Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) tam giác \(ABC\) có \(A\left( -\,1;-\,2;4 \right),\,\,B\left( -\,4;-\,2;0 \right)\) và \(C\left( 3;-\,2;1 \right).\) Tính số đo của góc \(B.\)
- A \({{45}^{0}}.\)
- B \({{120}^{0}}.\)
- C \({{90}^{0}}.\)
- D \({{60}^{0}}.\)
Đáp án: A
Phương pháp giải:
Tính độ dài các cạnh của tam giác và nhận xét sự đặc biệt của tam giác đó.
Lời giải chi tiết:
Ta có \(AB=5,\,\,AC=5\) và \(BC=5\sqrt{2}\)\(\Rightarrow \,\,A{{B}{2}}+A{{C}{2}}=B{{C}^{2}}\)
Suy ra tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\,\,\Rightarrow \,\,\widehat{ABC}={{45}^{0}}.\)
Chọn A.
Đáp án - Lời giải
Câu 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho các điểm M N P Q , , ,. Tìm tọa độ các vectơ OM ON OP OQ , , ,
.
Lời giải
Từ hình trên ta có: M ( 4; 3), (3; 0), (5; 2), (0; 3) N P Q .
Do đó: OM ( 4;3), ON (3; 0)
OP (5; 2), OQ (0; 3)
Câu 2. Tìm tọa độ của các vectơ trong Hình và biểu diến mỗi vectơ đó qua hai vectơ
i và
j
Lời giải
-
a OA và A ( 5; 3) ; tọa độ vectơ
OA chính là tọa độ điểm A nên
a ( 3; 3)
a 3 i j 3
-
b OB và B (3; 4) ; tọa độ vectơ
OB chính là tọa độ điểm A nên (
b ;4)
b i j 3 4
Blog: Nguyễn Bảo Vương: nbv.edu/
Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương facebook/tracnghiemtoanthpt489/
Lời giải
Trong Hình 3, ta có:
- Vẽ
OA a , ta có: A ( 5; 3) nên ( 5; 3)
a.
- Vẽ
OB b , ta có: B (3; 4) nên (3; 4)
b.
- Vẽ
OC c , ta có: C ( 1; 3) nên ( 1; 3)
c.
- Vẽ
OD d , ta có: D (2; 5)
nên (2; 5)
d
.
Câu 6. Trong mặt phẳng toạ độ
Oxy
, cho điểm
A (1; 2)
và vectơ
u (3; 4)
.
- Biểu diễn vectơ OA
qua vectơ i
và j
.
- Biểu diễn vectơ u
qua vectơ i
và j
.
Lời giải
- Vì điểm A có toạ độ là (1; 2) nên OA (1; 2)
. Do đó:
OA i 1 2 j i 2. j
- Vì u (3; 4)
nên u 3 i ( 4) j 3 i 4 j
.
Câu 7. Trong mặt phẳng Oxy , cho ba điểm M N P , , được biểu diễn như Hình 5.
- Tìm toạ độ của các điểm M N P , ,.
- Hãy biểu thị các vectơ , ,
OM ON OP qua hai vectơ
i và
j.
- Tìm toạ độ các vectơ , , ,
PM PN PO NM.
Lời giải
- Theo Hình 5 ta có toạ độ các điểm M N P , , lần lượt là: M (1;3), (3; 0), ( 2; 1) P N .
- Ta có: 3 ; 2 ; 3 0
OM i j ON i j OP i j.
- Ta có:
ø ù
ø ù
ø ù
ø ù
; (1 3; 3 0) ( 2; 3)
; ( 2 3; 1 0 ) ( 5; 1)
; ( 0 3; 0 0) ( 3; 0)
; (1 ( 2 ); 3 ( 1)) (3; 4 )
M P M p
N P N P
O P O P
M N M N
PM x x y y
PN x x y y
PO x x y y
NM x x y y
Câu 8. Trong mặt phẳng Oxy , cho ba điểm A B C , , được biểu diễn như Hình.
