Tài liệu gồm 287 trang, bao gồm lý thuyết, hướng dẫn giải bài tập trong sách giáo khoa, các dạng bài tập tự luận và hệ thống bài tập trắc nghiệm chuyên đề vectơ trong chương trình SGK Toán 10 Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống (KNTTvCS), có đáp án và lời giải chi tiết. Show
Bài 7. Các khái niệm mở đầu. 1. Lý thuyết. 2. Bài tập sách giáo khoa. 3. Hệ thống bài tập tự luận. Dạng 1. Xác định một vectơ; phương, hướng của vectơ; độ dài của vectơ. + Xác định một vectơ và xác sự cùng phương, cùng hướng của hai vectơ theo nghĩa. + Dựa vào các tình chất hình học của các hình đã cho biết để tính độ dài của một vectơ. Dạng 2. Chứng minh hai vectơ bằng nhau. + Để chứng minh hai vectơ bằng nhau ta chứng minh chúng có cùng độ dài và cùng hướng hoặc dựa vào nhận xét nếu tứ giác ABCD là hình bình hành thì AB = DC hoặc AD = BC. Dạng 3. Xác định điểm thoả đẳng thức vectơ. + Sử dụng: Hai véctơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng cùng độ dài và cùng hướng. 4. Hệ thống bài tập trắc nghiệm. Bài 8. Tổng và hiệu hai vectơ. 1. Lý thuyết. 2. Ví dụ minh họa. 3. Bài tập sách giáo khoa. 4. Hệ thống bài tập. Dạng 1. Các bài toán liên quan đến tổng các vectơ. Dạng 2. Vectơ đối, hiệu của hai vectơ. Dạng 3. Chứng minh đẳng thức vectơ. Dạng 4. Các bài toán xác định điểm thỏa đẳng thức vectơ. Dạng 5. Các bài toán tính độ dài của vectơ. Bài 9. Tích của vectơ với một số. 1. Lý thuyết. 2. Ví dụ minh họa. 3. Bài tập sách giáo khoa. 4. Hệ thống bài tập. Dạng 1. Xác định vectơ ka. Dạng 2. Hai vectơ cùng phương, ba điểm thẳng hàng. Dạng 3. Biểu thị một vectơ theo hai vectơ không cùng phương. Dạng 4. Đẳng thức vectơ chứa tích của vectơ với một số. Bài 10. Vectơ trong mặt phẳng tọa độ. 1. Lý thuyết. 2. Ví dụ minh họa. 3. Bài tập sách giáo khoa. 4. Hệ thống bài tập. Dạng 1. Tìm tọa độ điểm, tọa độ vectơ trên mặt phẳng Oxy. Dạng 2. Xác định tọa độ điểm, vectơ liên quan đến biểu thức dạng u + v, u – v, ku. Dạng 3. Xác định tọa độ các điểm của một hình. Dạng 4. Bài toán liên quan đến sự cùng phương của hai vectơ. Phân tích một vectơ qua hai vectơ không cùng phương. Bài 11. Tích vô hướng của hai vectơ. 1. Lý thuyết. 2. Bài tập sách giáo khoa. 3. Hệ thống bài tập. Dạng 1. Xác định góc giữa hai vectơ. + Sử dụng nghĩa góc giữa hai vectơ. + Sử dụng tính chất của tam giác, hình vuông. Dạng 2. Tích vô hướng của hai vectơ. + Dựa vào nghĩa a.b = |a|.|B|.cos(a;b). + Sử dụng tính chất và các hằng đẳng thức của tích vô hướng của hai vectơ. Dạng 3. Chứng minh các đẳng thức về tích vô hướng hoặc độ dài. + Nếu trong đẳng thức chứa bình phương độ dài của đoạn thẳng thì ta chuyển về vectơ nhờ đẳng thức AB2 = AB2. + Sử dụng các tính chất của tích vô hướng, các quy tắc phép toán vectơ. + Sử dụng hằng đẳng thức vectơ về tích vô hướng. Dạng 4. Điều kiện vuông góc. + Cho a = (x1;y1) và b = (x2;y2). Khi đó a vuông góc b khi và chỉ khi a.b = 0 khi và chỉ khi x1.x2 + y1.y2 = 0. Dạng 5. Các bài toán tìm tập hợp điểm. + Ta sử dụng các kết quả cơ bản sau: Cho A, B là các điểm cố định và M là điểm di động: + + Nếu |AM| = k với k là số thực dương cho trước thì tập hợp các điểm M là đường tròn tâm A, bán kính R = k. + + Nếu MA.MB = 0 thì tập hợp các điểm M là đường tròn đường kính AB. + + Nếu MA.a = 0 với a khác 0 cho trước thì tập hợp các điểm M là đường thẳng đi qua A và vuông góc với giá của vectơ a. Dạng 6. Cực trị. + Sử dụng kiến thức tổng hợp để giải toán. 4. Hệ thống bài tập trắc nghiệm. Dạng 1. Tích vô hướng. Dạng 2. Xác đnnh góc của hai véctơ. Dạng 3. Ứng dụng tích vô hướng chứng minh vuông góc. Dạng 4. Một số bài toán liên quan đến độ dài véctơ.
