Chuyên đề giới hạn có đáp án và lời giải chi tiết – Đặng Việt Đông gồm 136 trang, cuốn chuyên đề là tài liệu hữu ích cho kỳ thi THPT Quốc gia năm học 2017 – 2018 khi trong đề thi Toán năm nay có bổ sung kiến thức chương trình Toán 11. Phần I – Đề bài Giới hạn dãy số + Dạng 1. Tính giới hạn bằng định nghĩa + Dạng 2. Tìm giới hạn của dãy số dựa vào các định lý và các giới hạn cơ bản Giới hạn hàm số + Dạng 1. Tính giới hạn dạng bằng định nghĩa hoặc tại một điểm + Dạng 2. Tính giới hạn dạng vô định 0/0 [ads] + Dạng 3. Tính giới hạn dạng vô định ∞/∞ + Dạng 4. Giới hạn mộ bên và các dạng vô định khác + Dạng 5 . Giới hạn lượng giác Hàm số liên tục + Dạng 1. Tính liên tục của hàm số tại một điểm + Dạng 2. Tính liên tục của hàm số trên tập xác định + Dạng 3. Áp dụng tính liên tục xét số nghiệm của phương trình Phần II – Hướng dẫn giải
Ghi chú: Quý thầy, cô và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên TOANMATH.com bằng cách gửi về: Facebook: TOÁN MATH Email: [email protected] BÀI VIẾT LIÊN QUANTrong môn Toán ở trường THPT, các bài toán về dãy số và giới hạn dãy số là một phần quan trọng của giải tích toán học. Dãy số ngày càng được quan tâm đúng mức và tỏ ra có sức hấp dẫn mạnh mẽ nhờ vẽ đẹp và tính độc đáo của phương pháp và kỹ thuật giải chúng cũng như yêu cầu cao về tư duy cho người giải. Các bài toán dãy số không những rèn luyện tư duy sáng tạo, trí thông minh mà còn đem lại say mê và yêu thích môn Toán của người học. Trong các kì thi học sinh giỏi cấp Tỉnh, cấp Quốc gia, Quốc tế các bài toán liên quan đến dãy số đặc biệt là giới hạn dãy số được đề cập rất nhiều và có giá trị phân hóa chất lượng bài thi cao. Trong bài viết này tác giả trình bày một sô phương pháp tìm giới hạn dãy số: phương pháp sử dụng định nghĩa, tính chất của các dãy số đặc biệt, định lí kẹp, phương pháp sử dụng tính đơn điệu và bị chặn, phương pháp dùng sai phân, phương pháp sử dụng tính chất của hàm số, phương trình, phương pháp lượng giác hóa..ột điều quan trọng là sử dụng các kỹ thuật biến đổi linh hoạt, phù hợp, hiểu được các ý tưởng trong từng phương pháp để giải quyết bài toán với hiệu quả tốt nhất. Các ví dụ và bài tập được chọn lọc là các đề thi HSG cấp tỉnh, cấp quốc gia, quốc tế, các bài trên các tạp chí nỗi tiếng. Bài viết được trình bày theo hệ thống:
N ỘI DUNG
Định nghĩa: lim un L 0, N N *: n N un L Sử dụng: - Tiêu chuẩn Cô-si: Dãy {xn} có giới hạn hữu hạn khi và chỉ khi với mọi > 0, tồn tại số tự nhiên N sao cho với mọi m, n N ta có |xm – xn| < .
