Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình là: Show
(x - 1)2 + (y + 2)2 + (z + 3)2 = 25 Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S) A. I(1; -2; -3); R = 25 B. I(-1; 2; 3); R = 5 C. I(-1; 2; 3); R = 25 D. I(1; -2; -3); R = 5 Đáp án A Ba điểm A, M, B nằm trên mặt cầu (S) thỏa mãn điều kiện = 90° Nên tam giác AMB vuông tại M. Ta có: Dấu bằng xáy ra khi và chỉ khi tam giác MAB vuông cân tại M và AB là một đường kính của mặt cầu (S). Vậy đáp án đúng là A.
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz \), cho mặt cầu \( \left( S \right) \) có phương trình \( \left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z + 5 = 0 \). Tính diện tích mặt cầu \( \left( S \right) \).
A. B. C. D. Trang chủ Sách ID Khóa học miễn phí Luyện thi ĐGNL và ĐH 2023
Cách viết phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz là chủ đề quan trọng trong chương trình toán học 12. Trong nội dung bài viết dưới đây, hãy cùng DINHNGHIA.VN tìm hiểu về cách viết phương trình mặt cầu trong không gian cũng như các dạng bài tập về viết phương trình mặt cầu, cùng tìm hiểu nhé!. Định nghĩa mặt cầu là gì? Lý thuyết phương trình mặt cầuKhái niệm mặt cầu là gì?Mặt cầu được định nghĩa khi với điểm O cố định cùng với một số thực dương R. Khi đó thì tập hợp tất cả những điểm M trong không gian cách O một khoảng R sẽ được gọi là mặt cầu tâm O và bán kính R. Ký hiệu: S(O;R)  Các dạng phương trình mặt cầuCách viết phương trình mặt cầu trong không gian OxyzTrong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu I(a, b, c) bán kính R. Khi đó phương trình mặt cầu tâm I(a,b,c) bán kính R có dạng là: \((x-a)^{2}+(b-y)^{2})+(c-z)^{2}= R^{2}\) Hoặc: \(x^{2}+y^{2}+z^{2}-2ax-2cz+d=0\) với \(a^{2}+b^{2}+c^{2}> d\) Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầuCho mặt cầu (S): \((x-a)^{2}+(b-y)^{2})+(c-z)^{2}= R^{2}\) có tâm I, bán kính R và mặt phẳng (P): Ax+By+Cz+D=0 Ta có khoảng cách d từ mặt cầu (S) đến mặt phẳng (P):
Điểm H được gọi là tiếp điểm. Mặt phẳng (P) được gọi là tiếp diện. Xem thêm >>>: Viết phương trình mặt phẳng trong không gian Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầuCho mặt cầu (S): \((x-a)^{2}+(b-y)^{2})+(c-z)^{2}= R^{2}\) có tâm I, bán kính R và đường thẳng \(\Delta\) Ta có khoảng cách d từ mặt cầu (S) đến đường thẳng \(\Delta\):
Xem thêm >>> Viết phương trình đường thẳng trong không gian Oxyz Các dạng bài tập về viết phương trình mặt cầuDạng 1: Viết phương trình mặt cầu biết tâm và bán kínhViết phương trình mặt cầu (S) có tâm \(I (x_{0}, y_{0}, z_{0})\) và bán kính R. Thay tọa độ I và bán kính R vào phương trình, ta có: (S): \((x – x_{0})^{2} + (y – y_{0})^{2} + (z – z_{0})^{2} = R^{2}\) Ví dụ 2: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(3; -5; -2) và bán kính R = 5 Cách giải Thay tọa độ của tâm I và bán kính R ta có phương trình mặt cầu (S): \((x – 3)^{2} + (y – (-5))^{2} + (z – (-2))^{2} = 5^{2} \Leftrightarrow (x – 3)^{2} + (y + 5)^{2} + (z + 2)^{2} = 25\) Dạng 2: Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính AB cho trước
Ví dụ 2: Lập phương trình mặt cầu (S) có đường kính AB với A(4; −3; 7) và B(2; 1; 3) Cách giải Gọi I là trung điểm của AB, thì mặt cầu (S) có tâm I và bán kính. \(r = \frac{AB}{2} = IA = IB\) Ta có: Vì I là trung điểm của AB nên I có tọa độ \(I(\frac{4+2}{2};\frac{-3+1}{2};\frac{7+3}{2}) \Rightarrow I(3; -1; 5)\) \(\Rightarrow \vec{IA} = (1; -2; 2)\) \(\Rightarrow R = \left | \vec{IA} \right | = \sqrt{1^{2} + (-2)^{2} + 2^{2}} = 3\) Thay tọa độ của tâm I và bán kính R ta có phương trình mặt cầu (S): \((x – 3)^{2} + (y – (-1))^{2} + (z – 5)^{2} = 3^{2} \Leftrightarrow (x – 3)^{2} + (y + 1)^{2} + (z – 5)^{2} = 9\) Dạng 3: Viết mặt cầu (S) qua 3 điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P) cho trước.
Ví dụ 3: Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua 3 điểm A (2;0;1), B (1;0;0), C (1;1;1) và có tâm thuộc mặt phẳng (P): x + y + z – 2 = 0. Cách giải Gọi phương trình tổng quát (S): \(x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\) với \(a^{2} + b^{2} + c^{2} > d\) (1) Mặt cầu (S) có tâm \(I (-a;-b;-c)\) Từ đó ta có hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} 4 + 1 + 4a + 2c + d = 0 & \\ 1 + 2c + d = 0 & \\ 3 + 2a + 2b + 2c + d = 0 & \\ -a -b -c -2 = 0 & \end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 4a + 2c + d = -5 & \\ 2c + d = -1 & \\ 2a + 2b + 2c + d = -3 & \\ a + b +b c = -2 & \end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a = -1 & \\ b = 0 & \\ c = -1 & \\ d = 1 & \end{matrix}\right.\) Vậy mặt cầu (S) có phương trình: \(x^{2} + y^{2} + z^{2} + 1 = 0\) Trên đây là bài tổng hợp kiến thức về viết phương trình mặt cầu trong không gian cũng như các dạng bài tập viết phương trình mặt cầu. Cảm ơn các bạn đã đón đọc. Nếu có góp ý và thắc mắc hãy bình luận bên dưới để chúng mình giải đáp nhé <3 Xem chi tiết qua bài giảng bên dưới:
Xem thêm: Please follow and like us:
|