Điện thoại: 0946798489 BÀI TẬP TOÁN 10
Facebook Nguyễn Vương facebook/phong.baovuongTrang 5
- Hãy biễu thị các vecto OA OB OC , ,
qua hai vectơ i
và j
.
- Tìm tọa độ của các vectơ a b c , ,
và các điểm A B C , ,.
Lời giải
- Ta có: OA i 3 , j OB i 3 0 , j OC 2 i j
.
- Từ kết quả trên, suy ra: a OA (1; 3), b OB (3; 0), c OC ( 2; 1)
.
Do đó A (1;3), (3; 0), ( 2; 1) B C .
Câu 9. Tìm tọa độ các vectơ sau:
- 2 7
a i j
- 3
b i j
- 4
c i
- 9
d j
Lời giải
- (2; 7)
a ;
- ( 1; 3)
b
- (4; 0)
c ;
- (0; 9)
d
Câu 10. Cho M (1; 2), ( 3; 4), (5; 0) N P. Tìm toạ độ của các vectơ MN PM NP , ,
.
Lời giải
ø ùø ùø ù
; ( 3 1; 4 2) ( 4; 2)
; (1 5; 2 0) ( 4; 2)
; (5 3; 0 4) (8; 4)
N M N M
M P M P
P N P N
MN x x y y
PM x x y y
NP x x y y
Câu 11. Tìm toạ độ của các vectơ sau:
- 2
a i
- 3
b j ;
- 4
c i j
d)
1
5
2
d i j.
Lời giải
- ( 2; 0)
a
;
- (0; 3)
b
- ( 4;1)
c
;
d)
1
5;
2
d.
Câu 12. Trong mặt phẳng toạ độ
Oxy
, cho
(1; 2), ( 2; 3)
u v
.
Tìm toạ độ của các vectơ , , 2
u v u v u và 3 4
u v.
Lời giải
Ta có: ( 1; 5), (3;1), 2 ( 2; 4)
u v u v u.
Với 3 (3; 6), 4 ( 8; 12)
u v ta có: 3 4 (11; 6)
u v.
Câu 13. Trong mặt phẳng toạ độ
Oxy
, cho
( 1; 2), (3;1), (2; 3)
a b c
.
- Tìm toạ độ của vectơ 2 3
u a b c.
- Tìm toạ độ của vectơ
x sao cho 2
x b a c.
Lời giải
- Ta có: 2 ( 2; 4)
a nên 2 (1; 5)
a b. Mà 3 (6; 9)
c.
Suy ra 2 3 ( 5;14)
u a b c.
Điện thoại: 0946798489 BÀI TẬP TOÁN 10
Facebook Nguyễn Vương facebook/phong.baovuongTrang 7
- Tim tọa độ vectơ
u sao cho 2 3
u a b c
- Tim tọa độ vectơ
x sao cho 2
x b a c
Lời giải
Có: ( 1; 2); (3;1); (2; 3)
a b c
- 2 3 (2 ( 1) 3 3; 2 1 3.( 3))
u a b c hay ( 5;14)
u
- 2 ( 1 2 2; 2 3 2)
x a c b hay ( 5; 3)
x.
BÀI TẬP BỔ SUNG
Câu 20. Viết tọa độ của các vectơ sau:
a)
1
2 3 5 3 2
3
a i j; b i j; c i; d j.
b)
1 3
3 4 3
2 2
a i j; b i j; c i j; d j; e i
Lời giải
a)
####### ø ù ø ù ø ù
1
2; 3 ; ; 5 ; 3; 0 ; 0; 2
3
a b c d
b)
####### ø ù ø ù ø ù
1 3
1; 3 ; ;1 ; 1; ; 0; 4 ; 3; 0
2 3
a b c d e
Câu 21. Viết dưới dạng u xi y j
khi biết tọa độ của vectơ u
là:
a)
####### ø ù ø ù ø ù ø ù
u 2 ; 3 ; u 1 4 ; ; u 2 0 ; ; u 0 ; 1_._
b)
####### ø ù ø ù ø ù ø ù
u 1 3 ; ; u 4 ; 1 ; u 1 0 ; ; u 0 0 ;.
