Hướng dẫn multi exponential fit python - trăn phù hợp đa hàm mũ

Vấn đề của bạn có thể dễ dàng được giải quyết bằng cách chia bộ dữ liệu của bạn bằng cách sử dụng một tiêu chí đơn giản như ước tính phái sinh đầu tiên và sau đó chúng tôi có thể áp dụng quy trình lắp đường cong đơn giản cho mỗi bộ dữ liệu phụ.

Bộ dữ liệu dùng thử

Trước tiên, hãy nhập một số gói và tạo một bộ dữ liệu tổng hợp với ba đường cong để thể hiện vấn đề của bạn.

Chúng tôi sử dụng hai tham số mô hình hàm mũ vì sự thay đổi gốc thời gian sẽ được xử lý bằng phương pháp phân tách. Chúng tôi cũng thêm tiếng ồn vì luôn có tiếng ồn trên dữ liệu trong thế giới thực:

import numpy as np
import pandas as pd
from scipy import optimize
import matplotlib.pyplot as plt

def func(x, a, b):
    return a*np.exp(b*x)

N = 1001
n1 = N//3
n2 = 2*n1

t = np.linspace(0, 10, N)

x0 = func(t[:n1], 1, -0.2)
x1 = func(t[n1:n2]-t[n1], 5, -0.4)
x2 = func(t[n2:]-t[n2], 2, -1.2)

x = np.hstack([x0, x1, x2])
xr = x + 0.025*np.random.randn(x.size)

Về mặt đồ họa, nó hiển thị như sau:

Dataset chia tách

Chúng ta có thể chia bộ dữ liệu thành ba loại nhiệt phụ bằng cách sử dụng một tiêu chí đơn giản như ước tính phái sinh đầu tiên bằng cách sử dụng sự khác biệt đầu tiên để đánh giá nó. Mục tiêu là phát hiện khi đường cong tăng hoặc xuống (trong đó bộ dữ liệu nên được phân chia. Đạo hàm đầu tiên được ước tính như sau):

dxrdt = np.abs(np.diff(xr)/np.diff(t))

Tiêu chí yêu cầu một tham số bổ sung (ngưỡng) phải được điều chỉnh phù hợp với thông số kỹ thuật tín hiệu của bạn. Tiêu chí tương đương với:

xcrit = 20
q = np.where(dxrdt > xcrit) # (array([332, 665], dtype=int64),)

Và chỉ số chia là:

idx = [0] + list(q[0]+1) + [t.size] # [0, 333, 666, 1001]

Chủ yếu là ngưỡng tiêu chí sẽ bị ảnh hưởng bởi bản chất và sức mạnh của nhiễu trên dữ liệu của bạn và độ lớn khoảng cách giữa hai đường cong. Việc sử dụng phương pháp này phụ thuộc vào khả năng phát hiện khoảng cách đường cong với sự hiện diện của tiếng ồn. Nó sẽ bị hỏng khi công suất nhiễu có cùng độ lớn của khoảng cách mà chúng ta muốn phát hiện. Bạn cũng có thể quan sát chỉ số phân chia sai nếu tiếng ồn được đuôi nặng (một vài ngoại lệ mạnh).

Trong MCVE này, chúng tôi đã đặt ngưỡng thành

    n0    n1    t0         a         b       s_a           s_b      s_ab
0    0   333  0.00  0.998032 -0.199102  0.000011  4.199937e-06 -0.000005
1  333   666  3.33  5.001710 -0.399537  0.000013  3.072542e-07 -0.000002
2  666  1001  6.66  2.002495 -1.203943  0.000030  2.256274e-05 -0.000018

Một giải pháp thay thế cho tiêu chí thủ công thủ công này là để ủy thác nhận dạng cho phương pháp

    n0    n1    t0         a         b       s_a           s_b      s_ab
0    0   333  0.00  0.998032 -0.199102  0.000011  4.199937e-06 -0.000005
1  333   666  3.33  5.001710 -0.399537  0.000013  3.072542e-07 -0.000002
2  666  1001  6.66  2.002495 -1.203943  0.000030  2.256274e-05 -0.000018

    n0    n1    t0         a         b       s_a           s_b      s_ab
0    0   333  0.00  0.998032 -0.199102  0.000011  4.199937e-06 -0.000005
1  333   666  3.33  5.001710 -0.399537  0.000013  3.072542e-07 -0.000002
2  666  1001  6.66  2.002495 -1.203943  0.000030  2.256274e-05 -0.000018

