Tìm điều kiện của \(x\) để các biểu thức sau có nghĩa và biến đổi chúng về dạng tích:
LG câu a
\(\sqrt {{x^2} - 4} + 2\sqrt {x - 2} \);
Phương pháp giải:
Áp dụng:
- Để \(\sqrt A \) có nghĩa thì \(A \ge 0\)
- Để \(\sqrt {A.B} \) có nghĩa ta xét các trường hợp:
Trường hợp 1:
\(\left\{ \begin{array}{l} A \ge 0\\ B \ge 0 \end{array} \right.\)
Trường hợp 2:
\(\left\{ \begin{array}{l} A \le 0\\ B \le 0 \end{array} \right.\)
Biến đổi về dạng tích:
Nếu \(A \ge 0,B \ge 0\) thì \(\sqrt {A.B} = \sqrt A .\sqrt B \)
Với \(A \ge 0,B \ge 0, C \ge 0 \)
Ta có :
\(\begin{array}{l} \sqrt {A.B} + \sqrt {A.C} = \sqrt A .\sqrt B + \sqrt A .\sqrt C \\ \= \sqrt A .(\sqrt B + \sqrt C ) \end{array}.\)
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\sqrt {{x^2} - 4} + 2\sqrt {x - 2} \) có nghĩa khi và chỉ khi:
\({x^2} - 4 \ge 0\) và \(x - 2 \ge 0\)
Ta có: \({x^2} - 4 \ge 0 \Leftrightarrow (x + 2)(x - 2) \ge 0\)
Trường hợp 1:
\(\left\{ \matrix{ x + 2 \ge 0 \hfill \cr x - 2 \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \ge - 2 \hfill \cr x \ge 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge 2(1)\)
Trường hợp 2:
\(\left\{ \matrix{ x + 2 \le 0 \hfill \cr x - 2 \le 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \le - 2 \hfill \cr x \le 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \le - 2(2)\)
Mà \(x - 2 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 2(3)\)
Vậy từ (1), (2), (3) thì \(x ≥ 2\) thì biểu thức có nghĩa.
Biến đổi về dạng tích:
\(\eqalign{ & \sqrt {{x^2} - 4} + 2\sqrt {x - 2} \cr & = \sqrt {(x + 2)(x - 2)} + 2\sqrt {x - 2} \cr}\)
\(= \sqrt {x - 2} .\left( {\sqrt {x + 2} + 2} \right)\)
LG câu b
\(3\sqrt {x + 3} + \sqrt {{x^2} - 9} \).
Phương pháp giải:
Áp dụng:
- Để \(\sqrt A \) có nghĩa thì \(A \ge 0\)
- Để \(\sqrt {A.B} \) có nghĩa ta xét các trường hợp:
Trường hợp 1:
\(\left\{ \begin{array}{l} A \ge 0\\ B \ge 0 \end{array} \right.\)
Trường hợp 2:
\(\left\{ \begin{array}{l} A \le 0\\ B \le 0 \end{array} \right.\)
Biến đổi về dạng tích:
Nếu \(A \ge 0,B \ge 0\) thì \(\sqrt {A.B} = \sqrt A .\sqrt B \)
Với \(A \ge 0,B \ge 0, C \ge 0 \)
Ta có :
\(\begin{array}{l} \sqrt {A.B} + \sqrt {A.C} = \sqrt A .\sqrt B + \sqrt A .\sqrt C \\ \= \sqrt A .(\sqrt B + \sqrt C ) \end{array}.\)
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(3\sqrt {x + 3} + \sqrt {{x^2} - 9} \) có nghĩa khi và chỉ khi:
\(x + 3 \ge 0\) và \({x^2} - 9 \ge 0\)
Ta có: \(x + 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge -3\)
\({x^2} - 9 \ge 0 \Leftrightarrow (x + 3)(x - 3) \ge 0\)
Trường hợp 1:
\(\left\{ \matrix{ x + 3 \ge 0 \hfill \cr x - 3 \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \ge - 3 \hfill \cr x \ge 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge 3\)
Trường hợp 2:
\(\left\{ \matrix{ x + 3 \le 0 \hfill \cr x - 3 \le 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \le - 3 \hfill \cr x \le 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \le - 3\)
Vậy với \(x ≥ 3\) thì biểu thức có nghĩa.
Biến đổi về dạng tích:
\(\eqalign{ & 3\sqrt {x + 3} + \sqrt {{x^2} - 9} \cr & = 3\sqrt {x + 3} + \sqrt {(x + 3)(x - 3)} \cr} \)
\(= \sqrt {x + 3} \left( {3 + \sqrt {x - 3} } \right)\)
Câu 33 trang 10 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Tìm điều kiện của x để các biểu thức sau có nghĩa và biến đổi chúng về dạng tích:
- \(\sqrt {{x^2} - 4} + 2\sqrt {x - 2} \);
- \(3\sqrt {x + 3} + \sqrt {{x^2} - 9} \).
Gợi ý làm bài
- Ta có: \(\sqrt {{x^2} - 4} + 2\sqrt {x - 2} \) có nghĩa khi và chỉ khi:
\({x^2} - 4 \ge 0\) và \(x - 2 \ge 0\)
Ta có: \({x^2} - 4 \ge 0 \Leftrightarrow (x + 2)(x - 2) \ge 0\)
Trường hợp 1:
\(\left\{ \matrix{ x + 2 \ge 0 \hfill \cr x - 2 \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \ge - 2 \hfill \cr x \ge 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge 2\)
Trường hợp 2:
\(\left\{ \matrix{ x + 2 \le 0 \hfill \cr x - 2 \le 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \le - 2 \hfill \cr x \le 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \le - 2\)
\(x - 2 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 2\)
Vậy x ≥ 2 thì biểu thức có nghĩa.