Lời giải
- Ta có:
####### ø ù ø ù ø ù ø ù
u 2; 3 u i j u 2 3 ; 1; 4 u i j u 4 ; 2;0 u i j u 2 0 ; 0; 1 u i j 0
- Ta có:
####### ø ù ø ù ø ù ø ù
u 1;3 u i j u 3 ; 4; 1 u i j u 4 ; 1;0 u i j u 0 ; 0;0 u i j 0 0
.
Câu 22. Cho
####### ø ù ø ù
a 1 ; 2 ; b 0 3 ;
tìm tọa độ của các vectơ sau:
- x a b ; y a b ; z 2 a b. 3
b)
1
3 2 2 4
2
u a b ; v b ; w a b.
Lời giải
a)
####### ø ù ø ù ø ù ø ù
x a b 1 0; 2 3 1;1 , y a b 1 0; 2 3 1; 5 ,
ø ø ù ù ø ùz 2 a b 3 3 3; 2. 2 3 2; 13.
b)
####### ø ù ø ù
1 11
3 2 3; 12 , 2 2; 1 , w 4 4 3;
2 2
u a b u a b a b
Câu 23. Cho
####### ø ù ø ù
1
2 0 1 4 6
2
a ; ; b ; ; c ;.
- Tìm tọa độ của vectơ d 2 a b c. 3 5
- Tìm 2 số m, n sao cho ma b n c. 0
- Biểu diễn vectơ c
theo a,b.
Lời giải
Blog: Nguyễn Bảo Vương: nbv.edu/
Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương facebook/tracnghiemtoanthpt489/
a)
ø ù ø ù
1 63
2 3 5 2 3. 1 5; 2 3. 5. 6 27;
2 2
d a b c
- Ta có:
ø ù
1
2 1 4 0
1 3
0 .2 4 6 0
1
2 6 0 1
2
12
m n m
ma b nc m i i j n i j
n
n
ý ý
þ
þ
- Giả sử:
c xa yb x y R ø ; ù
ta có:
ø ù
4 .2 1
8
1
12 6..
2
x y
x
y x y
ý ý
þ
þ
Vậy c a 8 12 b
Dạng 2. Tìm điều kiện để hai vectơ bằng nhau, ba điểm thẳng hàng
Phương pháp: Với
ø ù ø ù
1 1 2 2
; ; ;
a x y b x y , ta có
1 2
1 2
ý
þ
x x
a b
y y
.
A B C , , thẳng hàng Tồn tại k sao cho
AB k AC.
BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA, SÁCH BÀI TẬP
Câu 24. Cho ba điểm A ( 1; 3), (2; 3) B và C (3; 5). Chứng minh ba điểm A B C , , thẳng hàng.
Lời giải
Ta có: AB (3; 6), BC (1; 2)
. Suy ra AB BC 3
. Vậy ba điểm A B C , , thẳng hàng.
Câu 25. Cho tam giác ABC có A ( 2;1), (2; 5), (5; 2) B C. Tìm toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB và
trọng tâm G của tam giác ABC.
Lời giải
Do
ø ù
;
M M
M x y là trung điểm đoạn thẳng AB
nên
2 2 1 5
0; 3.
2 2
M M
x y
Vậy M (0; 3).
Do ø ; ù
G G
G x y là trọng tâm tam giác ABC nên
( 2) 2 5 1 5 2
;
3 3
G G
x y
. Vậy
5 8
;
3 3
G
.
Câu 26. Tìm các số thực a và b sao cho mối cặp vectơ sau bằng nhau:
- (2 1; 3)
u a và (3; 4 1)
v b
- ( ; 2 3 )
x a b a b và (2 3; 4 )
y a b.