Bộ dữ liệu thay đổi nguồn gốc phù hợp

Bây giờ chúng ta có thể áp dụng đường cong phù hợp trên mỗi bộ dữ liệu phụ (với thời gian thay đổi gốc), thu thập các tham số và thống kê và vẽ kết quả:

trials = []
fig, axe = plt.subplots()
for k, (i, j) in enumerate(zip(idx[:-1], idx[1:])):
    p, s = optimize.curve_fit(func, t[i:j]-t[i], xr[i:j])
    axe.plot(t[i:j], xr[i:j], '.', label="Data #{}".format(k+1))
    axe.plot(t[i:j], func(t[i:j]-t[i], *p), label="Data Fit #{}".format(k+1))
    trials.append({"n0": i, "n1": j, "t0": t[i], "a": p[0], "b": p[1],
                   "s_a": s[0,0], "s_b": s[1,1], "s_ab": s[0,1]})
axe.set_title("Curve Fits")
axe.set_xlabel("Time, $t$")
axe.set_ylabel("Signal Estimate, $\hat{g}(t)$")
axe.legend()
axe.grid()
df = pd.DataFrame(trials)

Nó trả về các kết quả phù hợp sau:

    n0    n1    t0         a         b       s_a           s_b      s_ab
0    0   333  0.00  0.998032 -0.199102  0.000011  4.199937e-06 -0.000005
1  333   666  3.33  5.001710 -0.399537  0.000013  3.072542e-07 -0.000002
2  666  1001  6.66  2.002495 -1.203943  0.000030  2.256274e-05 -0.000018

Trong đó tuân thủ các tham số ban đầu của chúng tôi (xem phần tập dữ liệu dùng thử).

Về mặt đồ họa, chúng tôi có thể kiểm tra độ tốt của sự phù hợp:

Để phù hợp y = a + b log x, chỉ cần phù hợp với y so với (log x).

Nội dung chính ShowShow

• Ví dụ dữ liệu
• Phương pháp 1: Polyfit
• Phương pháp 2: Curve_fit
• So sánh các phương pháp
• Nội suy và ngoại suy (dự báo/dự đoán/ước tính)
• Sử dụng một lô thanh
• Làm thế nào để bạn tính toán sự phù hợp theo cấp số nhân trong Python?
• Làm thế nào để bạn phù hợp với một đường cong theo cấp số nhân cho dữ liệu?
• Làm thế nào để Curve_fit hoạt động Python?

>>> x = numpy.array([1, 7, 20, 50, 79])
>>> y = numpy.array([10, 19, 30, 35, 51])
>>> numpy.polyfit(numpy.log(x), y, 1)
array([ 8.46295607,  6.61867463])
# y ≈ 8.46 log(x) + 6.62

Hàm đường cong_fit () trả về các giá trị tối ưu cho hàm ánh xạ, ví dụ, các giá trị hệ số.Nó cũng trả về một ma trận hiệp phương sai cho các tham số ước tính, nhưng chúng ta có thể bỏ qua điều đó bây giờ.returns the optimal values for the mapping function, e.g, the coefficient values. It also returns a covariance matrix for the estimated parameters, but we can ignore that for now.

Để phù hợp y = a + b log x, chỉ cần phù hợp với y so với (log x).

Ví dụ dữ liệu

Phương pháp 2: Curve_fit If you want your results to be compatible with these platforms, do not include the weights even if it provides better results.

So sánh các phương pháp

Để lắp y = aebx, hãy lấy logarit của cả hai bên cho log y = log a + bx. Vì vậy, phù hợp (log y) so với x.