Biến đổi về dạng tích:
\(\eqalign{ & \sqrt {{x^2} - 4} + 2\sqrt {x - 2} \cr & = \sqrt {(x + 2)(x - 2)} + 2\sqrt {x - 2} \cr}\)
\(= \sqrt {x - 2} .\left( {\sqrt {x + 2} + 2} \right)\)
- Ta có: \(3\sqrt {x + 3} + \sqrt {{x^2} - 9} \) có nghĩa khi và chỉ khi:
\(x + 3 \ge 0\) và \({x^2} - 9 \ge 0\)
Ta có: \(x + 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 3\)
\({x^2} - 9 \ge 0 \Leftrightarrow (x + 3)(x - 3) \ge 0\)
Trường hợp 1:
\(\left\{ \matrix{ x + 3 \ge 0 \hfill \cr x - 3 \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \ge - 3 \hfill \cr x \ge 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge 3\)
Trường hợp 2:
\(\left\{ \matrix{ x + 3 \le 0 \hfill \cr x - 3 \le 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \le - 3 \hfill \cr x \le 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \le - 3\)
Vậy với x ≥ 3 thì biểu thức có nghĩa.
Biến đổi về dạng tích:
\(\eqalign{ & 3\sqrt {x + 3} + \sqrt {{x^2} - 9} \cr & = 3\sqrt {x + 3} + \sqrt {(x + 3)(x - 3)} \cr} \)
\(= \sqrt {x + 3} \left( {3 + \sqrt {x - 3} } \right)\)
Câu 34 trang 10 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Tìm x, biết:
- \(\sqrt {x - 5} = 3\);
- \(\sqrt {x - 10} = - 2\);
- \(\sqrt {2x - 1} = \sqrt 5 \);
- \(\sqrt {4 - 5x} = 12\).
Gợi ý làm bài
- \(\sqrt {x - 5} = 3\) điều kiện: \(x - 5 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 5\)
Ta có: \(\sqrt {x - 5} = 3 \Leftrightarrow x - 5 = 9 \Leftrightarrow x = 14\)
- \(\sqrt {x - 10} = - 2\) điều kiện: \(x - 10 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 10\)
Vì \(\sqrt {x - 10} \ge 0\) nên không có giá trị nào của x để \(\sqrt {x - 10} = - 2\)
\(\sqrt {2x - 1} = \sqrt 5 \) điều kiện: \(2x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 0,5\)
Ta có:
\(\eqalign{ & \sqrt {2x - 1} = \sqrt 5 \Leftrightarrow 2x - 1 = 5 \cr & \Leftrightarrow 2x = 6 \Leftrightarrow x = 3 \cr} \)
- \(\sqrt {4 - 5x} = 12\) điều kiện: \(4 - 5x \ge 0 \Leftrightarrow x \le {4 \over 5}\)
Ta có:
\(\eqalign{ & \sqrt {4 - 5x} = 12 \Leftrightarrow 4 - 5x = 144 \cr & \Leftrightarrow - 5x = 140 \Leftrightarrow x = - 28 \cr} \)
Câu 35 trang 10 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Với n là số tự nhiên, chứng minh:
\({(\sqrt {n + 1} - \sqrt n )^2} = \sqrt {{{(2n + 1)}^2}} - \sqrt {{{(2n + 1)}^2} - 1} \)
Viết đẳng thức trên khi n bằng 1, 2, 3, 4.
Gợi ý làm bài
Ta có:
\(\eqalign{ & {\left( {\sqrt {n + 1} - \sqrt n } \right)^2} \cr & = n + 1 - 2\sqrt {n(n + 1)} + n \cr & = 2n + 1 - 2\sqrt {n(n + 1)} \cr} \)
\(\eqalign{ & = \sqrt {{{(2n + 1)}^2}} - \sqrt {{{(2n + 1)}^2} - 1} \cr & = \left| {2n + 1} \right| - \sqrt {(2n + 1 + 1)(2n + 1 - 1)} \cr} \)
\(\eqalign{ & = 2n + 1 - \sqrt {2(n + 1)2n} \cr & = 2n + 1 - \sqrt {4(n + 1)n} \cr} \)
\(\eqalign{ & = 2n + 1 - \sqrt 4 .\sqrt {n(n + 1)} \cr & = 2n + 1 - 2\sqrt {n(n + 1)} \cr} \)
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.
- Với n = 1, ta có: \({\left( {\sqrt 2 - \sqrt 1 } \right)^2} = \sqrt 9 - \sqrt 8 \)
- Với n = 2, ta có: \({\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)^2} = \sqrt {25} - \sqrt {24} \)
- Với n = 3, ta có: \({\left( {\sqrt 4 - \sqrt 3 } \right)^2} = \sqrt {49} - \sqrt {48} \)
- Với n = 4, ta có: \({\left( {\sqrt 5 - \sqrt 4 } \right)^2} = \sqrt {81} - \sqrt {80} \)
Câu 3.1 trang 10 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 9 Tập 1
Giá trị của \(\sqrt {1,6} .\sqrt {2,5} \) bằng:
(A) 0,20 ;
(B) 2,0 ;
(C) 20,0 ;
(D) 0,02;
Hãy chọn đáp án đúng.
Gợi ý làm bài
Chọn (B)
Giaibaitap.me