- Vẽ các đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của hai phương trình trong mỗi một hệ trục tọa độ, rồi xác định nghiệm chung của chúng.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Từ phương trình \(ax+by=c\) \((\) với \(b \ne 0)\) rút biến \(y\) theo biến \(x\), ta được: \(y=-\dfrac{a}{b}x+\dfrac{c}{b}\). Khi đó nghiệm tổng quát của phương trình trên là:
\(\left\{ \matrix{x \in R \hfill \cr y =-\dfrac{a}{b}x+\dfrac{c}{b} \hfill \cr} \right.\)
- +) Vẽ hai đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của hai phương trình đã cho trên cùng một hệ trục tọa độ.
+) Xác định giao điểm. Thử lại tọa độ vào hai phương trình, nếu thỏa mãn thì tọa độ đó là nghiệm chung của hệ hai phương trình.
Lời giải chi tiết
- Ta có:
+) \(2x{\rm{ }} + {\rm{ }}y{\rm{ }} = {\rm{ }}4{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}y{\rm{ }} = {\rm{ }} - 2x{\rm{ }} + {\rm{ }}4{\rm{ }}\).
Giải bài 7 trang 12 SGK Toán 9 tập 2 chi tiết giúp bạn trả lời tốt bài tập trang 12 sách giáo khoa Toán 9 tập 2 và ôn tập các kiến thức của bài học.
Bạn muốn giải bài 7 trang 12 SGK Toán 9 tập 2 không nên bỏ qua bài viết này. Với những hướng dẫn chi tiết, không chỉ tham khảo cách làm hoặc đáp án mà bài viết này còn giúp bạn nắm vững lại các kiến thức Toán 9 chương 3 phần đại số để tự tin giải tốt các bài tập khác về hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.
Đề bài 7 trang 12 SGK Toán 9 tập 2
Cho hai phương trình \(2x + y = 4\) và \(3x + 2y = 5\).
- Tìm nghiệm tổng quát của mỗi phương trình trên.
- Vẽ các đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của hai phương trình trong mỗi một hệ trục tọa độ, rồi xác định nghiệm chung của chúng.
» Bài tập trước: Bài 6 trang 11 SGK Toán 9 tập 2
Giải bài 7 trang 12 SGK Toán 9 tập 2
Hướng dẫn cách làm
- Từ phương trình \(ax+by=c\) \((\) với \(b \ne 0)\) rút biến \(y\) theo biến \(x\), ta được: \(y=-\dfrac{a}{b}x+\dfrac{c}{b}\). Khi đó nghiệm tổng quát của phương trình trên là:
\(\left\{ \matrix{x \in R \hfill \cr y =-\dfrac{a}{b}x+\dfrac{c}{b} \hfill \cr} \right.\)
- +) Vẽ hai đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của hai phương trình đã cho trên cùng một hệ trục tọa độ.
+) Xác định giao điểm. Thử lại tọa độ vào hai phương trình, nếu thỏa mãn thì tọa độ đó là nghiệm chung của hệ hai phương trình.
Đáp án chi tiết
Dưới đây là các cách giải bài 7 trang 12 SGK Toán 9 tập 2 để các bạn tham khảo và so sánh bài làm của mình:
- Ta có:
+) \(2x{\rm{ }} + {\rm{ }}y{\rm{ }} = {\rm{ }}4{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}y{\rm{ }} = {\rm{ }} - 2x{\rm{ }} + {\rm{ }}4{\rm{ }}\).
Do đó phương trình có nghiệm dạng tổng quát là:
\(\left\{ \matrix{x \in R \hfill \cr y = - 2{\rm{x}} + 4 \hfill \cr} \right.\)
+) \(3x + 2y = 5 \Leftrightarrow y = - \dfrac{3}{2}x + \dfrac{5}{2}\).
Do đó phương trình có nghiệm tổng quát như sau:
\(\left\{ \matrix{ x \in R\hfill \cr y = - \dfrac{3}{2}x + \dfrac{5}{2} \hfill \cr} \right.\)
- +) Vẽ \((d)\): \(y =-2x+ 4\)
Cho \(x = 0 \Rightarrow y = 4\) được \(A(0; 4)\).
