Thế nào là hai phương trình tương đương
a. Định nghĩa: Hai phương trình gọi là tương đương nếu chúng có cùng một tập hợp nghiệm.
b. Hai quy tắc biến đổi tương đương các phương trình:
2. Phép biến đổi tương đương
Phép biến đổi không làm thay đổi tập nghiệm của phương trình gọi là phép biến đổi tương đương. Ta có một số phép biến đổi tương đương đã biết sau
- Cộng hoặc trừ cả hai vế với cùng một số hoặc biểu thức.
- Chuyển một số hoặc biểu thức từ vế này sang vế kia và đổi dấu.
- Nhân hoặc chia hai vế của phương trình với cùng một số hoặc biểu thức khác 0.
Chú ý. Các phép biến đổi trên không làm thay đổi điều kiện của phương trình thì mới được phương trình tương đương
3. Phương trình hệ quả
Gọi S1,S2 lần lượt là tập nghiệm của hai phương trình (1) và (2). Ta nói phương trình (2) là phương trình hệ quả của phương trình (1) khi S1 ⊂S2. Ta viết (1)⇒(2).
Ví dụ 1. Cho hai phương trình:
Hai phương trình trên có tương đương không? Phương trình này có là phương trình hệ quả của phương trình kia không?
Chú ý. Phép bình phương hai vế một phương trình không phải là phép biến đổi tương đương mà chỉ là phép biến đổi hệ quả.
Ví dụ 2. Cho hai phương trình:
Hai phương trình trên có tương đương không? Phương trình này có là phương trình hệ quả của phương trình kia không?
Khi hai vế của phương trình đều không âm, phương hai vế của phương trình ta được một phương trình tương đương.
Công thức
4. Phương trình bậc nhất một ẩn:
5. Cách giải phương trình đưa được về dạng ax + b = 0 (a ≠ 0) (không có ẩn ở mẫu):
- Quy đồng mẫu thức 2 vế
- Khử mẫu thức.
- Thực hiện các phép tính và chuyển vế (chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế, các hằng số sang vế bên kia), đưa phương trình về dạng Ax = B
Ví dụ 1.
Giải phương trình:
1. Phương trình tương đương
Hai phương trình (1) và (2) được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm, ta viết \((1) \Leftrightarrow (2).\) Ví dụ hai phương trình sau là tương đương
\[\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{3}=x\quad \text{và}\quad 3x+2=6x\]
2. Phép biến đổi tương đương
Phép biến đổi không làm thay đổi tập nghiệm của phương trình gọi là phép biến đổi tương đương. Ta có một số phép biến đổi tương đương đã biết sau
- Cộng hoặc trừ cả hai vế với cùng một số hoặc biểu thức.
- Chuyển một số hoặc biểu thức từ vế này sang vế kia và đổi dấu.
- Nhân hoặc chia hai vế của phương trình với cùng một số hoặc biểu thức khác 0.
Chú ý. Các phép biến đổi trên không làm thay đổi điều kiện của phương trình thì mới được phương trình tương đương
3. Phương trình hệ quả
Gọi \(S_1, S_2\) lần lượt là tập nghiệm của hai phương trình (1) và (2). Ta nói phương trình (2) là phương trình hệ quả của phương trình (1) khi \(S_1 \subset S_2.\) Ta viết \((1) \Rightarrow (2).\)
Ví dụ 1. Cho hai phương trình:
\[x+1=2x-1 \quad (1)\] \[\left(x+1\right)^2=\left(2x-1\right)^2\quad (2)\]
Hai phương trình trên có tương đương không? Phương trình này có là phương trình hệ quả của phương trình kia không?
Chú ý. Phép bình phương hai vế một phương trình không phải là phép biến đổi tương đương mà chỉ là phép biến đổi hệ quả.
Ví dụ 2. Cho hai phương trình:
\[\sqrt{x+2}=x-4 \quad (1)\] \[x+2=(x-4)^2 \quad (2)\]
Hai phương trình trên có tương đương không? Phương trình này có là phương trình hệ quả của phương trình kia không?
Khi hai vế của phương trình đều không âm, phương hai vế của phương trình ta được một phương trình tương đương.
Công thức
\[\sqrt{A}=B\Leftrightarrow\begin{cases}B\ge0\\A=B^2\end{cases}\]
BÀI TẬP
Bài 1. Cho phương trình \[(x+1)^2=0 \quad (1) \text{ và } ax^2-2(2a+1)x+a=0 \quad (2)\] Tìm giá trị của $a$ sao cho phương trình (1) tương đương với phương trình (2).
Bài 2. Cho hai phương trình \(x-3=2\) và \((x-3)^2=4\). Phương trình nào là phương trình hệ quả của phương trình nào, vì sao?
Bài 3. Tìm tập nghiệm của hai phương trình $\sqrt{x+9}=x-3$ và $x+9=(x-3)^2$. Hai phương trình trên có tương đương hay không?
Bài 4. Tìm tập nghiệm của hai phương trình $\sqrt{x^4+4}=x^2+2$ và $x^4+4=(x^2+2)^2$. Hai phương trình trên có tương đương hay không?
16:09:4922/07/2021
Các em đã biết thế nào là phương trình một ẩn, giải phương trình là làm gì và khi nào hai phương trình tương đương với nhau qua bài viết trước trên KhoiA.
Bài viết này chúng ta sẽ áp dụng các kiến thức đó để giải một số bài tập liên quan trong bài mở đầu về phương trình.
