Công thức tính khoảng cách giữa 2 điểm là một trong nhưng công thức toán học phổ biến nhất, đặc biệt là đối với các bạn học sinh cấp 3. Có thể nói, công thức tính khoảng cách giữa 2 điểm chính là công thức cơ sở để từ đó, ta suy ra được các khoảng cách từ điểm tới đường thẳng, khoảng cách giữa 2 đường thẳng, khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng hay khoảng cách giữa 2 mặt phẳng,… Bài viết sau đây, sẽ tổng hợp cũng như ôn lại các kiến thức về tính toán khoảng cách giữa 2 điểm bất kì. Bên cạnh đó, bài viết cũng kết hợp một số ví dụ để các bạn có thể vận dụng các kiến thức học được vào bài tập.
Độ dài của một đoạn thẳng nối liền giữa hai điểm bất kì với nhau, thì ta gọi độ dài đó là khoảng cách giữa 2 điểm. Vậy, công thức tính khoảng cách giữa 2 điểm bất kì được dựa vào khái niệm độ dài đoạn thẳng nối liền 2 điểm như trên Như vậy, tính khoảng cách giữa 2 điểm bất kì chính là việc tìm ra độ dài đoạn thẳng nối liền 2 điểm đã được cho trước (hoặc xác định trước). Nhưng cần lưu ý rằng, khoảng cách (độ dài nối liền) giữa 2 điểm bất kỳ không phải là độ dài đường thẳng cũng không phải độ dài đoạn thẳng vuông góc nào khác. Dựa trên các cơ sở trên, ta có công thức tính khoảng cách giữa 2 điểm bất kỳ. Nhưng trước khi tìm hiểu về các công thức ấy, ta cần xác định được một vài các dạng bài toán tính khoảng cách giữa 2 điểm. Tham khảo thêm các công thức khác :
Dạng bài toán tính khoảng cách trong các hình học mặt phảng thông thường là dạng tìm khoảng cách giữa 2 điểm cơ bản nhất trong toán học hình học. Đối với các dạng bài tập cơ bản này, thường đề bài sẽ cho chúng ta dữ liệu như điểm A nằm trên hình tam giác, hình bình hành, hình tròn, … Sau đó, nhiệm vụ của chúng ta là đi tìm đáp án cho độ dài đoạn thẳng từ điểm A đến một điểm đã được xác định trước trong đề bài. Lưu ý, đối với các dạng bài toán như trên, sẽ không có một công thức tính khoảng cách chung nào để tìm độ dài đoạn thẳng nối liền 2 điểm với nhau. Dạng toán này đòi hỏi ta phải sử dụng nhiều kiến thức về định nghĩa, tính chất cũng như các công thức có liên quan khác về hình học mà chúng ta đã được học cùng với nhưng dữ kiện mà đề bài đã cho trước để tìm ra đáp án cho câu hỏi độ dài đoạn thẳng giữa 2 điểm. Đây là dạng bài toán tính khoảng cách giữa 2 điểm cụ thể hơn so với dạng bài tập tính độ dài khoảng cách giữa 2 điểm trong mặt phẳng thông thường vừa đề cặp bên trên. Đối với dạng bài tập này, thường chúng ta sẽ được cung cấp dư liệu về tọa độ của các điểm mà đề bài yêu cầu chúng ta tính khoảng cách trong mặt phẳng Oxy. Vì thế, không như dạng bài tập trên, ở dạng bài tập này chúng ta sẽ có các công thức tính khoảng cách chung để tìm khoảng cách giữa 2 điểm bất kì trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Ví dụ như, trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A (x1, x2) và điểm B (y1, y2). Trong đó:
Cho đường thẳng (d) và điểm (A) cách đường thẳng (d) một khoảng bằng 1 cm. Vẽ một đường tròn tâm (A) với bán kính 3 cm. Lần lượt gọi B, C là casc giao điểm của đường thẳng (d) với đường tròn tâm (A). Hay cho biết độ dài đoạn thẳng BC. Lời giải: Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng BC. AK đi qua trung điểm của BC AK ⊥ BC Áp dụng định lý Pytago vào tam giác ABK, ta có:  Lưu ý: ngoài dạng toán ví dụ vừa nêu trên, còn rất nhiều các dạng bài toán khác về tìm khoảng cách giữa 2 điểm thông qua độ dài 1 đoạn thẳng trong mặt phẳng thông thường. Vì thê, các công thức tính khoảng cách đối với dạng toán này là rất đa dạng và phong phú. Ví dụ trên, chúng ta áp dụng công thức định lý Pytago để tìm ra đáp án cho khoảng cách giữa 2 điểm B và C. Trong mặt phẳng Oxy, lần lượt cho 2 điểm M và N có tọa độa là: M (a; b) và điểm N (c; d). Khi đó khoảng cách giữa 2 điểm M và N được xác định bằng công thức tính khoảng cách như sau: Ví dụ 1 : Trong mặt phẳng Oxy, cho 2 điểm lần lược là A và B. Với điểm A (3; 5) và điểm B (2; 7). Hãy xác định độ dài đoản thẳng AB trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Khi dó, độ dài nối liền 2 điểm A và B chính là khoảng cách giữa 2 điểm A và B. Cũng tương tự như cách tính khoảng cách giữa 2 điểm trong mặt phẳng Oxy. Công thức tính khoảng cách giữa 2 điểm trong mặt phẳng tọa độ Oxyz cũng tương tự như công thức tính khoảng cách giữa 2 điểm bất kì trong mặt phẳng Oxy. Trong mặt phẳng Oxyz, lần lượt cho 2 điểm M và N. trong đó tọa độ của điểm M (a; b; c) và điểm N ( d; e; f). Khi này, khoảng cách giữa 2 điểm M và N trong mặt phẳng Oyz được xác định như sau: Ví dụ 2 : Trong mặt phẳng không gian Oxyz, lần lượt cho 2 điểm A và B với tọa độ A (1; 5; 2) và tọa độ điểm B (3; 6; 9). Hãy cho biết khoảng cách giữa 2 điểm A và B trong mặt phẳng Oxyz. So sánh giữa 2 công thức tính khoảng cách giữa 2 điểm bất kì trong mặt phẳng Oxy và mặt phẳng Oxyz:
Thông qua việc so sánh 2 công thức tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng không gian trên, chúng ta biết được điểm giống và khác nhau giữa 2 công thức. Từ đó, chúng ta có thể ghi nhớ chúng một cách nhanh hơn với câu thần chú để tính khoảng cách giữa 2 điểm bất kì trong mặt phẳng không gian là: “căn bật 2 tổng bình phương cuối trừ đầu”. Mặt phẳng \(\left( P \right):ax + by + cz + d = 0\) có một VTPT là: Mặt phẳng \(\left( P \right):ax - by - cz - d = 0\) có một VTPT là: |