>>> x = numpy.array([1, 7, 20, 50, 79])
>>> y = numpy.array([10, 19, 30, 35, 51])
>>> scipy.optimize.curve_fit(lambda t,a,b: a+b*numpy.log(t),  x,  y)
(array([ 6.61867467,  8.46295606]), 
 array([[ 28.15948002,  -7.89609542],
        [ -7.89609542,   2.9857172 ]]))
# y ≈ 6.62 + 8.46 log(x)

Lưu ý rằng việc phù hợp (log y) như thể nó là tuyến tính sẽ nhấn mạnh các giá trị nhỏ của y, gây ra độ lệch lớn cho y lớn. Điều này là do

>>> x = numpy.array([1, 7, 20, 50, 79])
>>> y = numpy.array([10, 19, 30, 35, 51])
>>> scipy.optimize.curve_fit(lambda t,a,b: a+b*numpy.log(t),  x,  y)
(array([ 6.61867467,  8.46295606]), 
 array([[ 28.15948002,  -7.89609542],
        [ -7.89609542,   2.9857172 ]]))
# y ≈ 6.62 + 8.46 log(x)

>>> x = numpy.array([1, 7, 20, 50, 79])
>>> y = numpy.array([10, 19, 30, 35, 51])
>>> scipy.optimize.curve_fit(lambda t,a,b: a+b*numpy.log(t),  x,  y)
(array([ 6.61867467,  8.46295606]), 
 array([[ 28.15948002,  -7.89609542],
        [ -7.89609542,   2.9857172 ]]))
# y ≈ 6.62 + 8.46 log(x)

>>> x = numpy.array([1, 7, 20, 50, 79])
>>> y = numpy.array([10, 19, 30, 35, 51])
>>> scipy.optimize.curve_fit(lambda t,a,b: a+b*numpy.log(t),  x,  y)
(array([ 6.61867467,  8.46295606]), 
 array([[ 28.15948002,  -7.89609542],
        [ -7.89609542,   2.9857172 ]]))
# y ≈ 6.62 + 8.46 log(x)

• Ví dụ dữ liệu
• Phương pháp 1: Polyfit
• Phương pháp 2: Curve_fit
• So sánh các phương pháp
• Nội suy và ngoại suy (dự báo/dự đoán/ước tính)
• Sử dụng một lô thanh

⇦ Quay lại

Làm thế nào để bạn tính toán sự phù hợp theo cấp số nhân trong Python?

y = e (ax)*e (b) trong đó a, b là các hệ số của phương trình theo cấp số nhân đó.Chúng tôi cũng sẽ sử dụng phương thức numpy.polyfit () để lắp đường cong.Hàm này có ba tham số x, y và mức độ đa thức (n) trả về các hệ số của đa thức độ n.(ax)*e(b) where a ,b are coefficients of that exponential equation. We would also use numpy.polyfit() method for fitting the curve. This function takes on three parameters x, y and the polynomial degree(n) returns coefficients of nth degree polynomial.

Làm thế nào để bạn phù hợp với một đường cong theo cấp số nhân cho dữ liệu?

Trên tab Curve Fitter, trong phần dữ liệu, bấm chọn Dữ liệu.Trong hộp thoại Chọn dữ liệu phù hợp, chọn dữ liệu x và dữ liệu y hoặc chỉ là dữ liệu y so với chỉ mục.Nhấp vào mũi tên trong phần FIT TYPE để mở bộ sưu tập và nhấp vào hàm mũ trong nhóm mô hình hồi quy.

Làm thế nào để Curve_fit hoạt động Python?

Hàm đường cong_fit () trả về các giá trị tối ưu cho hàm ánh xạ, ví dụ, các giá trị hệ số.Nó cũng trả về một ma trận hiệp phương sai cho các tham số ước tính, nhưng chúng ta có thể bỏ qua điều đó bây giờ.returns the optimal values for the mapping function, e.g, the coefficient values. It also returns a covariance matrix for the estimated parameters, but we can ignore that for now.\(AB^x = Ae^{x\ln(B)}\)). The important thing to realise is that an exponential function can be fully defined with three constants. We will use the second of these formulations, which can be written in Python as

>>> x = numpy.array([1, 7, 20, 50, 79])
>>> y = numpy.array([10, 19, 30, 35, 51])
>>> scipy.optimize.curve_fit(lambda t,a,b: a+b*numpy.log(t),  x,  y)
(array([ 6.61867467,  8.46295606]), 
 array([[ 28.15948002,  -7.89609542],
        [ -7.89609542,   2.9857172 ]]))
# y ≈ 6.62 + 8.46 log(x)