• Lý thuyết phương trình một ẩn là gì? giải phương trình là làm gì? khi nào phương trình tương đương?
* Bài 1 trang 6 SGK Toán 8 tập 2: Với mỗi phương trình sau, hãy xét xem x = -1 có là nghiệm của nó không:
a) 4x - 1 = 3x - 2
b) x + 1 = 2(x - 3)
c) 2(x + 1) + 3 = 2 - x
> Lời giải:
Thay giá trị x = -1 vào từng vế của phương trình, ta được:
a) Vế trái (VT) = 4x - 1 = 4(-1) - 1 = -5
Vế phải (VP) = 3x - 2 = 3(-1) - 2 = -5
VT = VP nên x = -1 là nghiệm của phương trình.
b) VT = x + 1 = -1 + 1 = 0
VP = 2(x - 3) = 2(-1 - 3) = -8
VT ≠ VP nên x = -1 không là nghiệm của phương trình.
c) VT = 2(x + 1) + 3 = 2( -1 + 1) + 3 = 3
VP = 2 - x = 2 - (-1) = 3
VT = VP nên x = -1 là nghiệm của phương trình.
* Bài 2 trang 6 SGK Toán 8 tập 2: Trong các giá trị t = -1, t = 0 và t = 1, giá trị nào là nghiệm của phương trình: (t + 2)2 = 3t + 4?
> Lời giải:
- Ta lần lượt thay các giá trị của t vào hai vế của phương trình ta được:
+ Với t = -1 :
(t + 2)2 = (-1 + 2)2 = 1
3t + 4 = 3(-1) + 4 = 1
⇒ t = -1 là nghiệm của phương trình (t + 2)2 = 3t + 4.
+ Với t = 0
(t + 2)2 = (0 + 2)2 = 4
3t + 4 = 3.0 + 4 = 4
⇒ t = 0 là nghiệm của phương trình (t + 2)2 = 3t + 4.
+ Với t = 1
(t + 2)2 = (1 + 2)2 = 9
3t + 4 = 3.1 + 4 = 7
⇒ t = 1 không là nghiệm của phương trình (t + 2)2 = 3t + 4.
* Bài 3 trang 6 SGK Toán 8 tập 2: Xét phương trình x + 1 = 1 + x. Ta thấy mọi số đều là nghiệm của nó. Người ta còn nói: Phương trình này nghiệm đúng với mọi x. Hãy cho biết tập nghiệm của phương trình đó.
> Lời giải:
- Vì phương trình nghiệm đúng với mọi x nên tập nghiệm của nó là S = R. (R tập số thực)
* Bài 4 trang 7 SGK Toán 8 tập 2: Nối mỗi phương trình sau với các nghiệm của nó (theo mẫu):
+) Xét phương trình (a): 3(x – 1) = 2x – 1
Tại x = -1 có:
VT = 3(x – 1) = 3(-1 – 1) = -6;
VP = 2x – 1 = 2.(-1) – 1 = -3.
⇒ -6 ≠ -3 nên -1 không phải nghiệm của phương trình (a).
Tại x = 2 có:
VT = 3(x – 1) = 3.(2 – 1) = 3;
VP = 2x – 1 = 2.2 – 1 = 3
⇒ VT = VP = 3 nên 2 là nghiệm của phương trình (a).
Tại x = 3 có:
VT = 3(x – 1) = 3.(3 – 1) = 6;
VP = 2x – 1 = 2.3 – 1 = 5
⇒ 6 ≠ 5 nên 3 không phải nghiệm của phương trình (a).
+) Xét phương trình (b):
Tại x = -1 biểu thức không xác định
⇒ -1 không phải nghiệm của phương trình (b)
Tại x = 2 có:
VT ≠ VP nên 2 không phải nghiệm của phương trình (b).
Tại x = 3 có:
VT = VP nên 3 là nghiệm của phương trình (b).
+) Xét phương trình (c) : x2 – 2x – 3 = 0
Tại x = -1 có: VT = x2 – 2x – 3 = (-1)2 – 2.(-1) – 3 = 0 = VP
⇒ x = -1 là nghiệm của phương trình x2 – 2x – 3 = 0
Tại x = 2 có: x2 – 2x – 3 = 22 – 2.2 – 3 = -3 ≠ 0.
⇒ x = 2 không phải nghiệm của phương trình x2 – 2x – 3 = 0.
Tại x = 3 có: x2 – 2x – 3 = 32 – 2.3 – 3 = 0
⇒ x = 3 là nghiệm của phương trình x2 – 2x – 3 = 0.
Vậy ta có thể nối như sau:
* Bài 5 trang 7 SGK Toán 8 tập 2: Hai phương trình x = 0 và x(x - 1) = 0 có tương đương không? Vì sao?
> Lời giải:
- Phương trình x = 0 có tập nghiệm S1 = {0}.
- Xét phương trình x(x - 1) = 0. Vì một tích bằng 0 khi một trong hai thừa số bằng 0 tức là:
x = 0 hoặc x - 1 = 0
⇔ x = 0 hoặc x = 1
Nên phương trình này có tập nghiệp S2 = {0; 1}.
Ta thấy, S1 ≠ S2 nên hai phương trình KHÔNG tương đương.
Trên đây là hướng dẫn giải bài tập mở đầu về phương trình bậc nhất, với các dạng vận dụng lý thuyết phương trình tương đương, nghiệm của phương trình bậc nhất,...KhoiA hy vọng các em đã hiểu rõ khối kiến thức này.