Chương 1 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Bài tập  1.1 Đưa cácma trận sauvề dang bậc  thang: 1 −3 2 2 5 6 A =  3 −4 1  B= 1 2 5  2 −5 3 1 3 2     1 2 −3 0 2 −2 2 1 6 0 −1  D =  2 4 −2 2  E =  −3 3 6 −4 3 1 −7 10 2 Bài tập  1.2 Đưa các ma trậnsau về dang  2 2 −1 6 4 2 1 10 13  B =  3 A= 4 4 6 6 0 20 19 4    1 3 −1 2 1  0 11 −5 3     E= 2 D= 2 −5 3 1  3 4 1 1 5 Bài tập  1.3 Xác định  hạng của 3 5 7 A= 1 2 3  1 3 5   1 2 3 4 D= 2 4 6 8  3 6 9 12   1 −1 5 −1  21 1 −2 3   G=  3 −1 8 1  1 3 −9 7  −4 1 −6 C =  1 2 −5  6 3 −4 bậc thang rút gọn: 3 −2 5 1 −1 2 0 4  −5 6 −5 7  2 −1 2 1 4 1 −2 3  6 2 −6 5 ma trận  sau:  1 1 3  B= 2 1 4  1 2 5   4 3 2 2 E= 0 2 1 1  0 0 3 3   1 3 −2 −1  2 5 −2 1   H=  1 1 6 13  −2 −6 8 10 Bài tập 1.4 Xác định sự tồn tại nghiệm của mỗi hệ sau: 1   1 −2 3 1 1 4 −1 C= 1 2 5 9 −2  0 1 3 −2  0 4 −1 3 F =  0 0 1 1 0 5 −3 4   1 1 −3 C =  −1 0 2  −3 5 0   1 2 3 6 F = 2 3 1 6  3 1 2 6  2 3  8     Chương 1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 2   x1 2x1 a.  6x  1 x1    3x1 b.    5x1  x1    c. −x1        x1 d. 2x1    2x1 + 2x2 − + 4x2 − + 13x2 − + x2 + + 2x2 + x2 + + 4x2 + − 6x2 x2 − + 6x2 + − x2 + 2x2 − + 2x2 − + 5x2 − + 4x2 − 3x3 = −5 6x3 + x4 = −8 17x3 + 4x4 = −21 x3 + x4 + x5 = 7 x3 + x4 − 3x5 = −2 2x3 + 2x4 + 6x5 = 23 3x3 + 3x4 − x5 = 12 =5 4x3 + x4 = 0 x3 + 5x4 = 3 5x3 + 4x4 = 0 2x3 + 2x5 = 2 3x3 + x4 + 4x5 = 1 7x3 + 3x4 + 10x5 = 5 5x3 + 3x4 + 8x5 = 3 Bài tập 1.5 Biện luận các hệ phương trình cho bởi ma trận đầy đủ sau đây theo tham số a, b, c, d.   2 4 −3 6  7 2  a. 0 b 0 0 a a  1 −1 4 −2 5  0 1 2 3 4   b.   0 0 d 5 7  0 0 0 cd c  Bài tập 1.6 Viết ra nghiệm của hệ có ma trận đầy đủ tương đương hàng với mỗi ma trận sau:     1 −2 0 0 7 −3 1 0 −5 0 −8 3  0  0 1 1 0 0 −3 4 −1 0 6  1    a. A =  b. B =   0   0 0 1 5 −4 0 0 0 0 1 0  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0     1 0 −2 0 0 0 1 0 0 8 −3  0 1  0 1 0 6 −3 −2 7  4 −6     c. C =  d. D =  0 0  0 0 1 −7 0 1 0 −5  5  0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 Bài tập  1.7  2x1 3x1 a.  9x1  2x1    4x1 b. 4x1    2x1 Giải các hệ phương trình sau bằng phương  pháp Gauss: + 7x2 + 3x3 + x4 = 6  x1 + x2 − + 5x2 + 2x3 + 2x4 = 4 2x1 + 3x2 + e.  + 4x2 + x3 + 7x4 = 14 5x1 + 7x2 +  + 5x2 + x3 + 3x4 = 2 x1 + 2x2 +    + 6x2 + 3x3 + 5x4 = 4 2x1 + x2 + f. + 14x2 + x3 + 7x4 = 4 3x1 + 2x2 +    − 3x2 + 3x3 + 3x4 = 7 4x1 ‘ + 3x2 + 2x3 3x3 4x3 3x3 2x3 x3 2x3 + − + + + + + 3x4 x4 x4 4x4 3x4 2x4 x4 = = = = = = = 4 3 5 5 1 1 −5 3  2x1    3x1 c. 5x1    2x1  −x1    2x1 d. 5x1    4x1 Bài tập 1.8   ax1 x1 a.  x1 + x2 − 2x2 + x2 − x2 − x3 + 2x3 − x3 + x3 + x4 − 3x4 + 2x4 − 3x4 = 0 = 2 = −2 = 4 + x2 + x2 + 3x2 + 3x2 + x3 + 2x3 + 3x3 + 2x3 + x4 + 3x4 + 5x4 + x4 = 4 = 1 = 2 = −5  x1      3x1 x1 g.   2x    1  x1 2x1    x1 h. x1    2x1 + + + + + + + + + 2x2 2x2 x2 3x2 x2 x2 3x2 x2 3x2 Biện luận theo a, b, c, d số nghiệm của hệ  phương trình x + 2y   + x2 + x3 + x4 = 1  2x − y + ax2 + x3 + x4 = a b. 3x + y   + x2 + ax3 + x4 = b  x − 3y Bài tập 1.9 Xác định m để hệ phương trình sau có  x1 − 2x2 + x3 +    2x1 + x2 − x3 + x1 − x2 + 2x3 −    4x1 − 2x2 + 2x3 + 3x3 + x3 + x3 − x3 + x3 + x3 + 5x3 − 3x3 + + − + 2z z z 5z = 14 = 10 = 6 = 5 = 3 = 2 = 5 = −7 = 14 =a =b =c =d nghiệm: x4 = 1 2x4 = 0 3x4 = −2 =m Bài tập 1.10 Giải các hệ thuần nhất sau:   3x1     x1 + 2x2 − 3x3 = 0 2x1 2x1 + 5x2 − 2x3 = 0 a. b. x1    3x1 − x2 − 4x3 = 0  x1   x1 + 2x2 − x3 = 0    x1  2x1 + 5x2 + 2x3 = 0 3x1 d. c. x1 + 4x2 + 7x3 = 0    4x1  x1 + 3x2 + 3x3 = 0 − 2x2 − 5x3 − 3x2 + x3 + 2x2 − x2 − 4x3 + x4 + 5x4 − 4x4 + 9x4 = = = = 0 0 0 0 − 2x2 + 3x3 − 2x4 = 0 − 7x2 − 2x3 + 4x4 = 0 + 3x2 + 5x3 + 2x4 = 0 4 Chương 1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Chương 2 MA TRẬN Bài tập 2.1 Thực hiện các phép tính:     1 −1 2 1 2 3 và B = a. A + B với A = 0 3 −5 4 5 6   1 −2 3 b. 3A và −5A với A = 4 5 −6     3 0 2 1 −2 3 và B = c. 2A − 3B với A = −7 1 8 4 5 −6 d. 5A − 2B; 2A + 3B; A(BC); (AB)C; AT ; B T ; AT B T ; A2 ; AC biết       1 −3 4 5 0 1 2 ; C= ; B= A= 2 6 −5 −6 7 3 −4  1 2 0 e. AA và A A biết A = 3 −1 4       x y x 6 4 x+y Bài tập 2.2 Tìm x, y, z, w biết: 3 = + z w −1 2w z+w 3   1 2 tìm ma trận B ∈ M2×3 sao cho AB = 0 Bài tập 2.3 Cho A = 3 6 T T  Bài tập 2.4 Cho các ma trận       1 −3 0 1 1 −2 2 0 −2 A= 4 5 1 ,B =  3 0 4  , C =  4 7 −5  3 8 0 −1 3 2 1 0 −1 Gọi D = [dij ] = 2AB +C 2 không tính toàn bộ ma trận D mà hãy tính cụ thể mỗi phần tử: a. d11 b. d21 c. d32 5 Chương 2. MA TRẬN 6 Bài tập 2.5 Cho A =  1 5 −1 3  ;B =  −1 3 4 3 5 2      1 4 4 3 2 1 3  ; D =  −1 0 1 2  ;C =  1 4 −3 2 1 0 3 a. Hãy tính các tích sau đây hoặc giải thích tại sao chúng không tồn tại: AB; BA; AC; DC; CD; C T D b. Kiểm tra rằng A(BC) = (AB)C và (AB)T = B T AT . c. Không thực hiện phép