Lời giải
- (2 1; 3) (3; 4 1)
u a v b
2 1 3 2
3 4 1 1
a a
b b
ý ý
þ þ
Vậy a 2 và b 1 thì (2 1; 3) (3; 4 1)
u a v b
- ( ; 2 3 ) (2 3; 4 )
x a b a b y a b
2 3
2 3 4
3 2
2 3 ( 3) 4 ( 3) 1
a b a
a b b
b a b
a a a a
ý
þ
ý ý
þ þ
Vậy a 1 và b 2 thì ( ; 2 3 ) (2 3; 4 )
x a b a b y a b.
Câu 27. Chứng minh rằng:
- (4; 6)
a và ( 2; 3)
b là hai vectơ ngược hướng.
Blog: Nguyễn Bảo Vương: nbv.edu/
Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương facebook/tracnghiemtoanthpt489/
- (2 ; 2 )
x a b b và (3 2 ; 3 )
y b b a.
Lời giải
- a 1, b 1.
b)
7
, 2
3
a b.
c)
3 9
,
5 5
a b.
BÀI TẬP BỔ SUNG
Câu 32. Cho ba điểm A ø ù1;1, B ø ù1; 3 , C ø ù2; 0.
- Chứng minh ba điểm A B C , , thẳng hàng.
- Tìm các tỉ số mà điểm A chia đoạn BC , điểm B chia đoạn AC , điểm C chia đoạn AB.
Lời giải:
- Từ tọa độ các điểm ta có:
ø ùø ù
2; 2
3; 3
AB
BC
ý
þ
3
.
2
BC AB
nên 3 điểm A B ,
và C thẳng hàng.
- Ta có:
ø ùø ù
2; 2
1; 1
AB
AC
ý
þ
AB 2. AC
A chia đoạn BC theo tỉ số k 2.
ø ùø ù
2; 2
3; 3
BA
AC
ý
þ
2
.
3
BA BC
B chia đoạn AC theo tỉ số
2
3
k .
ø ùø ù
1;
3; 3
CA
CB
ý
þ
1
.
3
CA CB
C chia đoạn AB theo tỉ số
1
3
k .
Dạng 3. Tìm toạ độ của một điểm M thoả mãn điều kiện cho trước
Phương pháp
Ta thường tìm những hệ thức về vectơ liên hệ giữa M với các điểm đã biết. Từ đó lập hệ phương
trình mà hai ẩn là tọa độ của M. Giải hệ phương trình ta tìm được tọa độ của M.
-Cho hai điểm ø ù
;
A A
A x y
và ø ù
;
B B
B x y
. Nếu ø ù
;
M M
M x y là trung điểm đoạn thẳng AB thì
;.
2 2
A B A B
M M
x x y y
x y
-Cho tam giác ABC có ø ù ø ù ø ù
; , ; , ;
A A B B C C
A x y B x y C x y
. Nếu ø ù
;
G G
G x y là trọng tâm tam giác
ABC thì
;.
3 3
A B C A B C
G G
x x x y y y
x y
BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA, SÁCH BÀI TẬP
Câu 33. Cho bốn điểm A (3; 5), (4; 0), (0; 3), (2; 2) B C D. Trong các điểm đã cho, hãy tìm điểm:
- Thuộc trục hoành;
- Thuộc trục tung;
- Thuộc đường phân giác của góc phần tư thứ nhất
Lời giải
- Điểm B (4; 0) thuộc trục hoành.
- Điểm C (0; 3) thuộc trục tung.
- Điểm D (2; 2) thuộc đường phân giác của góc phần tư thứ nhất.
Câu 34. Cho điểm
ø ù
0 0
M x y ;. Tìm tọa độ:
- Điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên trục
Ox ;
Điện thoại: 0946798489 BÀI TẬP TOÁN 10
Facebook Nguyễn Vương facebook/phong.baovuongTrang 11
- Điểm M ' đối xứng với M qua trục Ox ;
- Điểm K là hình chiếu vuông góc của điểm M trên trục Oy ;
- Điểm M " đối xứng với M qua trục Oy.
