|
| Kết quả cho các mẫu trong vấn đề hình tam giác PascalGiải pháp cho các vấn đề khởi động- Xem hình tam giác Pascal tại http: //www2.edc.org../../mathtools/pascal/pascal.asp để biết một loạt các khám phá có thể.
- Mỗi bước loại bỏ 1/9 và để lại 8/9 diện tích màu đen còn lại. Sau n bước, hình vuông ban đầu sẽ là (8/9) n màu đen. Khi quá trình này được tiếp tục cho N lớn hơn bao giờ hết, hình vuông sẽ ngày càng gần với 0% màu đen. Đáng ngạc nhiên, điều này không có nghĩa là toàn bộ con số sẽ có màu đen. Vẫn sẽ vẫn còn một tập hợp các điểm đen (có số đo bằng 0). Họ ở đâu? Hãy nghĩ về các điểm được gỡ bỏ ở mỗi bước (bên trong của mỗi hình vuông chứ không phải ranh giới của nó).
- Xem các tài nguyên số học mô -đun cho các giải pháp cho các vấn đề của chúng.
- Xem phần Kết quả của Dự án Tàu.
- Câu trả lời cho a), b) và c) giống như các hàng từ 0 đến 4 của hình tam giác Pascal.
d) f (n, k) = f (n - 1, k - 1) + f (n - 1, k) Kể từ 0! = 1, f (n, n) = và f (n, 0) = cả hai đều đơn giản hóa thành 1. Do đó, f (n, k) thỏa mãn các thuộc tính giống như pascal (n, k). and f(n, 0) =
both simplify to 1. Thus, f(n, k) satisfies the same properties as Pascal(n, k).e) Vì, chúng tôi đang chọn một tập hợp con có kích thước k từ bộ kích thước n của chúng tôi. Tùy ý chọn một yếu tố của tập hợp, e. Mỗi tập hợp con phần tử K của chúng tôi có chứa E hoặc không. Vì thế, , we are choosing a subset of size k from our set of size n. Arbitrarily pick one element of
the set, e. Each of our k-element subsets either contains e or does not. So, = Số lượng tập hợp con chứa E +số lượng tập hợp con không chứa e Nếu một tập hợp con chứa E, chúng ta vẫn phải chọn các phần tử K - 1 từ các phần tử N - 1 còn lại của tập hợp (). Nếu một tập hợp con không chứa E, chúng ta phải chọn các phần tử K từ các phần tử N - 1 còn lại (). Vì vậy, . ). If a subset does not contain e, we have to pick k elements from the remaining n – 1 elements (). Therefore,
. yêu cầu tất cả các tập hợp con chứa tất cả các phần tử của một bộ và chỉ có một cách để làm điều đó (lấy toàn bộ bộ). Tương tự như vậy, yêu cầu tất cả các tập hợp con không chứa các phần tử của một tập hợp và chỉ có một cách để làm điều đó (sử dụng bộ trống). Vì vậy, thỏa mãn các thuộc tính tương tự như pascal (n, k) và f (n, k). asks for all subsets containing no elements of a set and there is only one way to do that (use the empty set). So satisfies the same properties as Pascal(n, k) and f(n, k).Bằng chứng cuối cùng này chứng minh rằng số học (thêm hai số ở trên) và các cách kết hợp (các yếu tố đến từ) để xác định tam giác Pascal là phù hợp. Hai bằng chứng này cho thấy giá trị của số thứ k trong hàng thứ n của tam giác Pascal, (với số lượng của chúng tôi bắt đầu từ giá trị 0 trong hàng 0) khớp với các giá trị từ các công thức kết hợp và giai thừa. ) ways of defining Pascal’s triangle are consistent. These two proofs show that the value of the kth number in the nth row of Pascal’s triangle (with our counts starting at the 0th value in row 0) matches the values from the factorial and combinations
formulas.Kêt quả chung cuộcBởi vì nhiều cách khác nhau để tạo ra tam giác Pascal, có nhiều cách để chứng minh những khám phá về nó. Các kết quả sau đây có các cách tiếp cận khác nhau để chứng minh những phát hiện liên quan. Mỗi đại diện cung cấp những hiểu biết kết hợp để cung cấp cho chúng ta một bức tranh phong phú về các mẫu trong tam giác. Suy nghĩ về Pascal Mod 2 về mặt hình học và số học (một số câu trả lời cho Dự án Câu hỏi số 3):Mặc dù tam giác Mod 2 Pascal, thường được so sánh với miếng đệm Sierpinski, nhưng nó khác nhau ở một khía cạnh quan trọng: Tam giác Pascal là rời rạc. Vì sự thiếu liên tục này, tỷ lệ tự tương tự là không chính xác. Ví dụ, trung tâm 0 trong tam giác màu đỏ trong hình bên dưới tương ứng với tam giác của sáu 0 0 trong tam giác màu xanh và hình tam giác của hai mươi tám 0 0 ở giữa hình. Hai tỷ lệ này không duy trì tỷ lệ nhất quán (mặc dù tỷ lệ này có xu hướng 4, phù hợp với hệ số tỷ lệ là 2). Tuy nhiên, con số này hiển thị một biến thể của sự tự tương tự khi chúng ta nhìn vào các phần lớn hơn bao giờ hết. Đó là sự tự tương đồng dựa trên dịch thuật! Mỗi phần tử có cùng tương đương với phần tử của các hàng trước đó (đối với lớn nhất có thể). rows earlier (for the largest
