Đáp án: `(d): 4x +3y-11=0` Giải thích các bước giải: `(C): (x+2)^2 +(y+2)^2 =25` `=> \ tâm I( -2;-2)` Gọi `(d)` là tiếp tuyến của `(C)` tại điểm `M(2;1)` `=> (d) ⊥ IM` `=> IM = (4;3)` là vecto pháp tuyến của `(d)` `=> (d): 4(x-2) + 3(y-1)=0` `<=> 4x +3y -11=0` Vậy `(d): 4x +3y-11=0`
Các dạng bài tập điển hình về phương trình tiếp tuyến của đường tròn
Các dạng bài tập điển hình về phương trình tiếp tuyến của đường tròn
PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN A. Lý thuyết I. Tiếp tuyến tại một điểm \[{{M}_{0}}\left( {{x}_{0}},\text{ }{{y}_{0}} \right)\] thuộc đường tròn. Ta dùng công thức tách đôi tọa độ. - Nếu phương trình đường tròn là: \[{{x}^{2}}~+\text{ }{{y}^{2}}-~2ax~-~2by\text{ }+\text{ }c\text{ }=\text{ }0\] thì phương trình tiếp tuyến là: \[x{{x}_{0}}~+\text{ }y{{y}_{0}}-~a\left( x\text{ }+\text{ }{{x}_{0}} \right)~-~b\left( y\text{ }+\text{ }{{y}_{0}} \right)\text{ }+\text{ }c\text{ }=\text{ }0\] - Nếu phương trình đường tròn là: \[{{\left( x~-~a \right)}^{2}}~+\text{ }{{\left( y~-~b \right)}^{2}}~=\text{ }{{R}^{2}}\] thì phương trình tiếp tuyến là: \[\left( x~-~a \right)\left( {{x}_{0}}-~a \right)\text{ }+\text{ }\left( y~-~b \right)\left( {{y}_{0}}-~b \right)\text{ }=\text{ }{{R}^{2~}}\] (h.73) II. Tiếp tuyến vẽ từ một điểm \[I\left( {{x}_{0}},\text{ }{{y}_{0}} \right)~\] cho trước ở ngoài đường tròn. Viết phương trình của đường qua \[I\left( {{x}_{0}},\text{ }{{y}_{0}} \right)\]:\[y~-~{{y}_{0}}~=\text{ }m\left( x~-~{{x}_{0}} \right)~\Leftrightarrow mx~-~y~-~m{{x}_{0}}~+\text{ }{{y}_{0}}~=\text{ }0~\text{ }~~~~~\] (1) Cho khoảng cách từ tâm I của đường tròn (C) tới bằng R, ta tính được m; thay m vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến.* Ghi chú: Ta luôn luôn tìm được hai đường tiếp tuyến. (h. 74) III. Tiếp tuyến song song với một phương cho sẵn có hệ số góc k.Phương trình của có dạng:\[y\text{ }=\text{ }kx\text{ }+\text{ }m\] (m chưa biết) \[~\Leftrightarrow ~kx~-~y\text{ }+\text{ }m\text{ }=\text{ }0\] Cho khoảng cách từ tâm I đến (D) bằng R, ta tìm được m. * Ghi chú: Ta luôn luôn tìm được hai đường tiếp tuyến (h.75) B. Bài tập vận dụng
Giải: a) $\left( C \right)$ có tâm $I\left( -1;2 \right);$ bán kính $R=\sqrt{5}$ b) Gọi $\Delta $ là tiếp tuyến cần tìm $\Delta $ đi qua $A\left( 1;1 \right)$ và nhận $\overrightarrow{IA}=\left( 2;-1 \right)$ làm vtpt Phương trình của $\Delta $ là: $2\left( x-1 \right)-1\left( y-1 \right)=0\Leftrightarrow 2x-y-1=0$ c) + Gọi $\Delta $ là phương trình tiếp tuyến của đường tròn với vtpt $\vec{n}=\left( a;b \right)$ Phương trình $\Delta :\quad a\left( x-4 \right)+b\left( y-7 \right)=0\quad \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ne 0 \right)$ $\Leftrightarrow ax+by-4a-7b=0$ + $\left( C \right)$ tiếp xúc với tức là:+ Chọn $b=1\Rightarrow \left( * \right)$ trở thành: + Với \[a=-\frac{1}{2}\], pttt phải tìm là: $x-2y+10=0$ Với $a=-2$, pttt phải tìm là: $2x-y-1=0$ d) $\Delta //d:3x+4y+1=0\Rightarrow $phương trình $\Delta $ có dạng: $3x+4y+c=0$ $\Delta $ tiếp xúc với Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là: ${{\Delta }_{1}}:3x+4y+5\sqrt{5}-5=0;{{\Delta }_{2}}:3x+4y-5\sqrt{5}-5=0$ e) $\Delta \bot d:2x+y-3=0\Rightarrow $ phương trình $\Delta $ có dạng: $x-2y+c=0$ $\Delta $ tiếp xúc với Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là: ${{\Delta }_{1}}:x-2y+10=0;{{\Delta }_{2}}:x-2y=0$