Ý tưởng chính: Đánh giá un L q un 1 L q ; 1 và un 1 un q un un 1 ; q 1 Phương pháp này thường được dùng khi ta thấy dãy số không tăng, không giảm. 2. Các ví d ụ: Bài 1 : (Đề thi HSG Quảng Bình) Cho dãy số 1 1 3 u và 1 1 2 1 n 2 n u u. Tìm giới hạn dãy số? HD : Chứng minh: 1 un 0 Giải phương trình 2 1 1 1 3 2 x x x a Xét 2213 1 1 2 2 2 2 n n n n n u a u a u a u a u a Suy ra lim un 1 3 Bài 2 : (Đề dự bị VMO 2008) Cho số thực a và dãy số thực ( ) un xác định bởi: u 1 a và u n+1 = ln(3+cos u n + sin u n) – 2008 với mọi n = 1, 2, 3, ... Chứng minh rằng dãy số ( u n )có giới hạn hữu hạn. HD : Đặt f(x) = ln(3+sinx+cosx) – 2008 thì cos sin '( ) 3 sin cos x x f x x x Từ đó, sử dụng đánh giá | cos x sin | x 2, | sin x cos | x 2 ta suy ra . 23 2 |)('| qxf Áp dụng định lý Lagrange với m > n N, ta có |um – un| = |f(um-1) – f(un-1)| q|um-1-un-1| ... qn-1|um-n+1 – u 1 |. Do dãy ( u n) bị chặn và q < 1 nên dãy (xn) thoả mãn điều kiện Cauchy nên có giới hạn hữu hạn. Bài 1 : Cho dãy số 1 1 1 ... n 1 2 ( 1) u n n .Tìm giới hạn dãy số? HD : 1 1 11 ... 1111 n 1 2 2 3 1 1 u n n n Suy ra lim un 1 Bài 2 : Cho dãy số 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 5 .... 2 1 2 4 6 .... 2 n n u n .Tìm giới hạn dãy số? HD : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (2 1)(4 1) 1 2 3 .... 26 (4 1) 1 2 4 6 .... 2 ( 1)(2 1) 2( 1) 4. 6 n n n n n n u n n n n n Suy ra lim un 1. Bài 3 : Cho dãy số u 1 5 và 1 5 4 2 n n n u u u . Tìm giới hạn dãy số? HD : Chứng minh: un 4 Ta có : 1 1 4 1 6 4 1 2 4 4 n n n n n u u u u u Xét 1 1 5 4 n n 4 5 n 6 n 1 x u u Suy ra lim un 4 Bài 4 : Cho dãy số 1 2 3 u và 1 2(2 1) 1 n n n u u n u . Tìm giới hạn dãy số 1 n n n i x u ?HD : Đặt 1 (2 1)(2 1) 1 1 n n n 2 n 2 1 2 1 n n v v u u n n Suy ra lim xn 1 Bài 5 : Cho dãy số u 1 1 và un 1 un 2 an (0 a 1). Tìm giới hạn dãy số? HD : Chứng minh: u 12 1; u 22 1 a u ; 32 1 a a 2 ;...; un 2 1 a a 2 ... an 1 Suy ra : 1 1 n n a u a Vậy 1 lim n 1 u a ####### Bài 6 : Cho dãy số u 1 2011 và un 1 n u 2 n 1 un . Tìm giới hạn dãy số? HD : Ta có: 2 12 1 1 0 n n n n u u u n Mặt khác: 212221 ( 1)( 1) ( 1)( 1)( 2) 1 1 ... 2011 n n ( 1) n 2 2 n n n n n n n n u u u u n n n n n Vậy 2011 lim n 2 u 3. Bài t ập tự giải : Bài 1 : Cho dãy số 1 1 1 ... n 1.2 2.3 ( 1)( 2) u n n n . Tìm giới hạn dãy số? Bài 2 : Cho dãy số 3 3 3 3 3 3 2 3 1 3 5 .... 2 1 2 4 6 .... 2 n n u n .Tìm giới hạn dãy số? Bài 3 : Cho dãy số 112112112112 n 2 3 4 u n . Tìm giới hạn dãy số? Bài 4 : Cho dãy số u 1 1 và un 1 nunn an (0 a 1). Tìm giới hạn dãy số? III ) Phương pháp sử d ụng định lí k ẹp 1. Ki ến thức sử dụng: - Định lí kẹp *: lim lim lim vn un w nn N vn wn a un a Ý tưởng chính: Đánh giá dãy số qua hai dãy số tính được giới hạn 2. Các ví d ụ: Bài 1 : Cho dãy số 1 2 3 2 1 2 3... n n n n u n .Tìm giới hạn dãy số? HD : 1 2 3 2 2 1 2 3.... 1 0 0 n n n n n n nn u n n n Suy ra lim un 0 Bài 2 : Cho dãy số 1.3.5...(2 1) n 2.4.6...(2 ) n u n .Tìm giới hạn dãy số? HD : 1.3.5...