possible).Tam giác Pascal Mod Mod 2 với các vùng phù hợp được tô sáng Định lý: Đối với tam giác Mod 2 Pascal, mỗi khối mới của hàng từ hàng qua hàng, 1 có chính xác hai bản sao của các hàng đầu tiên (hàng từ 0 đến1) với một hình tam giác 0 0 ở giữa.: For the mod 2 Pascal’s triangle, each new block of
rows from row through row –1 has exactly two copies of the first
rows (rows 0 through –1) with a triangle of 0’s in between.Bằng chứng: Chúng tôi sẽ chứng minh yêu cầu bồi thường. Chúng tôi sẽ thêm yêu cầu bổ sung rằng hàng11 được cấu tạo hoàn toàn bằng 1 1 (tỷ lệ cược). Chúng tôi có trường hợp cơ sở trong hàng 1, là hai bản sao của hàng 0. Các số hàng 0 và 1 đều là cả hai dạng 1 và cả hai hàng chỉ chứa 1.: We will prove the claim inductively. We will add the additional claim that row
 Bây giờ, hãy cho thấy rằng nếu các yêu cầu của chúng tôi là đúng đối với N, chúng cũng phải đúng với N + 1. Nếu đúng với N, thì hàng - 1 được sáng tác hoàn toàn bằng 1 1. Điều đó có nghĩa là hàng sẽ có 1 Lừa ở hai đầu và - 1 0 ở giữa. Đoạn 0 0 này sẽ thu hẹp một 0 mỗi hàng cho đến khi chúng đi theo hàng + - 1 = - 1. Hai thiết bị đầu cuối 1 theo hàng - 1 mỗi lần bắt đầu mẫu mà 1 trong hàng 0 bắt đầu. Hai bản sao này, ban đầu được phân tách bởi - 1 khoảng trống, sẽ phát triển cho đến khi tách 0 được biến thành hàng - 1. nghĩa là chúng sẽ phát triển, không có sự can thiệp, cho các hàng và mỗi hàng được sao chép lại. Kể từ khi hàng - 1 có 1, hàng - 1 sẽ có + = 1. Do đó, chúng tôi đã chỉ ra rằng cả hai tuyên bố, việc sao chép bộ hàng trước và sự hiện diện của tất cả 1 Lừa cần thiết để thiết lập các điều kiện cho một vòng nhân đôi mới, được thỏa mãn. Q.E.D. – 1 is composed entirely of 1’s. That means that row will have 1’s on the ends and – 1 0’s in between. This stretch of 0’s will shrink by one 0 per row until they are gone in row + – 1 = – 1. The two
terminal 1’s in row – 1 will each start the pattern that the 1 in row 0 starts. These two copies, initially separated by – 1 spaces, will grow until the separating 0’s are gone in row
– 1. That is, they will have grown, without interference, for rows and each reproduced the original rows. Since row
– 1 had 1’s, row – 1 will have
+ = 1’s. Thus we have shown that both claims, the duplication of the prior set of rows and the presence of all 1’s necessary to
establish the conditions for a new round of duplicating, are satisfied. Q.E.D.Mô tả mô hình tỷ lệ cược (câu trả lời đầu tiên cho số tỷ lệ cược trong hàng 100):Mặc dù các ý tưởng trên có thể tuân theo một cuộc thám hiểm của Dự án Câu hỏi số 1, nhưng việc chứng minh các quan sát về các mô hình tỷ lệ cược sau đây trên Câu hỏi số 3 sẽ dễ dàng hơn. Quá trình sao chép hình học cho thấy một phương pháp liên quan để đếm số tỷ lệ cược trong mỗi hàng. Nếu s là chuỗi số tỷ lệ cược trong các hàng của hình tam giác Pascal, chúng ta có thể nhận được S từ quy trình sau: S0 = 1, SN = SN - 1 & (2. Sn - 1). Điều đó có nghĩa là: Để có được chuỗi tiếp theo, hãy thực hiện trình tự cuối cùng và theo dõi nó (có nghĩa là và có nghĩa là catenate) với tất cả các phần tử trình tự cuối cùng đã tăng gấp đôi: S0 = {1} S1 = {1} & 2. {1} = {1, 2} S2 = {1, 2} & 2. {1, 2} = {1, 2, 2, 4} S3 = {1, 2, 2, 4} & 2. {1, 2, 2, 4} = {1, 2, 2, 4, 2, 4, 4, 8}
Sự nhân đôi và nối lại này tương ứng với việc dịch và sao chép mô tả hình học ở trên. Nếu chúng ta tiếp tục tạo SN, chúng ta thấy rằng việc nhận được hàng 100 không quá nhiều lao động. SN có các phần tử, vì vậy phần tử thứ 101 trong s là S7. Các lệnh sau được nhập vào máy tính Texas Cụ TI-83 chăm sóc Lao động: elements, so the 101st element in S is in S7. The following commands entered into a Texas Instruments TI-83 calculator take care of the labor:
Bắt đầu với S0:
| {1} L1 L1
| L1 là một biến danh sách.1 is a list variable.
| Xây dựng S1:
| tăng (L1, 2*L1) L11, 2*L1) L1
| Augment catenates hai danh sách.
| Xây dựng S1 đến S7.
| Nhấn Nhập sáu lần.
| Nhập lặp lại quy tắc đệ quy.
| Để nhận hàng 100:
| L1(101)1(101)
| Đây là yếu tố thứ 101 trong L1.1.
|
Và phần tử thứ 101 là 8, vì vậy có 8 tỷ lệ cược trong hàng 100. Cách tiếp cận đệ quy này là khá nhanh, nhưng nếu pin máy tính của chúng ta đã chết thì sao? Có một cách trực tiếp hơn để tìm ra giá trị về số lượng hàng? Dự đoán rõ ràng mô hình cho bất kỳ dòng nào:Khi một vấn đề liên quan đến các mô hình nhân đôi hoặc trebling, suy nghĩ về các biểu diễn cơ sở 2 hoặc cơ sở 3 có thể dẫn đến những hiểu biết. Bảng dưới đây, được sản xuất bởi một giáo viên toán học so sánh số lượng của các cái trong một đại diện cơ sở 2 hàng với số tỷ lệ cược trong hàng đó.
