Bài 26 trang 85 sgk toán 10 nâng cao năm 2024

\(x = \frac{{m + 4}}{{m - 1}}\)

\(x = \frac{{m + 4}}{{m - 1}}\) là nghiệm của phương trình đã cho \( \Leftrightarrow \frac{{m + 4}}{{m - 1}} \ne - 1 \Leftrightarrow m + 4 \ne - m + 1 \Leftrightarrow m \ne - \frac{3}{2}\)

Vậy:

• Với \(\left\{ \begin{array}{l} m \ne - \frac{3}{2}\\ m \ne 1 \end{array} \right.\): \(S = \left\{ {\frac{{m + 4}}{{m - 1}}} \right\}\)
• Với \(\left[ \begin{array}{l} m = - \frac{3}{2}\\ m = 1 \end{array} \right.\): \(S = \emptyset \)

Câu d:

Điều kiện: \(x \ne \pm 3\)

Ta có:

\(\begin{array}{l} \frac{{3x + k}}{{x - 3}} = \frac{{x - k}}{{x + 3}}\\ \Rightarrow \left( {3x + k} \right)\left( {x + 3} \right) = \left( {x - k} \right)\left( {x - 3} \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} + \left( {k + 6} \right)x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\,\,\,\left( n \right)\\ x = - k - 6 \end{array} \right. \end{array}\)

Kiểm tra điều kiện:

\(\left\{ \begin{array}{l} x \ne 3\\ x \ne - 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - k - 6 \ne 3\\ - k - 6 \ne - 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} k \ne - 9\\ k \ne - 3 \end{array} \right.\)

Vậy:

• k = - 3 hoặc k = - 9 thì S = {0}
• k ≠ - 3 hoặc k ≠ - 9 thì S = {0, - k, -6}

Bài 26 trang 85 SGK Toán 10 nâng cao

Giải và biện luận phương trình sau (m và a là những tham số)

1. \(\left( {2x + m - 4} \right)\left( {2mx - x + m} \right) = 0\)

2. \(\left| {mx + 2x - 1} \right| = \left| x \right|\)

3. \(\left( {mx + 1} \right)\sqrt {x - 1} = 0\)

4. \(\frac{{2a - 1}}{{x - 2}} = a - 2\)

5. \(\frac{{\left( {m + 1} \right)x + m - 2}}{{x + 3}} = m\)

6. \(\left| {\frac{{ax + 1}}{{x - 1}}} \right| = a\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có \(\left( {2x + m - 4} \right)\left( {2mx - x + m} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x + m - 4 = 0\\ 2mx - x + m = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{{4 - m}}{2}\\ \left( {2m - 1} \right)x = - m \end{array} \right.\)

• Với \(m = \frac{1}{2}\) phương trình có nghiệm \(x = \frac{{4 - m}}{2} = \frac{7}{4}\)
• Với \(m \ne \frac{1}{2}\) phương trình có 2 nghiệm: \(x = \frac{{4 - m}}{2};x = \frac{m}{{1 - 2m}}\)

Câu b:

Ta có \(\left| {mx + 2x - 1} \right| = \left| x \right|\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} mx + 2x - 1 = x\\ mx + 2x - 1 = - x \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left( {m + 1} \right)x = 1\\ \left( {m + 3} \right)x = 1 \end{array} \right.\)

• Với m = - 1 phương trình có nghiệm \(x = \frac{1}{2}\)
• Với m = - 3 phương trình có nghiệm \(x = -\frac{1}{2}\)
• Với m ≠ - 1 và m ≠ - 3 thì phương trình có 2 nghiệm: \(x = \frac{1}{{m + 1}};x = \frac{1}{{m + 3}}\)

Câu c:

Điều kiện: \(x \ge 1\)

Ta có \(\left( {mx + 1} \right)\sqrt {x - 1} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\\ mx + 1 = 0 \end{array} \right.\,\,\,\left( 1 \right)\)

• Với m = 0, phương trình có nghiệm x = 1
• Với m ≠ 0, \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow x = - \frac{1}{m}\)

Kiểm tra điều kiện:

\(\begin{array}{l} - \frac{1}{m} \ge 1 \Leftrightarrow - \frac{1}{m} - 1 \ge 0 \Leftrightarrow \frac{{ - m - 1}}{m} \ge 0\\ \Leftrightarrow \frac{{m + 1}}{m} \le 0 \Leftrightarrow - 1 \le m < 0 \end{array}\)

Do đó:

Câu d:

Điều kiện: \(x \ne 2\)

Ta có

\(\begin{array}{l} \frac{{2a - 1}}{{x - 2}} = a - 2 \Rightarrow 2a - 1 = \left( {a - 2} \right)\left( {x - 2} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {a - 2} \right)x = 4a - 5 \end{array}\) (1)