Ghi chú: Quý thầy, cô và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên TOANMATH.com bằng cách gửi về: Facebook: TOÁN MATH Email: [email protected] Tích của vectơ với một số là kiến thức hình học quan trọng nằm trong chương trình toán lớp 10. Hãy cùng VUIHOC tìm hiểu lý thuyết, làm quen với các dạng bài tập tích của vectơ thường gặp để đạt điểm cao trong các đề kiểm tra sắp tới nhé! 1. Lý thuyết cơ bản về tích vectơ với một số1.1. Định nghĩa tích vectơ với một số Tích của vectơ với một số được định nghĩa như sau: Cho một số thực $k\neq 0$, vectơ $\vec{a}\neq 0$. Tích của vectơ $\vec{a}$ với một số thực $k\neq 0$ là một vectơ, kí hiệu k$\vec{a}$, cùng hướng với vectơ $\vec{a}$ nếu k>0, ngược hướng với vectơ $\vec{a}$ nếu k<0, vecto k$\vec{a}$ có độ dài bằng $\left | k \right |\left | \vec{a} \right |$. Quy ước: $0\vec{a}$=0; k$\vec{0}$=$\vec{0}$ 1.2. Tính chất tích của vectơ với 1 sốTích của vectơ với một số có các tính chất: a, Tính phân phối với phép cộng vectơ: $k(\vec{m}+\vec{n})=k\vec{m}+k\vec{n}$ b, Tính phân phối với phép cộng các số: $(a+b)\vec{x}=a\vec{x}+b\vec{x}$ c, Tính kết hợp: $a(\vec{bc})=(ab)\vec{c}$ d, $1\vec{a}=\vec{a}, (-1)\vec{a}=-\vec{a}$ e, $k\vec{a}=0 \Leftrightarrow k=0$ hoặc $\vec{a}=0$ Áp dụng:
$\vec{IM}+\vec{IN}=2\vec{IE}$
$\vec{IN}+\vec{IC}+\vec{IT}=3\vec{IU}$ 1.3. Điều kiện để hai vectơ cùng phương
1.4. Cách phân tích một vectơ thành hai vectơ không cùng phươngCho vectơ $\vec{a}$ và vectơ $\vec{b}$ là hai vectơ không cùng phương. Khi đó mọi vectơ kđều được biểu diễn một cách duy nhất theo hai vecto $\vec{a},\vec{b}$: $\vec{k}=m\vec{a}+n\vec{b}$, trong đó m, n là các số thực duy nhất. Đăng ký ngay để được các thầy cô ôn tập và xây dựng lộ trình ôn thi THPT môn Toán vững vàng 2. Một số bài tập tích của vectơ với một số2.1. Tính độ dài vectơPhương pháp giải: Sử dụng định nghĩa và các quy tắc cộng, trừ các vectơ để dựng vectơ chứa tích của vectơ với một số, kết hợp với các định lý Pytago, hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính độ dài vectơ. Ví dụ 1: Tam giác ABC đều, cạnh a, lấy M là trung điểm cạnh BC. Dựng các vectơ dưới đây và tính độ dài của chúng: a, $\vec{MA}+\frac{1}{2} \vec{CB}$ b, $\vec{BA}-\frac{1}{2} \vec{BC}$ c, $2\vec{AC}+\frac{11}{2} \vec{AB}$ d, $\frac{5}{2}\vec{MB}+\frac{3}{4}\vec{MA}$ Lời giải: a, Ta có: $\frac{1}{2}\vec{CB}=\vec{CM}$ Theo quy tắc 3 điểm ta được: $\frac{1}{2}\vec{CB}+\vec{MA}=\vec{CM}+\vec{MA}=\vec{CA}$ Vậy: $\left | \frac{1}{2} \vec{CB+\vec{MA}}\right |=\left | \vec{CA} \right |=a$ b, Vì $\vec{BM}=\frac{1}{2}\vec{BC}$ nên theo quy tắc trừ ta có: $\vec{BA}-\frac{1}{2}\vec{BC}=\vec{BA}-\vec{BM}=\vec{MA}$ Theo định lý Pytago ta có: $MA=\sqrt{AB^{2}-BM^{2}}=\sqrt{a^{2}-\left ( \frac{a}{2} \right )^{2}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ Vậy, $\left | \vec{BA}-\frac{1}{2}BC \right |=\vec{MA}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ c, Lấy điểm N là trung điểm của đoạn AB, Q đối xứng C qua A, P là đỉnh của hình bình hành APQN d, Lấy điểm K thuộc đoạn AM sao cho $MK=\frac{3}{4}MA$, điểm H thuộc tia $\vec{BM}$ sao cho $\vec{MH}=\frac{5}{2}\vec{MB}$. Ví dụ 2: Hình vuông ABCD có cạnh a a, Chứng tỏ rằng $\vec{u}=a\vec{MA}-3\vec{MB}+\vec{MC}-2\vec{MD}$ không phụ thuộc vào vị trí của điểm M. b, Tính $\left | \vec{u} \right |$. Lời