N
| n trong cơ sở 2
| # của 1 Lừa (trong cơ sở 2)
| Số tỷ lệ cược trong hàng n
| 0
| 0
| 0
| 20 = 10 = 1
| 1
| 1
| 1
| 21 = 21 = 2
| 2
| 10
| 1
| 21 = 21 = 2
| 3
| 11
| 2
| 22 = 42 = 4
| 4
| 100
| 1
| 21 = 21 = 2
| 5
| 101
| 2
| 22 = 42 = 4
| 6
| 110
| 2
| 22 = 42 = 4
| 7
| 111
| 3
| 23 = 83 = 8
| 8
| 1000
| 1
| 21 = 21 = 2
|
22 = 4 23 = 8 . Tại sao mô hình này dường như hoạt động? Một lời giải thích xuất phát từ quy tắc tự tương tự và quy trình nhân đôi cho S. Những điều này ngụ ý như sau: Đặt f (n) là số lượng các mục lẻ trong dòng n của hình tam giác Pascal, sau đó.Hàm này tương đương với việc di chuyển lên tam giác bằng công suất cao nhất là 2 có thể (đến dòng mà chúng tôi đã nhân đôi để tạo ra dòng N). Ví dụ F (27) = 2 F (27 - 16) = 2 F (11). Nhưng F (11) là gì? Vâng, áp dụng lại công thức mang lại f (11) = 2 f (11 - 8) = 2 f (3). Tiếp tục, chúng ta nhận được f (3) = 2 f (3 - 2) = 2 f (1) và f (1) = 2 f (1 - 1) = 2 & nbsp; f (0) và f (0) = 1. Đặt chuỗi đệ quy đó hoàn toàn cho F (27) = 24. . Nói chung, ứng dụng lặp của công thức trên sẽ dẫn đến F (0) sau khi có nhiều đệ quy như số lượng 1 1 trong đại diện cơ sở của Niên. Quy tắc này tương ứng độc đáo với mẫu 1, 2, 2, 4 vì các chữ số ngoài cùng bên phải của các số đếm trong chu kỳ cơ sở 2 đến 00, 01, 10 và 11 (và dẫn chúng ta nghĩ về bản chất fractal của việc đếm trong bất kỳ cơ sở nào ). Một phát hiện đại số: matches that of . However, that scaling leaves lots of gaps. If we know the first four rows or Pascal, doubling all of the coordinates just gives us the parity of the even entries in rows 6 and 8 (for example,
is odd, so must be, too). I then moved on to proving the parity of the elements that neighbor those that have even row and column numbers when I discovered what I think is a strange little observation. I was trying to prove: If
= 0 then = 0. Here is what I found:Dưới đây là một đoạn trích từ một báo cáo của Pascal Explorer: Proof: Tôi đã sử dụng công thức giai thừa để chứng minh rằng các mẫu tỷ lệ trong Pascal luôn hoạt động. Tôi đã có thể chỉ ra rằng sự tương đương của các trận đấu mà. Tuy nhiên, tỷ lệ đó để lại rất nhiều khoảng trống. Nếu chúng ta biết bốn hàng đầu tiên hoặc pascal, nhân đôi tất cả các tọa độ chỉ cho chúng ta sự tương đương của các mục chẵn trong các hàng 6 và 8 (ví dụ, là kỳ lạ, cũng phải như vậy). Sau đó tôi chuyển sang chứng minh sự tương đương của các yếu tố mà những người hàng xóm có số thậm chí có số hàng và cột khi tôi phát hiện ra những gì tôi nghĩ là một quan sát nhỏ kỳ lạ. Tôi đã cố gắng chứng minh: nếu = 0 sau đó = 0. Đây là những gì tôi tìm thấy: = 5 and = 10 (so we can get an odd or even result).Định lý quan sát nhỏ Meg Meg: Các số lẻ và thậm chí có thể xuất hiện trong tam giác Pascal, trong ba trong bốn trường hợp số lẻ và thậm chí hàng và số cột. Tuy nhiên, khi hàng chẵn và cột là lẻ, mục nhập luôn luôn. = 10 and = 5.Trường hợp 1: Hàng là lẻ, cột là lẻ. Bằng chứng bằng ví dụ: = 5 và = 10 (vì vậy chúng ta có thể nhận được kết quả kỳ lạ hoặc thậm chí). = 15 and
= 28.Trường hợp 2: Hàng là lẻ, cột là chẵn. Bằng chứng bằng ví dụ: = 10 và = 5. =
Chúng tôi biết rằng toàn bộ biểu thức này là một số nguyên. Vì mẫu số của yếu tố cuối cùng bao gồm tất cả các thuật ngữ lẻ, yếu tố ban đầu là 2 vẫn còn và kết quả là chẵn. Q.E.D. Câu hỏi của tôi là tại sao?! Điều gì đặc biệt về những kết hợp mà chúng phải được thậm chí là gì? Thật thú vị, mô hình của các số 0 xen kẽ trong mọi dòng khác đã không lọt vào mắt tôi vì các mẫu hình tam giác mạnh hơn (xem hình dưới đây). Kết quả trên được tóm tắt trong bảng dưới đây. Còn lại có thể cho mod 2 khác nhau mod 2 Biến thể cũng phát sinh với 3 là mô đun (xem bên dưới). Hai bảng này gợi ý về một số khái quát có thể. Những khái quát này có hợp lệ không? Họ có giới hạn trong các mô đun là chính không? Còn lại có thể cho mod 3 khác nhau mod 3 Suy nghĩ về pascal mod p một cách tự nhiên (một số câu trả lời cho câu hỏi dự án #4):Có tám số lẻ trong tam giác pascal thứ 100, 89 số chia hết cho & nbsp; 3 và 96 số chia hết cho & nbsp; 5. of Pascal’s triangle, 89 numbers that are divisible by 3, and 96 numbers that are divisible by 5. Tất nhiên, một cách để có được những câu trả lời này là viết ra hàng thứ 100, Tam giác Ofpascal, chia cho 2, 3 hoặc 5 và đếm (đây là ý tưởng cơ bản của cách tiếp cận hình học). Pascal’s triangle, divide by 2, 3, or 5, and count (this is the basic idea behind the geometric approach). Nhưng hãy để Lôi xem nếu chúng ta có thể tìm ra một cách hiệu quả hơn (và thanh lịch) để có được những người truyền tải. Trong một nỗ lực để cho thấy làm thế nào một người thực sự có thể đi vào kết quả trong kết quả, những gì sau đây là một ảnh ghép của các arithmeticapproaches khác nhau mà chúng tôi đã thấy trong những năm qua trong công việc của chúng tôi với các sinh viên andteachers.
answers. In an attempt to show how one might actually come up with interesting results, what follows is a collage of various arithmetic approaches that we’ve seen over the years in our work with students and teachers. Chúng tôi muốn đếm số lượng các phần tử trong một hàng hình tam giác Pascal là (hoặc không) chia hết bởi một số số nguyên. Sự chia rẽ của một người theo nguyên tắc để đối phó, vì vậy hãy để Lôi nhìn vào trường hợp đó. Câu hỏi, sau đó, là that are (or are not) divisible by some integer. Divisibility by a prime is easier to deal with, so let’s look at that
case. The question, then, is Cho một số nguyên không âm N và P chính P, số lượng người được chia chia cho P?n and a prime p, which numbers are divisible by p?