tính, hãy tìm D T C Bài tập 2.6         3 3 −5 3 −6 15 Cho A =  0 −1 −1  và x =  −1  , y =  0  , z =  3  −2 −4 −4 −4 4 9 a. Tính các tích Ax, Ay, Az b. Dùng kết quả câu a) để tính tích A  x y z  Bài tập 2.7 Tìm ma trận nghịch đảo của mỗi ma trận sau:    1 3 −2 A =  2 8 −3 ; B =  1 7 1    1 1 1 1 1  0  0 1 1 1    D=  0 0 1 1 ; E =  1 1 0 0 0 1    1 −1 1 −2 0 2 −3 ; C =  2 −3 1  2 1 1 1 5   2 1 0 1 0   3 2 0 −1 1  ; F =  1 1 3 1 −2  2 −1 2 −2 4   a b Bài tập 2.8 Tìm ma trận nghịch đảo của A = c d     3 5 1 1 Ứng dụng: A = ; B= . 2 3 2 3   −1 −5 −7 5 6  là ma trận khả nghịch. Bài tập 2.9 Cho A =  2 1 3 4 −1 Không tìm toàn bộ ma trận A chỉ tìm 2 5 0 2 1 3 4 a. c3 (A−1 ) b. đồng thời hai cột, c1 (A−1 ) và c2 (A−1 )    2 x1 −1    c. h2 (A ), từ đó suy ra giá trị x2 của hệ A x2 = 1  1 x3   0 0   4  3 7 Bài tập 2.10 Tìm điều kiện của tham số để các ma trận sau khả nghịch, sau đó tìm ma trận nghịch đảo tương ứng của nó:     1 −3 2 1 0 p a.  3 −7 m + 5  ; b.A =  1 1 0  −m 2m 1 2 1 1   2 −1 1 1 1 . Hãy tìm B −1 , từ đó giải hệ phương Bài tập 2.11 Cho ma trận B =  0 1 −1 −1       2 2 4 trình Bx = d với i)d =  3  , ii)d = 3  3  , iii)d =  −2  −1 −1 3 Bài tập 2.12 Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp ma trận nghịch   x1 + x2 + x3 + x4    x1 + x2 − 3x3 = −2  x1 + x2 − x3 − x4 x1 + 2x2 − 3x3 = 6 a. b. x   1 − x2  2x1 + 4x2 − 5x3 = −6  x3 − x4  x1 + x2 + x3 + x4 = −1    x1 + x2 − x3 − x4 = 1 c. x  1 − x2 + x3 − x4 = −1   x1 − x2 − x3 + x4 = 1 Bài tập  trình  phương  2.13 Giải các 3 5 1 2 .X = a. 5 9 3 4      14 5 6 3 −1 = .X. c. 9 7 8 5 −2    13 −8 −12 1 2    e. X. 12 −7 −12 = 4 5 6 −4 −5 7 8 ma trận sau đây: b. X.   1 16  3 d. 10 2  3 6  9 3 −2 5 −4  =   −1 2 −5 6   đảo: = 1 = 1 = −1 = −1  2 −3 1 −3 0 2 −4  .X =  10 2 7  −1 0 10 7 8 8 Chương 2. MA TRẬN Chương 3 ĐỊNH THỨC Bài tập 3.1 Không khai triển, hãy sử dụng tính chất để tính định thức của mỗi ma trận sau:       1 3 0 5 7 1 2 1 −5 0 1 5 1  0 3 1 2 3      2 −1 1 −1  1   ; C =  2 4 0    0 0 4 1 0 ; B = A=     3 0 1 6 0 1 0 1   0 0 0 −1 8  1 2 1 −5 3 −2 4 −2 0 0 0 0 3   1 3 4 −5 7  3 3 1 2 0    0 0  D=   2 −1 4  5 3 0 0 0  −2 0 0 0 0 Bài tập 3.2 Tính các định thức sau bằng cách khai triển theo hàng hay theo cột được chọn một cách hợp lí nhất: 6 3 2 4 1 −2 5 2 9 0 −4 1 8 1 6 2 3 2 0 0 3 0 6 7 0 2 ; D3 = ; D4 = 8 −5 D1 = 3 0 1 ; D2 = 4 5 0 4 4 3 0 0 0 3 −2 5 9 6 3 2 −6 −7 5 4 2 3 2 Bài tập 3.3 Viết ra ma trận phụ hợp C = Cof (A) của mỗi ma trận A sau đây rồi kiểm tra lại công thức: AC T = (detA)I       3 2 1 2 3 4 2 −1 −2 0 3  a. A =  4 5 2 ; b. A =  5 6 7 ; c.A =  1 2 1 4 8 9 1 3 −1 0 Bài tập 3.4 Chứng minh rằng: ′ ′ ′ a11 + a11 a12 + a12 · · · a1n + a1n a21 a22 ··· a2n .. .. .. .. . . . . an1 an2 ··· ann ′ = ′ ′ a11 a12 · · · a1n a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n a21 a22 · · · a2n .. + .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . . an1 an2 · · · ann an1 an2 · · · ann 9 0 0 1 0 0 Chương 3. ĐỊNH THỨC 10 Bài tập 3.5 Tính định thức của mỗi ma trận sau:   a.A =    d.D =  1 2 3 4 2 3 4 1 a b a+b   4 1  ; 2  3  b a+b a+b a  a b 1  2 b.B =   4  −5 a e.E =  a + x a+y 3 4 1 2 Bài tập 3.6 Tính các định thức sau đây: a. 1−λ 3 2 2 1−λ 3 3 2 1−λ b.  −2 0 2 −5 3 2   1 1 0  0 −4 −4  b c b + x c + x ; b+y c+y   c.C =    f.F =   2 −3 1 0 −5 8 2 1   1 −4 −2 0  2 −1 4 0  a + b ab a2 + b2 b + c bc b2 + c2  c + a ca c2 + a2 2−λ 0 0 2−λ 5 −1 ; c. −2 3 − λ −1 2 −1 − λ 5 3 −2 2 − λ 2 2 2−λ Bài tập 3.7 Tìm t để ma trận sau khả nghịch bằng cách tính định thức       t−2 4 3 t−1 3 −3 t + 3 −1 1 t + 1 −2 ; b.  −3 t + 5 −3 ; c.  7 t−5 1  a.  1 0 0 t−4 −6 6 t−4 6 −6 t + 2 Bài tập 3.8 Chứng minh rằng: a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3 a. a1 b1 a1 x + b1 y + c1 a2 b2 a2 x + b2 y + c2 a3 b3 a3 x + b3 y + c3 = b. a1 + b1 x a1 − b1 x c1 a2 + b2 x a2 − b2 x c2 a3 + b3 x a3 − b3 x c3 a1 b1 c1 = −2x a2 b2 c2 a3 b3 c3 1 a bc c. 1 b ca 1 c ab = (b−a)(c−a)(c−b) Bài tập 3.9 Tìm các ma trận nghịch đảo bằng 2 cách ( phương pháp lập ma trận khối 1 (A|In ) và phương pháp ma trận phụ hợp A−1 = (Cof (A))T ): detA         1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 1 2 3    1 1 −1 −1  ; D =  1 1 −1 −1  A =  1 −1 0 ; B =  2 3 4 ; C =   1 −1 1 −1   1 −1 0 0  2 −1 0 1 5 7 1 −1 −1 1 0 0 1 −1 Bài tập  3.10 2x1    x1 a. x1    2x1  2x1    5x1 c. 3x1    2x1 Không giải hệ phương trình, tìm nhanh x2 bằng hai cách 5x1 − x2 + + x2 + x3 = 2    3x1 − 2x2 + + 3x2 + x3 = 5 b. 3x + x2 + 5x3 = −7  1 + 2x2 +   2x1 − x2 + + 3x2 − 3x3 = 14  − x2 + x3 − 3x4 = 4 −x1 + x2 +    − x2 + x3 − 2x4 = 2 2x1 + 2x2 + d. + 2x2 + 2x3 − 3x4 = 2 3x1 + x2 +    − 3x2 + 3x3 − 7x4 = 8 4x1 + 2x2 + x3 2x3 2x3 x3 − − + − 2x4 3x4 5x4 3x4 = 2 = 2 = −6 = 4 x3 x3 2x3 3x3 + x4 + 3x4 + 2x4 + x4 = 4 = 1 = 1 = −5