của hàm số trên tập xác định của nó và tìm nghiệm của phương trình .