Cho \(y = 0 \Rightarrow x = 2\) được \(B(2; 0)\).
Tập nghiệm của phương trình là đường thẳng \((d)\) đi qua hai điểm \(A,\ B\).
+) Vẽ \((d')\): \(y =-\dfrac{3}{2}x+\dfrac{ 5}{2}\)
Cho \(x = 0 \Rightarrow y = \dfrac{5 }{2}\), ta được \(M{\left(0;\dfrac{5}{2} \right)}\).
Cho \(y = 0 \Rightarrow x = \dfrac{5 }{3}\), ta được \(N {\left( \dfrac{5}{3};0 \right)}\).
Tập nghiệm của phương trình là đường thẳng \((d')\) đi qua hai điểm \(M,\ N\).
Hai đường thẳng cắt nhau tại \(D(3; -2)\).
Thay \(x = 3, y = -2\) vào từng phương trình ta được:
\(2 . 3 + (-2) = 4\) và \(3 . 3 + 2 . (-2) = 5\) (thỏa mãn)
Vậy \((3; -2)\) là nghiệm chung của các phương trình đã cho.
» Bài tiếp theo: Bài 8 trang 12 SGK Toán 9 tập 2
Nội dung trên đã giúp bạn nắm được cách làm bài 7 trang 12 SGK Toán 9 tập 2. Hy vọng những bài hướng dẫn giải Toán 9 của Đọc Tài Liệu sẽ giúp các bạn hoàn thành bài tập chính xác và học tốt môn học này.
Luyện tập Bài §2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn, Chương III – Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn, sách giáo khoa toán 9 tập hai. Nội dung bài giải bài 7 8 9 10 11 trang 12 sgk toán 9 tập 2 bao gồm tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập phần đại số có trong SGK toán để giúp các em học sinh học tốt môn toán lớp 9.
Lý thuyết
1. Khái niệm về hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Cho hai phương trình bậc nhất hai ẩn \(ax+by=c\) và \(a’x+b’y=c’\). Khi đó ta có hệ phương trình trình bậc nhất hai ẩn \(\left\{\begin{matrix} ax+by=c\\ a’x+b’y=c’ \end{matrix}\right. (I)\).
Nếu hai phương trình đã cho có nghiệm chung \((x_o;y_o)\) thì ta nói hệ \((I)\) có nghiệm \((x_o;y_o)\).
Nếu hai phương trình đã cho không có nghiệm chung thì ta nói hệ \((I)\) vô nghiệm.
Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm của nó.
2. Minh họa hình học tập nghiệm của hệ phương trình trình bậc nhất hai ẩn
Cho \((d):ax+by=c\) và \((d’):a’x+b’y=c’\). Khi đó tập nghiệm của hệ \((I)\) được biểu diễn bởi tập hợp các điểm chung của \((d)\) và \((d’)\).
Nếu \((d)\) cắt \((d’)\) thì hệ \((I)\) có một nghiệm duy nhất
Nếu \((d)\) song song với \((d’)\) thì hệ \((I)\) vô nghiệm
Nếu \((d)\) trùng với \((d’)\) thì hệ \((I)\) có vô số nghiệm
Với hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $\begin{cases}ax + by = c\, (1)\\a’x + b’y = c’\, (2)\end{cases}$:
– Hệ có nghiệm duy nhất ⇔ $\frac{a}{a’}$ $\neq$ $\frac{b}{b’}$
– Hệ vô nghiệm ⇔ $\frac{a}{a’}$ = $\frac{b}{b’}$ $\neq$ $\frac{c}{c’}$
– Hệ có vô số nghiệm ⇔ $\frac{a}{a’}$ = $\frac{b}{b’}$ = $\frac{c}{c’}$
3. Hệ phương trình tương đương
Hai hệ phương trình tương đương nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm.
Dưới đây là Hướng dẫn giải bài 7 8 9 10 11 trang 12 sgk toán 9 tập 2. Các bạn hãy đọc kỹ đầu bài trước khi giải nhé!