Giải: + Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( 2;1 \right);bk\text{ }R=2\sqrt{5}$ + Gọi $\Delta $ là tiếp tuyến của đường tròn + Đường thẳng $\Delta $ có hệ số góc bằng 2 nên pt $\Delta $ có dạng: $y=2x+m\Leftrightarrow 2x-y+m=0$ + Đường thẳng $\Delta $ là tiếp tuyến của đường tròn Vậy có 2 tiếp tuyến cần tìm là: ${{\Delta }_{1}}:2x-y+7=0;{{\Delta }_{2}}:2x-y-13=0$
Giải: + Giả sử tiếp tuyến $\Delta $ có phương trình: \[ax+by+c=0\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ne 0 \right)\] (1) $\Delta $ là tiếp tuyến của + $\Delta$ tạo với $d$ một góc ${{45}^{0}}$ Với $c=14b$ thay vào (1) ta được: $-3bx+by+14b=0\Leftrightarrow -3x+y+14=0$ Với $c=-6b$ thay vào (1) ta được: $-3bx+by-6b=0\Leftrightarrow 3x-y+6=0$ + Với $a=\frac{b}{3}$, giải tương tự C. Bài tập rèn luyện Câu 1: Trong các pt sau, pt nào là pt đường tròn, chỉ rõ tâm và bán kính: a) ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x-4y-4=0$ b) ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x+6y+12=0$ c) $-{{x}^{2}}-{{y}^{2}}-2x-y-1=0$ d) $2{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x-2y-2=0$ e) ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x-2y-2=0$ Câu 2: Lập phương trình đường tròn trong các trường hợp sau: a) Tâm $I\left( 1;-3 \right);$ bán kính $R=1$ b) Đi qua điểm $A\left( 3;4 \right)$ và tâm là gốc tọa độ c) Đường kính $AB$ với $A\left( 1;1 \right)$ và $B\left( 3;5 \right)$ d) Đi qua điểm $A\left( 3;1 \right);B\left( 5;5 \right)$ và tâm I nằm trên trục tung. e) Đi qua ba điểm $A\left( 7;1 \right);B\left( -3;-1 \right);C\left( 3;5 \right)$ f) Tâm $I\left( 5;6 \right)$ và tiếp xúc với đường thẳng $d:3x-4y-6=0$ g) Tâm $I\left( 1;3 \right)$ và đi qua điểm $A\left( 3;1 \right)$ h) Tâm $I\left( -2;0 \right)$ và tiếp xúc với đường thẳng $d:2x+y-1=0$ i) Đi qua điểm $M\left( 2;1 \right)$ và tiếp xúc với hai trục tọa độ j) Đi qua hai điểm $M\left( 1;1 \right);N\left( 1;4 \right)$ và tiếp xúc với trục Ox k) Đi qua điểm $A\left( 3;1 \right);B\left( 5;5 \right)$ và tâm I nằm trên trục hoành Ox l) Đi qua điểm $A\left( 0;1 \right);B\left( 1;0 \right)$ và tâm I nằm trên $d:x+y+2=0$ m) Đi qua 3 điểm $A\left( 1;1 \right);B\left( 3;-2 \right);C\left( 4;3 \right)$ (gợi ý: tam giác ABC vuông tại A) n) Đi qua 3 điểm $A\left( 1;\frac{\sqrt{3}}{3} \right);B\left( 1;-\frac{\sqrt{3}}{3} \right);C\left( 0;0 \right)$ (gợi ý tam giác ABC đều) o) $\left( C \right)$ đi qua điểm $M\left( 4;2 \right)$ và tiếp xúc với các trục tọa độ. Câu 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4$ trong mỗi trường hợp