>>> x = numpy.array([1, 7, 20, 50, 79])
>>> y = numpy.array([10, 19, 30, 35, 51])
>>> scipy.optimize.curve_fit(lambda t,a,b: a+b*numpy.log(t),  x,  y)
(array([ 6.61867467,  8.46295606]), 
 array([[ 28.15948002,  -7.89609542],
        [ -7.89609542,   2.9857172 ]]))
# y ≈ 6.62 + 8.46 log(x)

dxrdt = np.abs(np.diff(xr)/np.diff(t))

dxrdt = np.abs(np.diff(xr)/np.diff(t))

Ví dụ dữ liệu

Phương pháp 1: Polyfit

xcrit = 20
q = np.where(dxrdt > xcrit) # (array([332, 665], dtype=int64),)

Phương pháp 2: Curve_fit

xcrit = 20
q = np.where(dxrdt > xcrit) # (array([332, 665], dtype=int64),)

Phương pháp 1: Polyfit

Phương pháp 2: Curve_fit\(c = 0\), ie when you want to fit a curve with equation \(y = ae^{bx}\) to your data. If you want to fit a curve with equation \(y = ae^{bx} + c\) with \(c \neq 0\) you will need to use method 2.

Phương pháp 2: Curve_fit\(c = 0\), ie when you want to fit a curve with equation \(y = ae^{bx}\) to your data. If you want to fit a curve with equation \(y = ae^{bx} + c\) with \(c \neq 0\) you will need to use method 2.

Nếu bạn có một tập hợp các điểm dữ liệu trông giống như chúng tăng lên nhanh chóng, có thể rất hữu ích khi phù hợp với chúng với một dòng tăng theo cấp số nhân, theo cấp số nhân để mô tả hình dạng chung của dữ liệu:

Dòng mà bạn cần phù hợp để đạt được hình dạng này sẽ là hình ảnh được mô tả bởi hàm hàm mũ, đó là bất kỳ chức năng nào của hình thức:\(f(x) = mx + c\) where:

• \ (y = ab^x + c \)\(f(x) = mx + c\) where:
• hoặc
• \ (y = ae^{bx} + c \)

. Điều quan trọng cần nhận ra là một hàm số mũ có thể được xác định đầy đủ với ba hằng số. Chúng tôi sẽ sử dụng phần thứ hai của các công thức này, có thể được viết bằng Python là

>>> x = numpy.array([1, 7, 20, 50, 79])
>>> y = numpy.array([10, 19, 30, 35, 51])
>>> scipy.optimize.curve_fit(lambda t,a,b: a+b*numpy.log(t),  x,  y)
(array([ 6.61867467,  8.46295606]), 
 array([[ 28.15948002,  -7.89609542],
        [ -7.89609542,   2.9857172 ]]))
# y ≈ 6.62 + 8.46 log(x)

>>> x = numpy.array([1, 7, 20, 50, 79])
>>> y = numpy.array([10, 19, 30, 35, 51])
>>> scipy.optimize.curve_fit(lambda t,a,b: a+b*numpy.log(t),  x,  y)
(array([ 6.61867467,  8.46295606]), 
 array([[ 28.15948002,  -7.89609542],
        [ -7.89609542,   2.9857172 ]]))
# y ≈ 6.62 + 8.46 log(x)

dxrdt = np.abs(np.diff(xr)/np.diff(t))

xcrit = 20
q = np.where(dxrdt > xcrit) # (array([332, 665], dtype=int64),)

Đối với hướng dẫn này, hãy để tạo ra một số dữ liệu giả để sử dụng làm ví dụ. Đây phải là một tập hợp các điểm tăng theo cấp số nhân (nếu không thì những nỗ lực của chúng tôi để phù hợp với một đường cong theo cấp số nhân cho họ đã giành được hoạt động tốt!) Với một số tiếng ồn ngẫu nhiên được đưa vào để bắt chước dữ liệu trong thế giới thực:\(\ln(y)\) against \(x\):

dxrdt = np.abs(np.diff(xr)/np.diff(t))

xcrit = 20
q = np.where(dxrdt > xcrit) # (array([332, 665], dtype=int64),)

xcrit = 20
q = np.where(dxrdt > xcrit) # (array([332, 665], dtype=int64),)