- Điểm C đối xứng với điểm M qua gốc tọa độ.
Lời giải
- ø ù
0
H x ; 0
- M ' đối xứng với M qua trục Ox H là trung điểm của
MM
' ' 0 0 ' 0
' ' 0 ' 0
2 2
2 2.
M H M M M
M H M M M
x x x x x x x x
y y y y y y y
ý ý ý
þ þ þ
Vậy
ø ù
0 0
M x y ' ;.
- ø ù
0
K y 0;
- M" đối xứng với M
qua trục Oy K
là trung điểm của MM
"
" " 0 " 0
" " 0 0 " 0
2 2.
2 2.
M K M M M
M K M M M
x x x x x x x
y y y y y y y y
ý ý ý
þ þ þ
Vậy M"
ø ù
0 0
x y ;.
- C đối xứng với M qua gốc tọa độ O nên O là trung điểm của CM.
0 0
0 0
2 2.
2 2.
C O M C C
C O M C C
x x x x x x x
y y y y y y y
ý ý ý
þ þ
þ
Vậy
ø ù
0 0
C x y ;.
Câu 35. Cho tam giác DEF có toạ độ các đỉnh là D (2; 2), (6; 2) E và F (2; 6).
- Tìm tọa độ trung điểm M của cạnh EF.
- Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác DEF.
Lời giải
- Ta có:
6 2 2 6
4, 4
2 2 2 2
E F E F
M M
x x y y
x y.
Vậy toạ độ trung điểm M của cạnh EF là M (4; 4).
- Ta có:
2 6 2 10 2 2 6 10
,
3 3 3 3 3 3
D E F D E F
G G
x x x y y y
x y.
Vậy toạ độ trọng tâm G của tam giác DEF là
10 10
;
3 3
G.
Điện thoại: 0946798489 BÀI TẬP TOÁN 10
Facebook Nguyễn Vương facebook/phong.baovuongTrang 13
- Tìm tọa độ giao điểm hai đường chéo của hình bình hành.
- Giải tam giác ABC.
Lời giải
- Xét D x y ( ; ). Ta có: (1;3); (5 ; 5 )
AB DC x y
Để ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi
AB DC
5 1 4
5 3 2
x x
y y
ý ý
þ þ
Vậy D (4; 2)
- Gọi M là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD.
2 5 7
2 2 2
2 5 7
2 2 2
A C
M M M
A C
M M M
x x
x x x
y y
y y y
ý ý ý
þ þ þ
Vậy
7 7
;
2 2
M
- Ta có: (3;3), (2; 0)
AC BC
Suy ra:
2 2
| | 1 3 10
AB AB
2 2
2 2
| | 3 3 3 2
| | 2 0 2
13 3 2 5
ˆ
cos cos( , ) 2634
5
10 3 2
( 1) 2 ( 3) 0 10
ˆ
cos cos( , ) 10826
10
10 2
AC AC
BC BC
AB AC
A AB AC A
AB AC
BA BC
B BA BC B
BA BC
( 3)( 2 ) ( 3) 0 2
ˆ
cos cos( , ) 45
2
3 2 2
CA CB
C CA CB C
CA CB
Câu 42. Cho tam giác ABC có các điểm M (2; 2), (3; 4), (5; 3) N P lần lượt là trung điểm của các cạnh
AB BC , và CA.
- Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.
- Chứng minh rằng trọng tâm của tam giác ABC và MNP trùng nhau.
- Giải tam giác ABC
Lời giải
a.