giải: a, Giả sử O là tâm hình vuông ABCD. Áp dụng quy tắc 3 điểm ta có: $\vec{u}=4\vec{MO}+\vec{OA}-3\vec{MO}+\vec{OB}+\vec{MO}+\vec{OC}-2\vec{MO}+\vec{OD}=4\vec{OA}-3\vec{OB}+\vec{OC}-2\vec{OD}$ Mà: $\vec{OD}=-\vec{OB}, \vec{OC}=-\vec{OA}$ nên $\vec{u}=3\vec{OA}-\vec{OB}$ \=> Vecto $\vec{u}$ không phụ thuộc vị trí của điểm M. b, Lấy A' trên $\vec{OA}$ sao cho OA'=3OA Khi đó: $\vec{OA'}=3\vec{OA}\Rightarrow \vec{u}=\vec{OA'}-\vec{OB}=\vec{BA'}$ Mặt khác: $\vec{BA'}=\sqrt{OB^{2}+(OA'){2}}=\sqrt{OB{2}+9OA^{2}}=a\sqrt{5}\Rightarrow \vec{u}=a\sqrt{5}$ 2.2. Tìm một điểm thỏa mãn một đẳng thức vectơ cho trướcPhương pháp giải:
Ví du 1: Cho tứ giác ABCD. Tìm các điểm M,N,P sao cho: a, $2\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}=\vec{0}$ b, $\vec{NA}+\vec{NB}+\vec{NC}+\vec{ND}=\vec{0}$ c, $3\vec{PA}+\vec{PB}+\vec{PC}+\vec{PD}=\vec{0}$ Lời giải: a, Giả sử điểm I là trung điểm đoạn BC \=> $\vec{MB}+\vec{MC}=2\vec{MI}$ Do đó: $2\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}=\vec{0}$ $2\vec{MA}+2\vec{MI}=\vec{0}\Leftrightarrow \vec{MA}+\vec{MI}=\vec{0}$ \=> Điểm M là trung điểm đoạn thẳng AI b, Giả sử K,H là trung điểm của AB, CD ta có: $\vec{NA}+\vec{NB}+\vec{NC}+\vec{ND}=\vec{0}\Leftrightarrow 2\vec{NK}+2\vec{NH}=\vec{0}$ \=> Điểm N là trung điểm đoạn thẳng KH c, Giả sử G là trọng tâm của tam giác BCD ta có: $\vec{PB}+\vec{PC}+\vec{PD}=3\vec{PG}$ \=> $3\vec{PA}+\vec{PB}+\vec{PC}+\vec{PD}=\vec{0}$ Điểm P là trung điểm đoạn thẳng AG. Ví dụ 2: A, B là hai điểm cho trước, hai số thực $\alpha ,\beta $ thỏa mãn $\alpha+\beta\neq 0$. Chứng tỏ rằng: tồn tại duy nhất một điểm I sao cho $\alpha\vec{IA}+\beta \vec{IB}=\vec{0}$. Từ đó suy ra được $\alpha\vec{MA}+\beta \vec{MB}=(\alpha +\beta )\vec{MI}$ (M là điểm bất kì). Lời giải: PAS VUIHOC – GIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT: ⭐ Xây dựng lộ trình học từ mất gốc đến 27+ ⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo sở thích ⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô ⭐ Học đi học lại đến khi nào hiểu bài thì thôi ⭐ Rèn tips tricks giúp tăng tốc thời gian làm đề ⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập Đăng ký học thử miễn phí ngay!! 2.3. Chứng minh đẳng thức vectơPhương pháp giải: Áp dụng các kiến thức: tính chất vectơ, quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, quy tắc phép trừ, tính chất trung điểm, tính chất trọng tâm tam giác để biến đổi. Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD. Hai điểm I,J là trung điểm của AB, CD. Điểm O là trung điểm của IJ. Chứng minh: 1. $\vec{BD}+\vec{AC}=2\vec{IJ}$ 2. $\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}+\vec{OD}=\vec{0}$ 3. Với điểm M bất kì: $\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}+\vec{MD}=4\vec{MO}$ Lời giải: Ví dụ 2: Tam giác ABC có AB=c, CA=b, BC=a, G là trọng tâm. Giả sử D,E,F lần lượt là hình chiếu của trọng tâm G lên các cạnh AB, AC,BC. Chứng minh: $a^{2}\vec{GD}+b^{2}\vec{GE}+c^{2}\vec{GF}=\vec{0}$ Lời giải: Hy vọng bài viết trên đây đã giúp các em nắm được kiến thức về tích của vectơ với một số. Bên cạnh việc học lý thuyết các em cần luyện tập thêm những dạng bài tập hay gặp để có được bài kiểm tra môn Toán đạt kết quả cao. Ngoài ra các em hãy truy cập Vuihoc.vn và đăng ký khóa học ngay từ hôm nay để học tập tốt hơn nhé! |