Vâng, đôi khi một câu hỏi rõ ràng hơn là dễ dàng để trả lời:
Với một số nguyên không âm N và P chính P, sức mạnh cao nhất của P phân chia là gì?n and a prime p, what is the highest power of p that divides ?
Sức mạnh cao nhất của chức năng Piêu này rất hữu ích trong nhiều bối cảnh và nó được biểu thị BYORDP, vì vậy, ví dụ:: ví dụ::p” function is useful in many contexts, and it’s sometimes denoted by
ordp, so, for example:
| ord5(40)5(40)
| = 1 (20 = 51,23) (20 = 51 .23)
|
|
| | ord2(40)2(40)
| = 3
|
|
| | ord7(40)7(40)
| = 0
|
|
| | Ord7 (58.34.5 .72.115)7(58 .34 .5 .72 .115)
| = 2
|
|
|
Để getordp (n), yếu tố n thành các số nguyên tố và nhìn vào sức mạnh của p xuất hiện. Đó là Bạn có thể kiểm tra Thatordphas tài sản mà, số nguyên âm m và N, ordp(n), factor n into primes and look at the power of p that shows up. That’s ordp(n). You can check that ordp has the property that, for non-negative integers m
and n, Và, nếu n là một yếu tố của m,n is a factor of m,
Vì vậy, câu hỏi của chúng tôi trở thành Cho một số nguyên không âm N và P chính P, cách mà người dễ dàng tính toán là gì?n and a prime p, what’s an easy way to calculate ordp ?Cụ thể, chúng tôi muốn biết khi nào vì đây là khi P là một yếu tố. Tất nhiên, những gì chúng tôi thực sự muốn để đếm tất cả các mục trong hàng thứ n của Pascal có sẵn> 0, nhưng hãy để lo lắng về điều đó sau này.
because this is when p is a factor of . Of course, what we really want to do is to count all the entries in the nth row of Pascal that have
ordp > 0, but let’s worry about that later. Vâng, có một công thức rõ ràng về các điều khoản của Factorials: Vì vậy, sử dụng các thuộc tính của Ord (ord của một thương số là sự khác biệt của các ords và ord của một sản phẩm là tổng của ords), wehavein terms of factorials:
So, using the properties of ord (the ord of a quotient is the difference of the ords, and the ord of a product is the sum of the ords), we have
| ordp p
| =ordp ordp
|
|
| |
| = ordp (n!) -ordp (k!) -ordp ordp(n!) - ordp(k!) - ordp
|
|
|
Có vẻ như một bước tiếp theo có thể là tìm cách tìm ra một sự kiện. Một ví dụ bằng số chỉ ra cách: hãy để tính toán số 3 (139!). Vì vậy, chúng tôi muốn tìm sức mạnh cao nhất của 3 phân chia of a factorial. A numerical example points the way: let’s calculate ord 3(139!). So, we want to find the highest power of 3 that divides Mỗi bội số của 3 cho chúng tôi ít nhất một đóng góp của người Viking: Điều này dừng lại ở bội số cuối cùng của 3 trước 139 (nghĩa là ở 138), và có những điều khoảng thời gian trong danh sách. Trong thực tế, có chính xác are about numbers in the list. In fact,
there are exactly trong đó có nghĩa là phần số nguyên của người Viking 46 (nghĩa là phần nguyên phần nguyên & nbsp;). means the “integer part” of
46 (that is, the integer part of ). Tất nhiên, chúng tôi đã bỏ lỡ một số bội số của người Viking thêm 3: mỗi bội số của 9 (nghĩa là, 9, 18, 27 ...) đếm hai lần, và có những điều này. Nhưng, bây giờ chúng tôi đã bỏ lỡ nhiều bội số của 3 người đến từ những người có 27, và có những điều này. Bạn nhận được ý tưởng. Tiếp theo, chúng ta cần đếm bội số của 81 (để có được yếu tố bổ sung đến từ 34), và có những thứ (cụ thể là 81). Nếu chúng tôi không biết gì hơn, chúng tôi có thể đếm các chủ đề của 243 có ít hơn 139, và ở đó, Beefthese. Và mọi thứ sẽ là 0 từ đây trở đi. Vì vậy, sức mạnh của 3 điều đó đã xảy ra 139! isremember nơi điều này đến từ. Tóm tắt các tính toán của chúng tôi, chúng tôi có thể: OfCourse, sau một lúc (thực tế, sau 34), tất cả các sàn nhà này là 0. Vì vậy, chúng tôi có Amethod để tìm kiếm & nbsp; ordp (n!): (that is, 9, 18,
27... ) counts twice, and there are of these. But, we’ve now missed the extra multiples of 3 that come from multiples of 27, and there are
of these. You get the idea. Next, we need to count the multiples of 81 (to get the extra factor that comes from 34), and there are
of these (namely, 81 itself). If we didn’t know any better, we could count the multiples of 243 that are less than 139, and there’d be
of these. And everything would be 0 from here on. So, the power of 3 that divides 139! is Remember where this came from. Summarizing our calculations, we could say:
Of course, after awhile (in fact, after 34), all these “floors” are 0. So, we have a method for finding ordp(n!):
Đề xuất 1.if N là một số nguyên không âm và P là một nguyên tố chính, sau đó If n is a non-negative integer and p is a prime, then Điều này là không thỏa mãn theo nhiều cách. Đối với một, nó không cho bạn biết khi theterms của tổng số rơi xuống 0. Đối với điều đó, bạn phải viết N trong cơ sở P.But Wait Đây là cách: làm thế nào: terms of the sum drop off to zero. For that, you’d have to write n in base p. But wait—if you write n in base p, the whole sum in the proposition gets easier. Here’s how: Hãy cùng quay trở lại ví dụ của chúng tôi nếu 139 và 3. Đầu tiên, hãy để Viết 139 dưới dạng mở rộng ABASE-3: Vì vậy, base-3
expansion: So, Sau đó, để getord3 (139!), Chúng tôi sử dụng mệnh đề và tính toán Asfollows: ord3(139!), we use the proposition and
calculate as follows:
|
| =
| |
| = (1 .1) + (0 .3) + (2 .32) + (1 .33).1) + (0 .3) + (2 .32) + (1 .33)
| |
| =
| |
| = (0 .1) + (2 .3) + (1 .32).1) + (2 .3) + (1 .32)
| |
| =
| |
| = (2 .1) + (1 .3).1) + (1 .3)
| |
| =
| |
| = (1 .1).1)
|
Và mọi thứ là 0 sau này. Wow, hãy nhìn vào điều này. Nhìn vào những điều dễ dàng. Một điều chúng ta có thể làm là đọc xuống thay vì qua; Điều đó sẽ cho phép chúng tôi thêm vào những sức mạnh của người dân của 3. và, giống như khi bạn đọc lại, khi bạn đọc xuống, bạn thấy các chữ số cơ sở là 139 Nhưng The011, và cuối cùng là tất cả trừ năm 2011. Điều này sẽ luôn xảy ra? Hãy để equations. One thing we could do is to read down instead of across; that would allow us to add “like” powers of 3. And, just like when you read across, when you read down you see the base-3 digits of 139, first all except the “units” 1, then all except the 11, then all but the 011, and finally all but the 2011. Will this always
happen? Let’s see. Suppose sau đó
|
| = (n0.) + (n1.1) + (n2.p) + (n3.p2) ++ (ns.ps-1) ( n 0 . ) + ( n 1 . 1) + (
n 2 . p ) + ( n 3 . p2 ) + + ( n s .
p s - 1 )
| |
| = (n1.1) + (n2.p) + (n3.p2) ++ (ns.ps-1) n 1 . 1) + ( n2 . p ) + ( n3 . p2 ) +
+ ( n s . p s - 1 )
|
và
|
| = (n0.) + (n1.) + (n2.1) + (n3.p) ++ (ns.ps-2) ( n0 . ) + ( n 1 .
) + ( n 2 . 1) + ( n3 . p ) + +
( n s . p s - 2 )
| |
| = (n2.1) + (n3.p) ++ (ns.ps-2)n2 .1) + (n3 .p) + + (ns .
ps-2)
|
Và, nói chung hơn,
|
| = (n0.) + (n1.) + (n2.) + (n3.) ++ (ns.ps-k) (n0 . ) + (n1 .
) + (n2 . ) + (n3 .
) + + (ns .
ps-k)
| |
|
| |
| = (nk.1) + (nk + 1.p) ++ (ns.ps-k)nk .1) + (nk+1 .p) + + (ns .
ps-k)
|
Nhưng mà Vì vậy, hãy để Lừa viết tất cả điều này và xem liệu chúng ta có thể sử dụng thủ thuật thêm vào một lần nữa không: trick:
|
| = (n1.1) + (n2.p) + (n3.p2) + (n4.p3) ++ (ns.ps-1)n1 .1) + (n2 .p) + (n3 .p2) + (n 4 .
p3) + + (n s .ps-1)
| |
| = (n2.1) + (n3.p) + (n4.p2) + (n5.p3) + (ns.ps-2)n2 .1) + (n3 .p) + (n4 .p2) + (n 5 .
p3) + (n s .ps-2)
| |
| = (n3.1) + (n4.p) + (n5.p2) ++ (ns.ps-3)n3 .1) + (n4 .p) + (n5 .p2) +
+ (n s .ps-3)
| | & nbsp; | & nbsp;
| |
| = (NS.1)ns .1)
|
Nếu chúng ta thêm xuống, chúng ta sẽ nhận được tổng số của các chữ số cơ sở của n. Hãy để một ký hiệu cho điều này: Đặt p (n) là tổng của các chữ số cơ sở của n.then thêm xuống, chúng ta cóp digits of n. Let’s invent a notation for this: Let p(n) be the sum of the base-p digits of n. Then
adding down, we have
| ordp(n!) p(n!)
| = (p (n) - n0) .1 + (p (n) - n0- n1) .p + (p (n) - n0- n1- n2) .p2 +p(n) - n0) .1 +
(p(n) - n0 - n1) .p +
(p(n) - n0 - n1 - n2) .p2+
| |
| & nbsp; & nbsp; . (p(n) - n0 - n1 - n2 - n3)
.p3 + + ( p(n) - n0 -
n1 - n2 - - ns-1) .ps-1+
| |
| & nbsp; & nbsp; (p (n)- n0- n1- n2-- ns) .ps (p(n) - n0 - n1 - n2 -
- ns) .ps
|
Dòng cuối cùng là 0, nhưng chúng tôi đặt nó vào để giữ cho mẫu tiếp tục. Thời gian cho somealgebraic đánh lừa xung quanh. Thu thập p (n) s, n0s, n1s, và sớm: algebraic fooling around. Gather the p(n)s, the n0s, the n1s, and so on:
| ordp(n!)p(n!)
| = P (n)p(n)
|
|
| |
| - n0n0
|
|
| |
| - N1n1
|
|
| |
| - N2n2
|
|
| |
| & nbsp;
|
|
| |
| = (NS.1)ns
|
|
|
Nếu chúng ta thêm xuống, chúng ta sẽ nhận được tổng số của các chữ số cơ sở của n. Hãy để một ký hiệu cho điều này: Đặt p (n) là tổng của các chữ số cơ sở của n.then thêm xuống, chúng ta có
| ordp(n!)p(n!)