####### ø ù
(3;1) 3 ; 4
B B
MP BN x y
Blog: Nguyễn Bảo Vương: nbv.edu/
Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương facebook/tracnghiemtoanthpt489/
Có M là trung điểm cạnh AB P , là trung điểm cạnh AC nên MP là đường trung bình của tam
giác ABC
1
// ; (hbh)
2
3 3 0
( 0; 3)
1 4 3
B B
B B
MP BC MP BC BN MPNB
MP BN
x x
B
y y
ý ý
þ þ
Ta có: N là trung điểm của BC nên
2 2 0
2 2 3
ý ý
þ þ
C N B C
C N B C
x x x x
y y y y
6
(6; 5)
5
C
C
x
C
y
ý
þ
Ta có: M là trung điểm của AB nên
2 2 0
2 2 3
ý ý
þ þ
A M B A
A M B A
x x x x
y y y y
4
( 4; 1)
1
A
A
x
A
y
ý
þ
Vậy A (4;1), (0; 3), (6; 5) B C
- Gọi G là trọng tâm tam giác ABC , ta có:
4 0 6
10
10
3 3
; 3 3
3 1 3 5
3
3 3
A B C
G G
G
A B C
G G G
x x x
x x
x
G
y y y
y y y
ý ý ý
þ
þ þ
Gọi G' là trọng tâm tam giác MNP, ta có:
2 3 5
10
10
3 3
3 ; 3
2 4 3 3
3
3 3
M N P
G G
G
M N P
G G G
x x x
x x
x
G
y y y
y y y
ý ý ý
þ
þ þ
Từ (1) và (2)
G G
Vậy trọng tâm tam giác ABC trùng với trọng tâm tam giác MNP.
- Ta có: ( 4; 2); (2; 4); (6; 2)
AB AC BC
Suy ra:
2 2
| | ( 4) 2 2 5
AB AB
2 2
2 2
| | 2 4 2 5
| | 6 2 2 10
( 4 ) 2 2.
ˆ
cos cos( , ) 0 90
2 52 5
AC AC
BC BC
AB AC
A AB AC A
AB AC
Xét tam giác ABC có AB AC ( 2 5) và
ˆ
90
A
Tam giác ABC vuông cân tại
ˆ ˆ
45
A B C
Câu 43. Cho hai điểm
A (1; 3), (4; 2) B
.
- Tìm tọa độ điểm D nằm trên trục Ox sao cho DA DB
- Tính chu vi tam giác OAB.
- Chứng minh rằng OA vuông góc với AB và từ đó tính diện tích tam giác OAB.
Lời giải
Blog: Nguyễn Bảo Vương: nbv.edu/
Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương facebook/tracnghiemtoanthpt489/
Câu 45. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho ba điểm A (2; 3), ( 1;1), (3; 1) B C .
- Tìm toạ độ điểm M sao cho
AM BC.
- Tìm tọa độ trung điểm N của đoạn thẳng AC. Chứng minh
BN NM.
Lời giải
- Giả sử M x y ( ; ). Ta có: ( 2; 3), (4; 2)
AM x y BC.
2 4 6
3 2 1.
ý ý
þ þ
x x
AM BC
y y
Vậy M (6;1)
.
- Giả sử N x y ( ; ). Ta có: ( 2; 3), (3 ; 1 )
AN x y NC x y.
Vì N là trung điểm của đoạn thẳng AC nên ta có:
Ta có:
7 7
; 0 , ; 0
2 2
BN NM. Suy ra
BN NM.
Câu 46. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho tam giác ABC. Các điểm M (1; 2) , N (4; 1) và P (6; 2) lần
lượt là trung điểm của các cạnh BC CA AB , ,
. Tìm toạ độ của các điểm A B C , ,
.
Lời giải
Vì M N P , , lần lượt là trung điểm của BC CA AB , , nên tứ giác ANMP là hình bình hành, suy ra
AN PM. Giả sử
ø ù
;
A A
A x y.
Ta có:
ø ù
4 ; 1 ; ( 5; 4)
A A
AN x y PM.
Suy ra:
4 5 9
1 4 3.
ý ý
þ þ
A A
A A
x x
y y
Vậy A (9; 3).