(2 1) 1.3.5...(2 1) 1 0 0 n 2.4.6...(2 ) 1 3 5 ... (2 1)(2 1) 2 1 n n u n n n n Suy ra lim un 0. Bài 3 : Cho dãy số un nn. Tìm giới hạn dãy số? HD : Ta có: 1 un nn n 1.1... n n 1 1 ... 1 n n n 2 2 n 1 2 1 n n n Suy ra lim un 1 Bài 4 : Cho dãy số 2 2 ... 2 n 1 2 u n n n n n n n . Tìm giới hạn dãy số? HD : Ta có: 2 2 . 2 n. 2 1 1 2 n 2 1 1 n n u n n n u n n n n n n n Suy ra lim un 20082008 Bài 2 : ( Đề thi HSG Quốc gia năm 2012) Cho dãy số 1 1 3 2 ( 2) n 3 n x n x x n .Tìm giới hạn dãy số? HD : Chứng minh: 1 2 ( 3) 1 n n x n n . Khi đó Xét hiệu 1 1 1 1 2 2[( 2) ( 1) ] ( 2) 3 3 n n n n n n n n x x x x x n n . Suy ra (xn) là dãy số giảm kể từ số hạng thứ hai. Ngoài ra, theo (1), nó bị chặn dưới bởi 1. Theo tính chất của dãy đơn điệu, tồn tại giới hạn hữu hạn lim n xn a. Chuyển đẳng thức 1 2 ( 2) 3 n n n x x n sang giới hạn, ta được 1 ( 2) 1 3 a a a. Vậy lim n xn 1. Bài 3 : Cho dãy số u 1 2012 và 3 12 3 3 1 n n n n u u u u . Tìm giới hạn dãy số? HD : Ta có: 3 12 ( 1) 1 0 3 1 n n n u u u Xét hiệu 3 12 2 2 0 3 1 n n n n n u u u u u . Do đó dãy số giảm và bị chặn dưới nên tồn tại giới hạn. Suy ra lim un 1 Bài 4 : Cho dãy số u 1 1 và un 1 un 2 un 1 u 2 n un 1. Tìm giới hạn dãy số? HD : Ta có: 1 2 2 2 0 1 1 n n n n n n u u u u u u Mặt khác: 2 2 2 1 2 1 1 3 1 3 n n n n n 2 4 n 2 4 u u u u u u 2 2 11332 n 2 n 2 2 2 u u Do đó dãy số giảm và bị chặn dưới nên tồn tại giới hạn. Suy ra lim un 0 Bài 5 : Cho dãy số 0 un 1 và 1 (1 ) 1 n n 4 u u. Tìm giới hạn dãy số? HD : Ta có: 1 (1 ) 1 (1 ) 1 n n 4 n n n n u u u u u u Do đó dãy số giảm và bị chặn nên tồn tại giới hạn. Suy ra lim 1 n 2 u Bài 6: Cho dãy số {xn} xác định bởi u 1 2 và 1 2 n u un . Chứng minh rằng dãy {un} có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. HD : Đặt xf )2()( xn thì dãy số có dạng x 0 2 và xn+1 = f(xn). Ta thấy f(x) là hàm số tăng và 0 2 1 22 xx. Suy ra {xn} là dãy số tăng. Chứng minh bằng quy nạp rằng xn < 2. Vậy dãy {xn} tăng và bị chặn trên bởi 2 nên dãy có giới hạn hữu hạn. Gọi a là giới hạn đó thì chuyển đẳng thức n x xn 1 2 sang giới hạn, ta được a a 2. Ngoài ra ta cũng có a 2. Xét phương trình 2 ln ln( 2 ) 2 x x x x x . Suy ra lim un 2 3. Bài t ập tự giải : Bài 1 : Cho dãy số u 1 2012 và 1 1 2012 n 2 n n u u u . Tìm giới hạn dãy số? Bài 2 : Cho dãy số u 1 2012 và 2 1 6 2 1 n n n u u u . Tìm giới hạn dãy số? Cho dãy số 2 ! n un n. Tìm giới hạn dãy số? Bài 3 : Cho dãy số u 1 2012 và ####### 1 2 ln 2 1 1 2 ln 2 1 n n u n n u u u . Tìm giới hạn dãy số? Bài 4 : Cho dãy số 1 1 1 n un n . Tìm giới hạn dãy số? Bài 5 : Cho dãy số u b 1 và un 1 un 2 (1 2 ) a un a 2. Xác định a, b để dãy số có giới hạn và tìm giới hạn dãy số? Bài 6 : Cho dãy số 1 2 11 1 2 2 2 ... 2 1 2 n n n n u n . Tìm giới hạn dãy số?
n n k k k k k k n k k x x x x x x Ý tưởng chính: Biểu diễn tổng các số hạng qua sai phân 2. Các ví d ụ: Bài 1 : 1 2 2 n+1 n n u = 2008 u = u - 4013u + 2007 (n 1) a) Chứng minh: un n + 2007.