sau: a) Tiếp tuyến song song với $d:3x-y+17=0$ b) Tiếp tuyến vuông góc với $d:x+2y-5=0$ c) Tiếp tuyến đi qua điểm $A\left( 2;-2 \right)$ Câu 4: Cho điểm $M\left( 2;3 \right)$. Lập pt tiếp tuyến của đường tròn $\left( C \right)$ đi qua điểm M a) $\left( C \right):{{\left( x-3 \right)}^{2}}+\left( y-1 \right)=5$ b) $\left( C \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x+2y-11=0$ Câu 5: Kiểm lại rằng điểm \[{{M}_{0}}\left( 1;-2 \right)\]ở trên đường (C) có phương trình: \[{{x}^{2}}~+\text{ }{{y}^{2}}-~10x\text{ }+\text{ }4y\text{ }+\text{ }13\text{ }=\text{ }0\] . Tìm phương trình tiếp tuyến với (C) tại M0. Câu 6: Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C): \[{{x}^{2}}~+\text{ }{{y}^{2}}-~4x~-~3y\text{ }=\text{ }0\] phát xuất từ \[A\left( -3;-1 \right).\] Câu 7: Cho đường tròn (C) có phương trình: \[{{x}^{2}}~+\text{ }{{y}^{2}}-~6x\text{ }+\text{ }2y\text{ }+\text{ }5\text{ }=\text{ }0\] . Tìm phương trình tiếp tuyến với (C) có hệ số góc là -2; định rõ tọa độ các tiếp điểm. Câu 8: Cho đường tròn (C), điểm A và đường thẳng d. \[\left( C \right):\text{ }{{x}^{2}}~+\text{ }{{y}^{2}}~+\text{ }4x\text{ }\text{ }8y\text{ }+\text{ }10\text{ }=\text{ }0,~\text{ }A\left( 2;\text{ }2 \right),~~~\text{ }d:\text{ }x\text{ }+\text{ }2y\text{ }\text{ }6\text{ }=\text{ }0\] a. Chứng tỏ điểm A ở ngoài (C). b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) kẻ từ A. c. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với d. d. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với d. Đáp số gợi ý Câu 2: a. ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}=1$ b. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=25$ c. ${{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}=5$ d. ${{x}^{2}}+{{\left( y-5 \right)}^{2}}=25$ e. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x-22=0$ f. ${{\left( x-5 \right)}^{2}}+{{\left( y-6 \right)}^{2}}=9$ g. ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}=8$ h. ${{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=5$ i. ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=\frac{25}{4};{{\left( x-5 \right)}^{2}}+{{\left( y-5 \right)}^{2}}=25$ j. ${{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-\frac{5}{2} \right)}^{2}}=\frac{25}{4};{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-\frac{5}{2} \right)}^{2}}=\frac{25}{4}$ k.${{\left( x-10 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=50$ l. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x+2y-3=0$ m.${{\left( x-\frac{7}{2} \right)}^{2}}+{{\left( y-\frac{1}{2} \right)}^{2}}=\frac{13}{2}$ n.${{\left( x-\frac{2}{3} \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=\frac{4}{9}$ o.${{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}=4;{{\left( x-10 \right)}^{2}}+{{\left( y-10 \right)}^{2}}=100$ Câu 3: a) $3x-y+2\sqrt{10}=0;3x-y-2\sqrt{10}=0$ b) $2x-y+2\sqrt{5}=0;2x-y-2\sqrt{5}=0$ c) $y+2=0;x-2=0$ Câu 4: a) $x-2y+8=0$; b) $y-3=0$ Bài viết gợi ý: |