Tương tự, từ ,
BP MN CM NP , ta tính được B (3;1), ( 1; 5) C
.
Câu 47. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy
, cho ba điểm A (1; 2), (3; 2), (7; 4) B C
.
- Tìm toạ độ của các vectơ AB BC ,
. So sánh các khoảng cách từ B tới A và C.
- Ba điềm A B C , , có thẳng hàng hay không?
- Tìm điểm D x y ( ; ) đề ABCD là một hình thoi.
Lời giải
- Ta có AB (3 1; 2 ( 2)) (2; 4), BC (7 3; 4 2) (4; 2)
.
Các khoảng cách từ B tới A và C lần lượt là:
2 2 2 2
AB AB | | 2 4 2 5; BC BC | | 4 2 2 5.
Do đó các khoảng cách này bằng nhau.
- Hai vectơ AB (2; 4), BC (4; 2)
không củng phương (vì
2 4
4 2
). Do đó các điểm A B C , ,
không cùng nằm trên một đường thẳng. Vậy chúng không thẳng hàng.
- Các điểm A B C , , không thẳng hàng và BA BC nên ABCD là một hình thoi khi và chỉ khi
AD BC
.
Do AD x ( 1; y 2), BC (4; 2)
nên
1 4 5
2 2 0.
x x
AD BC
y y
ý ý
þ þ
Vậy điểm cần tìm là D (5; 0).
Câu 48. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các vectơ a 3 i 2 j b , (4; 1)
và các điểm
M ( 3; 6), (3; 3) N .
- Tìm mối liên hệ giữra các vectơ MN
và 2 a b
.
- Các điểm O, M, N có thẳng hàng hay không?
- Tìm điểm P x y ( ; ) để OMNP là một hình bình hành.
Lời giải
Điện thoại: 0946798489 BÀI TẬP TOÁN 10
Facebook Nguyễn Vương facebook/phong.baovuongTrang 17
- Ta có: b (4; 1)
và a 3 i 2 j a (3; 2)
2 a b (2 4; 2.( 2) ( 1)) (2; 3)
Lại có: M ( 3; 6), (3; 3) N
MN (3 ( 3); 3 6) (6; 9)
Dễ thấy: (6; 9) 3.(2; 3) MN 3(2 a b )
- Ta có: OM ( 3; 6)
( do M ( 3; 6)) và ON (3; 3)
(do N (3; 3)).
Hai vectơ này không cùng phương (vì
3 6
3 3
).
Do đó các điểm O M N , ,
không cùng nằm trên một đường thẳng.
Vậy chúng không thẳng hàng.
- Các điểm O M N , , không thẳng hàng nên OMNP là một hình hành khi và chỉ khi OM PN
.
Do OM ( 3; 6), PN (3 x ; 3 y )
nên
3 3 6
6 3 9
x x
OM PN
y y
ý ý
þ þ
Vậy điểm cần tìm là P (6; 9).
Câu 49. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho các điểm A (1; 3), (2; 4), ( 3; 2) B C .
- Hãy giải thích vì sao các điểm A B C , , không thẳng hàng.
- Tìm tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB.
- Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
- Tìm điểm D x y ( ; )
để O (0; 0)
là trọng tâm của tam giác ABD
.
Lời giải
a)
Ta có:
AB (2 1; 4 3) (1;1), AC ( 3 1; 2 3) ( 4; 1)
Hai vectơ này không cùng phương (vì
1 1
4 1
).
Do đó các điểm A B C , , không cùng nằm trên một đường thẳng.
Vậy chúng không thẳng hàng.