1 1 1 x = + + ... + u - 2006 u - 2006 u - 2006 Tìm lim xn 2009 120092009 1 74111 4 7 ( 4) 4 4 7 n n n n n n n n u u u u u u u u Suy ra: 2009 1111 1 1 1 1 1 7 4 4 4 n i ui u un un Chứng minh 1 1 lim lim 0 n n 4 u u Vậy 2009 1 1 lim 7 n i ui =Bài 4 : Cho dãy số ( un ) xác định như sau: 1 2 1 1 2 4 , , 1 2 n n n n u u u u u n N n Tính 2 1 1 lim n i ui H D : Ta có: 2 1 1 1 1 ui ui ui Suy ra: 2 2 111 1 1 1 1 1 6 n i ui u u un un Chứng minh 1 lim n lim 0 n u u Vậy 2 1 1 lim n i ui =lim xn 1 3. Bài t ập tự giải : Bài 1 : Cho dãy số: 1 2 1 3 1 2 ( 1) 2 n n n u u u u n Tính 1 1 lim n n i ui?Bài 2 : Cho dãy số: 1 1 1 n n ( n 1)( n 2)( n 3) 1 ( 1) u u u u u u n Tính 1 1 lim 2 n n i ui ?Bài 3 : Cho dãy số: 1 2 1 1 2010 n n 2009 ( n 1) u a u u u n Tính 11 lim 1 n i n i i u u ?VI ) Phương pháp lượng **giác hóa
2. Các ví d ụ: Bài 1 : Cho dãy số 1 1 2 u và un 1 2 un 21. Tìm giới hạn dãy số n u n ? HD : Ta có: 1 1 cos 2 3 u Ta có 1 2 cos 3 n un Suy ra lim n 0 u n Bài 2 : Cho dãy số 1 2 1 1 1 n 1 n n x x x x .Tìm giới hạn dãy số? HD : Chứng minh: tan 1 2 xn n . Vậy lim n xn 0. Bài 3 : Cho dãy số 1 1 2 x và 1 1 2 1 n 2 n n 4 n x x x Tìm giới hạn dãy số? HD : Chứng minh: 1 1 cot n 2 n 2 n x . Vậy 1 lim. n n 2 x Bài 4 : Cho dãy số u 1 2 và 4 14828 n n n n u u u u . Tìm giới hạn dãy số n u n ?
HD: x n được xác định duy nhất vì hàm số x x x n n xf 1 ... 1 11 )( liên tục và đơn điệu trên (0, 1). Ta có: 1 ( ) ( ) 11 ( ) 0 n n 1 n f x f x f x x n có nghiệm xn 1 (0; xn ). Do đó dãy số giảm. Giả sử lim xn a. Ta có: 0 = 0 111 ... 2 1 1 111 ... 1 11 nnnn aanxnxxx Vậy ta phải có lim x n = 0. Bài 3: (VMO 2007) Cho số thực a > 2 và fn(x) = a 10 xn+10 + xn + ...+x + 1. a) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, phương trình fn(x) = a luôn có đúng một nghiệm dương duy nhất. b) Gọi nghiệm đó là xn , chứng minh rằng dãy { x n} có giới hạn hữu hạn khi n dần đến vô cùng. HD: a) Hàm số fn(x) tăng trên (0, +) và f (0) 0 và f (1) 0 nên 0 < xn < 1. Chứng minh dãy x n tăng, tức là xn+1 > xn. Xét fn+1(xn) = a 10 xnn+11 + xnn+1 + xnn + ... + x + 1 = xnfn(xn) + 1 = axn + 1 Suy ra f (1) a và f x ( ) n a , do đó xn < xn+1 < 1. Đặt c = (a-1)/a < 1 fn(c) – fn(xn) = kcn (với k = (a-1)((a-1) 9 – 1) > 0) Theo định lý Lagrange thì fn(c) – fn(xn) = f’()(c – xn) với thuộc (xn, c) Nhưng f’() = (n+10)a 10 n+9 + nn-1 + ...+ 1 > 1 nên từ đây suy ra kcn > c - xn Từ đó ta có c – kcn < xn < c Vậy lim xn = c. 3. Bài t ập tự giải : Bài 1: (VMO 2002) Cho n là một số nguyên dương. Chứng minh rằng phương trình 2 1 1 1 ... 4 1 1 1 1 x x n 2 x có một nghiệm duy nhất xn > 1. Chứng minh rằng khi n dần đến vô cùng, xn dần đến 4. Bài 2: Cho n là một số nguyên dương > 1. Chứng minh rằng phương trình xn = x 2 + x + 1 có một nghiệm dương duy nhất, ký hiệu là xn. Hãy tìm số thực a sao cho giới hạn n a xxn nn 1 )(lim tồn tại, hữu hạn và khác 0. K ẾT LUẬN Dãy số là một chuyên đề quan trọng trong giải tích toán học. Các bài toán liên quan đến dãy số luôn mang đến sự hấp dẫn bởi kỹ thuật và phương pháp giải chúng. Bài viết trình bày một số phương pháp tìm giới hạn của dãy số, các ý tưởng, ví dụ và bài tập đã được sắp xếp một cách có hệ thống nhằm giúp cho đối tượng học sinh có điều kiện ôn tập, nghiên cứu, phát triển. Do trình độ còn hạn chế nên trong bài viết không thể tránh khỏi những sai sót về trình bày cũng như về chuyên môn. Rất mong bạn đọc góp ý kiến. Xin chân thành cảm ơn. |