Phương thức này chỉ hoạt động khi \ (c = 0 \), tức là khi bạn muốn lắp một đường cong với phương trình \ (y = ae^{bx} \) với dữ liệu của bạn. Nếu bạn muốn lắp một đường cong với phương trình \ (y = ae^{bx} + c \) với \ (c \ neq 0 \), bạn sẽ cần sử dụng phương pháp 2.

dxrdt = np.abs(np.diff(xr)/np.diff(t))

idx = [0] + list(q[0]+1) + [t.size] # [0, 333, 666, 1001]

dxrdt = np.abs(np.diff(xr)/np.diff(t))

dxrdt = np.abs(np.diff(xr)/np.diff(t))

idx = [0] + list(q[0]+1) + [t.size] # [0, 333, 666, 1001]

Phương pháp 2: Curve_fit

Phương pháp 2: Curve_fit\(c = 0\), ie when you want to fit a curve with equation \(y = ae^{bx}\) to your data. If you want to fit a curve with equation \(y = ae^{bx} + c\) with \(c \neq 0\) you will need to use method 2.

Dòng mà bạn cần phù hợp để đạt được hình dạng này sẽ là hình ảnh được mô tả bởi hàm hàm mũ, đó là bất kỳ chức năng nào của hình thức:\(c \neq 0\)):

dxrdt = np.abs(np.diff(xr)/np.diff(t))

\ (y = ab^x + c \)\(f(x) = mx + c\) where:

dxrdt = np.abs(np.diff(xr)/np.diff(t))

dxrdt = np.abs(np.diff(xr)/np.diff(t))

xcrit = 20
q = np.where(dxrdt > xcrit) # (array([332, 665], dtype=int64),)

dxrdt = np.abs(np.diff(xr)/np.diff(t))

\ (y = ae^{bx} + c \)

. Điều quan trọng cần nhận ra là một hàm số mũ có thể được xác định đầy đủ với ba hằng số. Chúng tôi sẽ sử dụng phần thứ hai của các công thức này, có thể được viết bằng Python là

>>> x = numpy.array([1, 7, 20, 50, 79])
>>> y = numpy.array([10, 19, 30, 35, 51])
>>> scipy.optimize.curve_fit(lambda t,a,b: a+b*numpy.log(t),  x,  y)
(array([ 6.61867467,  8.46295606]), 
 array([[ 28.15948002,  -7.89609542],
        [ -7.89609542,   2.9857172 ]]))
# y ≈ 6.62 + 8.46 log(x)

>>> x = numpy.array([1, 7, 20, 50, 79])
>>> y = numpy.array([10, 19, 30, 35, 51])
>>> scipy.optimize.curve_fit(lambda t,a,b: a+b*numpy.log(t),  x,  y)
(array([ 6.61867467,  8.46295606]), 
 array([[ 28.15948002,  -7.89609542],
        [ -7.89609542,   2.9857172 ]]))
# y ≈ 6.62 + 8.46 log(x)

dxrdt = np.abs(np.diff(xr)/np.diff(t))

dxrdt = np.abs(np.diff(xr)/np.diff(t))

Tiếng ồn ngẫu nhiên đang được thêm vào với hàm

dxrdt = np.abs(np.diff(xr)/np.diff(t))

dxrdt = np.abs(np.diff(xr)/np.diff(t))

xcrit = 20
q = np.where(dxrdt > xcrit) # (array([332, 665], dtype=int64),)

So sánh các phương pháp

Hãy để âm mưu cho cả ba phương thức với nhau bằng cách sử dụng cùng một dữ liệu ví dụ (\ (c = 0 \)) cho mỗi phương pháp:\(c = 0\)) for each:\(c = 0\)) for each:

dxrdt = np.abs(np.diff(xr)/np.diff(t))

Như bạn có thể thấy, phương pháp

dxrdt = np.abs(np.diff(xr)/np.diff(t))

Nội suy và ngoại suy (dự báo/dự đoán/ước tính)