Giaibaisgk.com giới thiệu với các bạn đầy đủ phương pháp giải bài tập phần đại số 9 kèm bài giải chi tiết bài 7 8 9 10 11 trang 12 sgk toán 9 tập 2 của Bài §2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn trong Chương III – Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn cho các bạn tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài tập các bạn xem dưới đây:
1. Giải bài 7 trang 12 sgk Toán 9 tập 2
Cho hai phương trình \(2x + y = 4\) và \(3x + 2y = 5\).
- Tìm nghiệm tổng quát của mỗi phương trình trên.
- Vẽ các đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của hai phương trình trong mỗi một hệ trục tọa độ, rồi xác định nghiệm chung của chúng.
Bài giải:
- Ta có:
♦ \(2x{\rm{ }} + {\rm{ }}y{\rm{ }} = {\rm{ }}4{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}y{\rm{ }} = {\rm{ }} – 2x{\rm{ }} + {\rm{ }}4{\rm{ }}\).
Do đó phương trình có nghiệm dạng tổng quát là:
\(\left\{ \matrix{x \in R \hfill \cr y = – 2{\rm{x}} + 4 \hfill \cr} \right.\)
♦ \(3x + 2y = 5 \Leftrightarrow y = – \dfrac{3}{2}x + \dfrac{5}{2}\).
Do đó phương trình có nghiệm tổng quát như sau:
\(\left\{ \matrix{ x \in R\hfill \cr y = – \dfrac{3}{2}x + \dfrac{5}{2} \hfill \cr} \right.\)
- ♦ Vẽ \((d)\): \(y =-2x+ 4\)
Cho \(x = 0 \Rightarrow y = 4\) được điểm \((0; 4)\).
Cho \(y = 0 \Rightarrow x = 2\) được điểm \((2; 0)\).
Tập nghiệm của phương trình là đường thẳng \((d)\) đi qua hai điểm \((0; 4),(2; 0)\).
♦ Vẽ \((d’)\): \(y =-\dfrac{3}{2}x+\dfrac{ 5}{2}\)
Cho \(x = 0 \Rightarrow y = \dfrac{5 }{2}\), ta được điểm \({\left(0;\dfrac{5}{2} \right)}\).
Cho \(y = 0 \Rightarrow x = \dfrac{5 }{3}\), ta được điểm \( {\left( \dfrac{5}{3};0 \right)}\).
Tập nghiệm của phương trình là đường thẳng \((d’)\) đi qua hai điểm \((0;\dfrac{5}{2}), (\dfrac{5}{3};0)\).
♦ Hai đường thẳng cắt nhau tại \(E(3; -2)\).
Thay \(x = 3, y = -2\) vào từng phương trình ta được:
\(2 . 3 + (-2) = 4\) và \(3 . 3 + 2 . (-2) = 5\) (thỏa mãn)
Vậy \((3; -2)\) là nghiệm chung của các phương trình đã cho.
2. Giải bài 8 trang 12 sgk Toán 9 tập 2
Cho các hệ phương trình sau:
\(a)\left\{ \matrix{ x = 2 \hfill \cr 2x – y = 3 \hfill \cr} \right.\)
\(b)\left\{ \matrix{ x + 3y = 2 \hfill \cr 2y = 4 \hfill \cr} \right.\)
Trước hết, hãy đoán nhận số nghiệm của mỗi hệ phương trình trên (giải thích rõ lí do). Sau đó, tìm tập nghiệm của các hệ đã cho bằng cách vẽ hình.
Bài giải:
- Ta có
\(\left\{ \matrix{ x = 2 \hfill \cr 2x – y = 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = 2\ (d) \hfill \cr y = 2x – 3\ (d’) \hfill \cr} \right.\)
Dự đoán: Hệ có nghiệm duy nhất vì một đồ thị là đường thẳng \((d):x = 2\) song song với trục tung, còn một đồ thị là đường thẳng \((d’):y = 2x – 3\) cắt hai trục tọa độ.
♦ Vẽ \((d)\): \(x = 2\) là đường thẳng đi qua điểm có tọa độ \((2;0)\) và song song với trục \(Oy\).
♦ Vẽ \((d’ )\): \(y =2x- 3\)
Cho \(x = 0 \Rightarrow y = -3\) ta được điểm \((0; -3)\).