- Trung điểm M của đoạn thẳng AB có tọa độ là
1 2 3 4 3 7
; ;
2 2 2 2
- Trọng tâm
G của tam giác
ABC có tọa độ là
1 2 ( 3) 3 4 2
; (0; 3)
3 3
- Để O (0; 0) là trọng tâm của tam giác ABD thì
(0; 0) ;
3 3
A B D A B D
x x x y y y
1 2 3 4
(0; 0) ;
3 3
x y
(0; 0) (1 2 x ; 3 4 y )
(0; 0) ( x 3; y 7)
Điện thoại: 0946798489 BÀI TẬP TOÁN 10
Facebook Nguyễn Vương facebook/phong.baovuongTrang 19
Nhận xét
Một cách khái quát, với hai điểm
ø ù ø ù
1 2 1 2
A a a B b b ; , ; thì điểm P thoả mãn ( 1)
PA k PB k có
toạ độ
1 1 2 2
;
1 1
a kb a kb
k k
.
Câu 53. Trong mặt phẳng toạ độ
Oxy
cho ba điểm
A (2; 1), (1; 4) B
và
C ( 2; 3)
.
- Chứng minh rằng A B C , , là ba đỉnh của một tam giác.
- Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC.
Lời giải
- Từ giả thiết suy ra ( 1;5), ( 4; 4)
AB AC. Do
1 5
4 4
nên các vectơ
AB và
AC không
cùng phương. Suy ra A B C , , là ba đỉnh của một tam giác.
- Gọi G x y ( ; ) là trọng tâm của tam giác ABC. Khi đó
2 1 ( 2) 1
3 3
( 1) 4 3
2
3
ý
þ
x
y
Suy ra
1
; 2
3
G.
Câu 54. Trong mặt phẳng toạ độ
Oxy
cho hai điểm
A B ,
thoả mãn
2 3
OA i j
,
3 2
OB i j
.
- Chứng minh rằng O A B , , không thằng hàng.
- Tìm toạ độ của điểm C sao cho tứ giác ABCO là hình bình hành.
- Tìm toạ độ của điểm D thuộc trục hoành sao cho DA DB .
Lời giải
- Từ giả thiết suy ra (2; 3)
OA và (3; 2)
OB. Vì
2 3
3 2
nên hai vectơ
OA và
OB không
cùng phương, hay O A B , , không thẳng hàng.
- Từ giả thiết suy ra (1;5)
AB. Giả sử tìm được điểm C sao cho tứ giác ABCO là hình bình
hành. Khi đó do
OC AB nên (1; 5)
OC. Suy ra C (1; 5).
- Xét điểm D d ( ; 0) Ox. Khi đó
2 2
DA (2 d ) 9, DB (3 d ) 4.
Suy ra
2 2 2 2
DA DB DA DB (2 d ) 9 (3 d ) 4 d 0. Vậy điểm D cần tìm trùng
với gốc toạ độ O (0; 0).
Câu 55. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A (1; 2) và B (3; 4). Tìm toạ độ của điểm C thuộc
trục tung sao cho vectơ
CA CB có độ dài ngắn nhất.
Lời giải
Xét điểm C c Oy (0; ). Khi đó (1; 2 )
CA c và (3; 4 )
CB c.
Do đó (4; 2 2 )
CA CB c , suy ra
2
| | 16 4(1 )
CA CB c.
Do
2
(1 c ) 0 c
, đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi c 1 , nên | | 4
CA CB , đẳng thức xảy ra
khi và chỉ khi c 1. Vậy với điểm C (0; 1) Oy thì vectơ
CA CB có độ dài ngắn nhất.
Nhận xét
- Với mỗi điểm C đều có 2
CA CB CI , với I là trung điểm AB. Suy ra vectơ
CA CB có độ
dài ngắn nhất khi và chỉ khi vectơ
CI có độ dài ngắn nhất. Từ đó, do C thuộc trục tung, nên C là
hình chiếu vuông góc của I trên trục tung.
- Khái quát, ta có bài toán tìm được điểm C thuộc đường thẳng sao cho vectơ ñ ò
CA CB có
độ dài ngắn nhất, với ñ ò, là hai hằng số cho trước.
Câu 56. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm M (4; 0), (5; 2) N và P (2; 3). Tìm toạ độ các đỉnh của