| = P (n)p(n)
|
|
| |
| - n0n0
|
|
| |
| - N1n1
|
|
| |
| - N2n2
|
|
| |
| & nbsp;
|
|
| |
| = (NS.1)ns
|
|
|
Nếu chúng ta thêm xuống, chúng ta sẽ nhận được tổng số của các chữ số cơ sở của n. Hãy để một ký hiệu cho điều này: Đặt p (n) là tổng của các chữ số cơ sở của n.then thêm xuống, chúng ta cóp - 1 and rearrange what’s left:
| ordp(n!)p(n!)
| = (p (n) - n0) .1 + (p (n) - n0- n1) .p + (p (n) - n0- n1- n2) .p2 +
|
|
| |
|
|
|
|
& nbsp; & nbsp; .
| & nbsp; & nbsp; (p (n)- n0- n1- n2-- ns) .ps0 + n1 + + ns
| Dòng cuối cùng là 0, nhưng chúng tôi đặt nó vào để giữ cho mẫu tiếp tục. Thời gian cho somealgebraic đánh lừa xung quanh. Thu thập p (n) s, n0s, n1s, và sớm:p(n) and
|
|
| | = P (n)0 + n1p + n2p2 + + n sps
| - n0n
|
|
|
- N1 - N2 - ns If n is a non-negative integer and p is a prime,
where p(n) is the sum of the digits in the base-p expansion of n.
Mỗi tổng là một chuỗi hình học, chỉ cần cầu xin được tổng hợp: Yếu tố loại mẫu của P - 1 và sắp xếp lại những gì còn lại: ordp . In fact,
| ordp p
| =ordp ordp
|
|
| |
|
|
|
| |
| = ordp(n!) - ordp(k!) - ordp
|
|
| |
|
|
|
| |
| Ồ, thật tuyệt: kể từ khi n - p(n) - -
p - 1
|
|
| |
|
|
|
| |
| N0+ N1 ++ NS p(k) + p(n - k) -
p(n)p - 1
|
|
|
= p (n) và N0+ N1P+ N2P2 ++ NSP If n is a non-negative integer and p is a prime, where
p(n) is the sum of the digits in the base-p expansion of n. = nhave non-zero ords. But it turns out that one can get the exact value of the expression in proposition 3 with very little extra work (we know this because we worked it out before we wrote up these results). The fact that
is one of those strange results that contains a surprise: We know that ordp is a non-negative integer, so
p - 1 must be a factor of p(k) + p(n - k)
- p(n)—that’s not at all obvious. And shouldn’t the digit sum of n equal the digit sum of k plus the digit sum of n - k? After all, k and
n - k add up to n, so shouldn’t the sum of the digits work the same way? Let’s see what happens with an example: Điều này đơn giản hóa để ord3 : Kết quả là hãy nói lên điều đó: 3) of 139, 32, and 139 - 32 = 107. We have
| 139
| Đề xuất 2.if N là một số nguyên không âm và p là nguyên tố, trong đó p (n) là tổng của các chữ số trong mở rộng cơ sở-p của n..1) + (1 .3) + (0 .32) + (2 .33) + (1 .34)
| | 32
| Chúng tôi có thể áp dụng công thức này vào ví dụ của chúng tôi và, một lần nữa, nhận được 67:.1) + (1 .3) + (0 .32) + (1 .33) + (0 .34)
| | 107
| Bây giờ chúng tôi ở một vị trí tốt hơn để AviewArdordP & nbsp ;. Trong thực tế,.1) + (2 .3) + (2 .32) + (0 .33) + (1 .34)
|
So,
| 13933
| = ordp (n!) -ordp (k!) -ordp
|
|
| | 3233
| = n - p (n) - - p - 1
|
|
| | 10733
| = p (k) + p (n - k) - p (n) p - 1
|
|
|
So,
| 3(139)(139)
| Điều này là khá thú vị. Kết quả là hãy nói lên điều đó:
|
|
| | 3(32)(32)
| Đề xuất 3.if N là một số nguyên không âm và p là nguyên tố, trong đó p (n) là tổng của các chữ số trong mở rộng cơ sở-p của n.
|
|
| | 3(107)(107)
| Lưu ý rằng những gì chúng tôi thực sự quan tâm là có các ords khác không. Nhưng hóa ra người ta có thể nhận được giá trị chính xác của biểu thức Inproproping & nbsp; 3 với rất ít công việc thêm (chúng tôi biết điều này bởi vì chúng tôi đã làm việc trước khi chúng tôi viết những kết quả này ). Thực tế là một trong những kết quả kỳ lạ có chứa một điều bất ngờ: chúng ta biết một số nguyên không âm, vì vậy p - 1 phải là một yếu tố (k) + p (n - k) - p (n) . Và nên tổng số chữ số của n bằng tổng của k cộng với tổng chữ số củan - k? Rốt cuộc, K và N - K cộng vào N, vậy có nên tổng số các chữ số hoạt động theo cùng một cách không? Hãy để xem những gì xảy ra với Anexample:
|
|
|
Hãy nhìn vào ATORD3: 3 says that Vâng, theo đề xuất, chúng ta cần xem xét tổng chữ số (cơ sở3) của 139, 32 và 139 - 32 = 107. Chúng ta có
|
| = (1 .1) + (1 .3) + (0 .32) + (2 .33) + (1 .34)
| |
| = (2 .1) + (1 .3) + (0 .32) + (1 .33) + (0 .34)2 .33 .51 .112 .171 .191 .