Chúng tôi có thể sử dụng đường cong được trang bị để ước tính dữ liệu của chúng tôi sẽ là gì cho các giá trị khác của \ (x \) không có trong bộ dữ liệu thô của chúng tôi: giá trị sẽ ở mức \ (x = 11 \) (nằm ngoài miền của chúng tôi và Do đó, yêu cầu chúng tôi dự báo trong tương lai) hoặc \ (x = 8,5 \) (nằm trong miền của chúng tôi và do đó yêu cầu chúng tôi 'điền vào khoảng cách' trong dữ liệu của chúng tôi)? Để trả lời những câu hỏi này, chúng tôi chỉ cần cắm các giá trị X này làm số vào phương trình của đường cong được trang bị:\(x\) that are not in our raw dataset: what would the value be at \(x=11\) (which is outside our domain and thus requires us to forecast into the future) or \(x = 8.5\) (which is inside our domain and thus requires us to ‘fill in a gap’ in our data)? To answer these questions, we simply plug these x-values as numbers into the equation of the fitted curve:\(x\) that are not in our raw dataset: what would the value be at \(x=11\) (which is outside our domain and thus requires us to forecast into the future) or \(x = 8.5\) (which is inside our domain and thus requires us to ‘fill in a gap’ in our data)? To answer these questions, we simply plug these x-values as numbers into the equation of the fitted curve:

dxrdt = np.abs(np.diff(xr)/np.diff(t))

Rõ ràng hơn:

dxrdt = np.abs(np.diff(xr)/np.diff(t))

dxrdt = np.abs(np.diff(xr)/np.diff(t))

Sử dụng một lô thanh

Nếu bạn muốn sử dụng một âm mưu thanh thay vì biểu đồ phân tán:

>>> x = numpy.array([1, 7, 20, 50, 79])
>>> y = numpy.array([10, 19, 30, 35, 51])
>>> scipy.optimize.curve_fit(lambda t,a,b: a+b*numpy.log(t),  x,  y)
(array([ 6.61867467,  8.46295606]), 
 array([[ 28.15948002,  -7.89609542],
        [ -7.89609542,   2.9857172 ]]))
# y ≈ 6.62 + 8.46 log(x)

⇦ Quay lại

Làm thế nào để bạn tính toán sự phù hợp theo cấp số nhân trong Python?

y = e (ax)*e (b) trong đó a, b là các hệ số của phương trình theo cấp số nhân đó.Chúng tôi cũng sẽ sử dụng phương thức numpy.polyfit () để lắp đường cong.Hàm này có ba tham số x, y và mức độ đa thức (n) trả về các hệ số của đa thức độ n.(ax)*e(b) where a ,b are coefficients of that exponential equation. We would also use numpy.polyfit() method for fitting the curve. This function takes on three parameters x, y and the polynomial degree(n) returns coefficients of nth degree polynomial.numpy. polyfit() method for fitting the curve. This function takes on three parameters x, y and the polynomial degree(n) returns coefficients of nth degree polynomial.

Làm thế nào để bạn phù hợp với một đường cong theo cấp số nhân cho dữ liệu?

Trên tab Curve Fitter, trong phần dữ liệu, bấm chọn Dữ liệu.Trong hộp thoại Chọn dữ liệu phù hợp, chọn dữ liệu x và dữ liệu y hoặc chỉ là dữ liệu y so với chỉ mục.Nhấp vào mũi tên trong phần FIT TYPE để mở bộ sưu tập và nhấp vào hàm mũ trong nhóm mô hình hồi quy.

Làm thế nào để Curve_fit hoạt động Python?

Hàm đường cong_fit () trả về các giá trị tối ưu cho hàm ánh xạ, ví dụ, các giá trị hệ số.Nó cũng trả về một ma trận hiệp phương sai cho các tham số ước tính, nhưng chúng ta có thể bỏ qua điều đó bây giờ.returns the optimal values for the mapping function, e.g, the coefficient values. It also returns a covariance matrix for the estimated parameters, but we can ignore that for now.returns the optimal values for the mapping function, e.g, the coefficient values. It also returns a covariance matrix for the estimated parameters, but we can ignore that for now.