Cho \(y = 0 \Rightarrow x = \dfrac{3}{2}\) ta được điểm \({\left(\dfrac{3 }{2};0 \right)}\).
Tập nghiệm của phương trình là đường thẳng đi qua hai điểm \((0; -3),(\dfrac{3 }{2}; 0)\).
♦ Ta thấy hai đường thẳng cắt nhau tại \(N(2; 1)\).
Thay \(x = 2, y = 1\) vào hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\2x – y = 3\end{array} \right.\) ta được
\(\left\{ \begin{array}{l}2 = 2\\2.2 – 1 = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 = 2\\3 = 3\end{array} \right.\) (luôn đúng)
Vậy hệ phương trình có nghiệm \((2; 1)\).
- Ta có
\(\left\{ \matrix{ x + 3y = 2 \hfill \cr 2y = 4 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ y = – \dfrac{1}{3}x + \dfrac{2}{3}\, (d)\hfill \cr y = 2 \, (d’) \hfill \cr} \right.\)
Hệ có nghiệm duy nhất vì một đồ thị là đường thẳng \((d):y = – \dfrac{1 }{3}x + \dfrac{2}{3}\) cắt hai trục tọa độ, còn một đồ thị là đường thẳng \((d’):y = 2\) song song với trục hoành.
♦ Vẽ \(y=-\dfrac{1}{3}x+\dfrac{2}{3}\)
Cho \(x = 0 \Rightarrow y = \dfrac{2}{3}\) ta được điểm \({\left(0;\dfrac{2}{3}\right)}\) .
Cho \(y = 0 \Rightarrow x = 2\) ta được điểm \((2; 0)\).
Tập nghiệm của phương trình là đường thẳng đi qua hai điểm \((0;\dfrac{2}{3}),(2; 0)\).
♦ Vẽ \(y = 2\) là đường thẳng đi qua điểm có tọa độ \((0;2)\) trên trục tung và song song với trục hoành (\(Ox\))
♦ Ta thấy hai đường thẳng cắt nhau tại \(A(-4; 2)\).
Thay \(x = -4, y = 2\) vào hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}x+3y = 2\\2y = 4\end{array} \right.\) ta được
\(\left\{ \begin{array}{l} – 4 + 3.2 = 2\\2.2 = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 = 2\\4 = 4\end{array} \right.\) (luôn đúng)
Vậy hệ phương trình có nghiệm \((-4; 2)\).
3. Giải bài 9 trang 12 sgk Toán 9 tập 2
Đoán nhận số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau, giải thích vì sao:
- \(\left\{\begin{matrix} x + y = 2 & & \\ 3x + 3y = 2 & & \end{matrix}\right.\);
- \(\left\{\begin{matrix} 3x -2 y = 1 & & \\ -6x + 4y = 0 & & \end{matrix}\right.\)
Bài giải:
- Ta có:
\(\left\{\begin{matrix} x + y = 2 & & \\ 3x + 3y = 2 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y = -x + 2 & & \\ 3y = -3x+2 & & \end{matrix}\right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y = -x + 2 \, (d) & & \\ y = -x + \dfrac{2}{3} \, (d’)& & \end{matrix}\right.\)
Suy ra \(a = -1,\ a’ = -1\); \(b = 2,\ b’ = \dfrac{2}{3}\) nên \(a = a’, b ≠ b’.\)
Do đó hai đường thẳng \((d)\) và \((d’)\) song song nhau nên hệ đã cho vô nghiệm.
- Ta có:
\(\left\{\begin{matrix} 3x -2 y = 1 & & \\ -6x + 4y = 0 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2y = 3x – 1 & & \\ 4y = 6x& & \end{matrix}\right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y = \dfrac{3}{2}x – \dfrac{1}{2} \,(d) & & \\ y = \dfrac{3}{2}x\, (d’)& & \end{matrix}\right.\)
Ta có: \(a = \dfrac{3}{2}, a’ = \dfrac{3}{2}\), \(b = -\dfrac{1}{2}, b’ = 0\) nên \(a = a’, b ≠b’\).
Do đó hai đường thẳng \((d)\) và \((d’)\) song song với nhau nên hệ đã cho vô nghiệm.