231 .371 .411 .431 .591 .611 .
| |
| = (2 .1) + (2 .3) + (2 .32) + (0 .33) + (1 .34)671 . 1091. 1131 .1271 .1311 .1371
.1391
|
= 120113(32) + 3(107) -
3(139) not 0? If we look at the traditional way we add base-3 numbers (or numbers in any base), we see where the discrepancy shows up. Here’s how you’d add 32 to 107 to get 139 in base 3:
|
|
| = 010121
| = 010121
| = 010121
|
| |
| 0
| 1
| 0
| 1
| 2
| | = 10222
| 1
| 0
| 2
| 2
| 2
|
|
|
|
|
|
| |
| 1
| 2
| 0
| 1
| 1
|
= 5that’s why = 4 column. For example, looking at the rightmost column, the 2 + 2 is 11, so
the carried 1 is really 1 .3 (or 10 in base 3). Let’s look at the general situation: = 7. We write n, k, and n - k in base
p:
| và đề xuất & nbsp; 3says
| Và chắc chắn,n0 + n1p + n2p2 + + n sps
| | = 29794458700044250140618567735660
| = 22.33.51.112.171.191.231.371.411.431.591.611.k0 + k1p + k2p2 + + k sps
| | & nbsp; 671. & NBSP; 1091.1131.1271.1311.1371.1391- k
| Vậy, tại sao 3 (32) + 3 (107) - 3 (139) không phải 0? Nếu chúng ta nhìn vào đường truyền thống, chúng ta sẽ thêm các số cơ sở (hoặc số trong bất kỳ cơ sở nào), chúng ta sẽ thấy nơi mà TheDiscrepancy xuất hiện. Tại đây, cách thức của bạn, bạn đã thêm 32 đến 107 để nhận được 139 trong Base3:m0 + m1p + m2p2 + + m sps
|
& nbsp; 1i: +
| Vì vậy, những gì làm xáo trộn các tổng chữ số là những người mang theo; Đó là lý do tại sao0 + k0
| Lưu ý rằng mỗi lần mang được nhân với 3 khi nó nhảy vào NextColumn. Ví dụ, nhìn vào cột ngoài cùng bên phải, 2 + 2 là & nbsp; 11, Sothe mang 1 thực sự là 1 .3 (hoặc 10 ở cơ sở 3). Hãy cùng nhìn vào các tướng lĩnh:n0 + p0
|
|
| | Giả sử chúng ta đang xem xét. Chúng tôi viết N, K và N - K trong Basep:1 + k1 + 0
| Nn1 + p1
|
|
| | = N0+ N1P+ N2P2 ++ NSPS2 + k2 + 1
| kn2 + p2
|
|
| |
| & nbsp;
|
|
| | = (NS.1)s + ks + s-1
| Nếu chúng ta thêm xuống, chúng ta sẽ nhận được tổng số của các chữ số cơ sở của n. Hãy để một ký hiệu cho điều này: Đặt p (n) là tổng của các chữ số cơ sở của n.then thêm xuống, chúng ta cóns
|
|
|
sau đó
| = (p (n) - n0) .1 + (p (n) - n0- n1) .p + (p (n) - n0- n1- n2) .p2 +0 + k0 - n0
| & nbsp; & nbsp; .p0
|
|
| | & nbsp; & nbsp; (p (n)- n0- n1- n2-- ns) .ps1 + k1 - n1
| Dòng cuối cùng là 0, nhưng chúng tôi đặt nó vào để giữ cho mẫu tiếp tục. Thời gian cho somealgebraic đánh lừa xung quanh. Thu thập p (n) s, n0s, n1s, và sớm:p1 - 0
|
|
| | = P (n)2 + k2 - 0
| - n0p2 - 1
|
|
| |
| & nbsp;
|
|
| | = (NS.1)s + ks - ns
| Nếu chúng ta thêm xuống, chúng ta sẽ nhận được tổng số của các chữ số cơ sở của n. Hãy để một ký hiệu cho điều này: Đặt p (n) là tổng của các chữ số cơ sở của n.then thêm xuống, chúng ta có-s-1
|
|
|
= (p (n) - n0) .1 + (p (n) - n0- n1) .p + (p (n) - n0- n1- n2) .p2 +
| & nbsp; & nbsp; .m0 + m1 + m2 + + ms) + (k0 + m1 +
k2 + + ks) - (n0 + n1 + n2 +
+ ns)
| =
|
|
| | (p - 1) (0+ 1+ 2 ++ s)p - 1)(0 + 1 +
2 + + s)
|
|
|
hoặc Có một yếu tố của p - 1. chia cho nó và kết hợp kết quả với kết quả của mệnh đề & nbsp; 3, chúng tôi có định lý của Kummer Kummer mang theo:p - 1. Dividing by it, and combining the result with the result of proposition 3, we have “Kummer’s carry theorem:” Định lý 1.if N là một số nguyên không âm và P là nguyên tố, là số lượng mang bạn nhận được khi K và N - K được thêm vào BaseP. If n is a non-negative integer and p is a prime, is the number of carries you get when k and n - k are added in base p. Hãy để Lùi trở lại câu hỏi ban đầu: Cho một số nguyên không âm N và P chính P, cho HowMany K Isordp> 0?n and a prime p, for how many k is
ordp > 0 ?Theo Định lý & NBSP; 1, đây là câu hỏi tương tự như: 1, this is the same question as: Với một số nguyên không âm N và P chính P, đối với HowMany K có mang theo khi K và N - K được thêm vào PBase P không? Thay vì trả lời điều này, chúng tôi thấy dễ dàng tìm ra khi có Nota mang theo. Và từ đây, chúng ta có thể trừ (từ n + 1) để có được mong muốn.n and a prime p, for how many k is there a carry when
k and n - k are added in base p? Instead of answering this, we found it easier to figure out when there’s not a carry. And from here, we can subtract (from n + 1) to get the desired answer. Một ví dụ sẽ giúp. Giả sử p = 5 và, n = 133866, vì vậy, trong cơ sở 5, hai số có thể thêm vào điều này mà không có mang? Đọc từ bên phải, có hai sự lựa chọn cho chữ số đầu tiên, 0 và 1. Nếu k kết thúc vào 0, n - kends trong 1 và ngược lại. Đối với địa điểm của Fives Fives, có 4 sự lựa chọn cho K, nó có thể có 0, 1, 2 hoặc 3 ở vị trí của 5 (và n - k sẽ có cùng một chỗ). Và vì vậy nó đi. Ở đây, Asummary của những gì có thể xảy ra:p = 5 and, n
= 133866, so, in base 5, n is How can two numbers add to this with no carries? Reading from right to left, there are two choices for the first digit—0 and 1. If k “ends” in 0, n - k