• Với \(a=2\) thì \(S = \emptyset \)
• Với \(a \ne 2\) thì \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow x = \frac{{4a - 5}}{{a - 2}}\)

Kiểm tra điều kiện:

\(x \ne 2 \Leftrightarrow \frac{{4a - 5}}{{a - 2}} \ne 2 \Leftrightarrow 4a - 5 \ne 2a - 4 \Leftrightarrow a \ne \frac{1}{2}\)

Vậy:

• Với \(a=2\) hoặc \(a = \frac{1}{2}:S = \emptyset \)
• Với \(a \ne 2\) hoặc \(a \ne \frac{1}{2}:S = \left\{ {\frac{{4a - 5}}{{a - 2}}} \right\}\)

Câu e:

Điều kiện: \(x \ne - 3\)

Phương trình đã cho tương đương với:

\(\left( {m + 1} \right)x + m - 2 = m\left( {x + 3} \right) \Leftrightarrow x = 2m + 2\)

x = 2m + 2 là nghiệm của phương trình \( \Leftrightarrow 2m + 2 \ne - 3 \Leftrightarrow m \ne - \frac{5}{2}\)

Vậy

• Với \(m \ne - \frac{5}{2}\) thì phương trình có nghiệm duy nhất x = 2m + 2
• Với \(m = - \frac{5}{2}\) thì phương trình vô nghiệm

Câu f:

Rõ ràng \(a < 0\) thì phương trình vô nghiệm

Với \(a \ge 0\). Điều kiện \(x \ne 1\)

Ta có:

\(\begin{array}{l} \left| {\frac{{ax + 1}}{{x - 1}}} \right| = a \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \frac{{ax + 1}}{{x - 1}} = a\\ \frac{{ax + 1}}{{x - 1}} = - a \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} ax + 1 = ax - a\\ ax + 1 = - ax + a \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a = - 1\,\,\left( l \right)\\ 2ax = a - 1 \end{array} \right. \end{array}\)

Vậy

• Với \(a=0\): \(S = \emptyset \)
• Với \(a > 0:S = \left\{ {\frac{{a - 1}}{{2a}}} \right\}\)

Bài 27 trang 85 SGK Toán 10 nâng cao

Bằng cách đặt ẩn phụ, giải các phương trình sau:

1. \(4{x^2} - 12x - 5\sqrt {4{x^2} - 12x + 11} + 15 = 0\)

2. \({x^2} + 4x - 3\left| {x + 2} \right| + 4 = 0\)

3. \(4{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} + \left| {2x - \frac{1}{x}} \right| - 6 = 0\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

\(4{x^2} - 12x - 5\sqrt {4{x^2} - 12x + 11} + 15 = 0\)

Đặt \(t = \sqrt {4{x^2} - 12x + 11} \,\,\left( {t \ge 0} \right)\)

\( \Rightarrow 4{x^2} - 12x = {t^2} - 11\)

Ta có phương trình

\(\begin{array}{l} {t^2} - 11 - 5t + 15 = 0 \Leftrightarrow {t^2} - 5t + 4 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 1\\ t = 4 \end{array} \right. \end{array}\)

Với t = 1, ta có:

\(\sqrt {4{x^2} - 12x + 11} = 1 \Leftrightarrow 4{x^2} - 12x + 10 = 0\) (vô nghiệm)

Với t = 4, ta có:

\(\begin{array}{l} \sqrt {4{x^2} - 12x + 11} = 4 \Leftrightarrow 4{x^2} - 12x - 5 = 0\\ \Leftrightarrow x = \frac{{3 \pm \sqrt {14} }}{2} \end{array}\)

Câu b:

Đặt \(t = \left| {x + 2} \right|\,\,\left( {t \ge 0} \right) \Rightarrow {x^2} + 4x = {t^2} - 4\)

Ta có phương trình:

\(\begin{array}{l} {t^2} - 4 - 3t + 4 = 0 \Leftrightarrow {t^2} - 3t = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 0\\ t = 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left| {x + 2} \right| = 0\\ \left| {x + 2} \right| = 3 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 2\\ x + 2 = 3\\ x + 2 = - 3 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 2\\ x = 1\\ x = - 5 \end{array} \right. \end{array}\)

Vậy S = {- 5; - 2;1}

Câu c:

Đặt \(t = \left| {2x - \frac{1}{x}} \right|\,\,\,\left( {t \ge 0} \right)\)

\( \Rightarrow {t^2} = 4{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} - 4 \Rightarrow 4{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} = {t^2} + 4\)