4. Giải bài 10 trang 12 sgk Toán 9 tập 2
Đoán nhận số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau, giải thích vì sao:
- \(\left\{\begin{matrix} 4x – 4y = 2 & & \\ -2x + 2y = -1 & & \end{matrix}\right.\);
- \(\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{3}x – y = \dfrac{2}{3} & & \\ x -3y = 2 & & \end{matrix}\right.\).
Bài giải:
- Ta có:
\(\left\{\begin{matrix} 4x – 4y = 2 & & \\ -2x + 2y = -1 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 4y = 4x – 2 & & \\ 2y = 2x – 1 & & \end{matrix}\right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y = x – \dfrac{1}{2}\, (d)& & \\ y = x – \dfrac{1}{2} \, (d’)& & \end{matrix}\right.\)
Suy ra \(a = a’ = 1;\ b = b’ = – \dfrac{1}{2}\).
Do đó hai đường thẳng \((d)\) và \((d’)\) trùng nhau nên hệ phương trình có vô số nghiệm.
- Ta có:
\(\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{3}x – y = \dfrac{2}{3} & & \\ x -3y = 2 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y = \dfrac{1}{3}x – \dfrac{2}{3} & & \\ 3y = x – 2 & & \end{matrix}\right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y = \dfrac{1}{3}x – \dfrac{2}{3} \, (d)& & \\ y = \dfrac{1}{3}x – \dfrac{2}{3} \, (d’)& & \end{matrix}\right.\)
Suy ra \(a = a’ = \dfrac{1}{3}\), \(b = b’ = -\dfrac{2}{3}\)
Do đó hai đường thẳng \((d)\) và \((d’)\) trùng nhau nên hệ phương trình có vô số nghiệm.
5. Giải bài 11 trang 12 sgk Toán 9 tập 2
Nếu tìm thấy hai nghiệm phân biệt của một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn (nghĩa là hai nghiệm được biểu diễn bởi hai điểm phân biệt) thì ta có thể nói gì về số nghiệm của hệ phương trình đó ? Vì sao ?
Bài giải:
Giả sử hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn: \(\left\{\begin{matrix} ax +by = c \ (d) & & \\ a’x + b’y = c’ \ (d’) & & \end{matrix}\right.\)
có hai nghiệm phân biệt. Khi đó \((d)\) và \((d’)\) giao nhau tại hai điểm phân biệt \(A\) và \(B\).
Do đó \(A,\ B\) nằm trên đường thẳng \(d\).
Cũng có \(A,\ B\) cùng nằm trên đường thẳng \(d’\).
Vì qua hai điểm phân biệt ta luôn vẽ được một và chỉ một đường thẳng nên \(d\) và \(d’\) trùng nhau. Tức là hệ trên có vô số nghiệm.
Hoặc:
Nếu tìm thấy hai nghiệm phân biệt của một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn thì ta có thể khẳng định hệ phương trình có vô số nghiệm vì theo giả thiết nếu hệ phương trình có hai nghiệm phân biệt, điều đó có nghĩa là hai đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của chúng có chung hai điểm phân biệt, do đó chúng trùng nhau (vì có một và chỉ một đường thẳng qua hai điểm phân biệt)
Bài trước:
- Giải bài 4 5 6 trang 11 sgk Toán 9 tập 2
Bài tiếp theo:
- Giải bài 12 13 14 trang 15 sgk Toán 9 tập 2
Xem thêm:
- Các bài toán 9 khác
- Để học tốt môn Vật lí lớp 9
- Để học tốt môn Sinh học lớp 9
- Để học tốt môn Ngữ văn lớp 9
- Để học tốt môn Lịch sử lớp 9
- Để học tốt môn Địa lí lớp 9
- Để học tốt môn Tiếng Anh lớp 9
- Để học tốt môn Tiếng Anh lớp 9 thí điểm
- Để học tốt môn Tin học lớp 9
- Để học tốt môn GDCD lớp 9
Chúc các bạn làm bài tốt cùng giải bài tập sgk toán lớp 9 với giải bài 7 8 9 10 11 trang 12 sgk toán 9 tập 2!