ends in 1 and vice-versa. For the “fives” place, there are 4 choices for k—it could have a 0, 1, 2, or 3 in the 5’s place (and n - k would have, respectively, a 3, 2, 1, or 0 in the same place). And so it goes. Here’s a summary of what can happen:
| nơi
| chữ số trong nn
| Số lượng lựa chọn cho các chữ số cho kk
| | 1
| 1
| 2 - Nam tính, {0,1}{0,1}
| | 5
| 3
| 4 game, {0,1,2,3}{0,1,2,3}
| | 522
| 4
| 5 game, {0,1,2,3,4}{0,1,2,3,4}
| | 533
| 0
| 1 game, {0}{0}
| | 544
| 4
| 5 game, {0,1,2,3,4}{0,1,2,3,4}
| | 555
| 2
| 1 game, {0}{0,1,2}
| | 566
| 3
| 3 game, {0,1,2}{0,1,2,3 }
| | 577
| 1
| 2 - Nam tính, {0,1}{0,1}
| |
|
4 game, {0,1,2,3} 5 game, {0,1,2,3,4} The number of entries in the nth row of Pascal’s triangle that are not divisible by a prime p can be determined as follows: - 1 game, {0}n in base p:
- 3 game, {0,1,2}
4 game, {0,1,2,3}p = 2. Then,
looking at 100 in base 2: so Add 1 to each digit and multiply the answers
together: and 8 numbers in the 100th row are not divisible by 2 (that is, are odd). Try it for 3: so and the number of entries in the 100th row that are not divisible by 3 is
But there are 101 entries in the 100th row, so
101 - 12 = 89 are divisible by 3. Nói chung, chúng tôi có câu trả lời cho câu hỏi của chúng tôi: 1 is
due to Ernst Kummer (1810-1893), a mathematician who laid the groundwork for some of the mathematics that led to the proof of Fermat’s Last theorem. Indeed, knowing the power of a prime that divides any particular entry of Pascal’s triangle turns out to be an essential tool in that proof, and more generally, in all of number theory, so this project connects to some frontline mathematics. Định lý 2. Số lượng các mục trong hàng thứ n của tam giác Pascal, không chia hết cho P chính P có thể được xác định như sau: http://ecademy.agnesscott.edu/~lriddle/ifs/siertri/pascal.htm for further discussion of the geometric and number theoretic connections in Pascal’s Triangle. Viết n trong cơ sở P:Con số trong câu hỏi là Vì vậy, ví dụ, giả sử p = 2. Sau đó, nhìn vào 100 trong base2: SOADD 1 với mỗi chữ số và nhân các câu trả lời với nhau: và 8 số trong hàng thứ 100 không chia hết cho 2 (nghĩa là, là lẻ). Hãy thử Its 3: Số lượng mục trong hàng thứ 100 không chia hết cho 3isbutthere là 101 mục trong hàng thứ 100, SO101 - 12 = 89 chia hết cho 3.Định lý & NBSP; Thật vậy, việc biết sức mạnh của một nguyên tắc phân chia sự xâm nhập đặc biệt của tam giác Pascal, hóa ra là một công cụ thiết yếu bằng chứng, và nói chung, trong tất cả các lý thuyết số, vì vậy dự án này kết nối với một số toán học tiền tuyến. , the number of values in the triangle isVì vậy, ví dụ, giả sử p = 2. Sau đó, nhìn vào 100 trong base2: SOADD 1 với mỗi chữ số và nhân các câu trả lời với nhau: và 8 số trong hàng thứ 100 không chia hết cho 2 (nghĩa là, là lẻ). Hãy thử Its 3: Số lượng mục trong hàng thứ 100 không chia hết cho 3isbutthere là 101 mục trong hàng thứ 100, SO101 - 12 = 89 chia hết cho 3.Định lý & NBSP; Thật vậy, việc biết sức mạnh của một nguyên tắc phân chia sự xâm nhập đặc biệt của tam giác Pascal, hóa ra là một công cụ thiết yếu bằng chứng, và nói chung, trong tất cả các lý thuyết số, vì vậy dự án này kết nối với một số toán học tiền tuyến. Vì vậy, ví dụ, giả sử p = 2. Sau đó, nhìn vào 100 trong base2: SOADD 1 với mỗi chữ số và nhân các câu trả lời với nhau: và 8 số trong hàng thứ 100 không chia hết cho 2 (nghĩa là, là lẻ). Hãy thử Its 3: Số lượng mục trong hàng thứ 100 không chia hết cho 3isbutthere là 101 mục trong hàng thứ 100, SO101 - 12 = 89 chia hết cho 3.Định lý & NBSP; Thật vậy, việc biết sức mạnh của một nguyên tắc phân chia sự xâm nhập đặc biệt của tam giác Pascal, hóa ra là một công cụ thiết yếu bằng chứng, và nói chung, trong tất cả các lý thuyết số, vì vậy dự án này kết nối với một số toán học tiền tuyến. Vì vậy, ví dụ, giả sử p = 2. Sau đó, nhìn vào 100 trong base2: SOADD 1 với mỗi chữ số và nhân các câu trả lời với nhau: và 8 số trong hàng thứ 100 không chia hết cho 2 (nghĩa là, là lẻ). Hãy thử Its 3: Số lượng mục trong hàng thứ 100 không chia hết cho 3isbutthere là 101 mục trong hàng thứ 100, SO101 - 12 = 89 chia hết cho 3.Định lý & NBSP; Thật vậy, việc biết sức mạnh của một nguyên tắc phân chia sự xâm nhập đặc biệt của tam giác Pascal, hóa ra là một công cụ thiết yếu bằng chứng, và nói chung, trong tất cả các lý thuyết số, vì vậy dự án này kết nối với một số toán học tiền tuyến. Xem Pascal Triangle, hành vi toán học athttp: //ecademy.agnesscott.edu/~lriddle/ifs/siertri/pascal.htms thảo luận về các kết nối lý thuyết hình học và số lượng hình học. Kết quả cho một số vấn đề mở rộng 1) Thông qua hàng 2n-1-1, chúng tôi có tỷ lệ cược 3N-1 (yêu cầu này xuất phát từ đối số hình học và số học được trình bày ở trên cho thấy mỗi mẫu được sao chép hai lần trong các hàng tiếp theo). Lên qua hàng r, số lượng giá trị tổng thể là
|
