Hướng dẫn giải bài tập ma trận định thức

Trong chương trình toán cao cấp môn đại số và hình học giải tích, để hiểu rõ hơn về định thức ma trận, bài viết này TTnguyen sẽ chia sẻ một số kiến thức cơ bản cùng với các dạng bài tập về định thức thường gặp trong quá trình học. Chúc các bạn học tập tốt!

1.Định nghĩa định thức ma trận

• Ký hiệu định thức ma trận: det A hoặc |A|
• Định thức ma trận cấp 2:

|A| =a11.a22 – a21.a12

Ví dụ 1: Tính định thức ma trận cấp 2 sau:

• Định thức ma trận cấp 3(quy tắc tam giác):

 |A| =(a11.a22.a33 + a21.a32.a13 + a12.a23.a31 ) – (a13.a22.a31 + a11.a23.a32 + a12.a21.a33 )

Ví dụ 2: Tính định thức ma trận bằng phương pháp tam giác

2.Các tính chất của định thức ma trận:

1.det (A.B) = det(A).det(B)

2.det ( AT ) = det (A)

3.Nếu đổi chỗ 2 hàng ( 2 cột ) thì det đổi dấu

4.Nếu detA có 1 cột hoặc 1 hàng = 0 thì định thức A =0

5.Nếu det có 2 hàng ( 2 cột ) tỉ lệ thì det A=0

6.Nếu nhân 1 hàng, 1 cột với một số k ≠ 0 thì det mới gấp k lần det cũ

7.Nếu A là ma trận vuông cấp n thì det (kA) = kn .det (A)

Ví dụ: A3×3 , det(A) = 5 ⇒ det(2A) = 23.5= 40

8.Tách định thức

9.Rút nhân tử chung của 1 hàng, 1 cột ra ngoài định thức

3. Tính định thức bằng phép biến đổi siêu cấp chuyển về dạng tam giác trên

Ví dụ 3: Tính

Giải:

Các bước thực hiện:

• Nhân hàng 1 với -3 vào hàng 2 để xuất hiện phần tử 0
  • a21=(-3).1 + 3 =0
  • a22=(-3).2+5=-1
  • a23=(-3).(-1)+(-2)=1
  • a24=(-3).1+0=-3
• Tương tự nhân hàng 1 với -2 vào hàng 3, nhân hàng 1 với -2 vào hàng 1 ta được

• Nhân hàng 2 với 2 vào hàng 3 để xuất hiện phần tử 0
• Nhân hàng 2 với 3 vào hàng 4, ta được

• Nhân hàng 3 với 1 vào hàng 4, ta được

• Như vậy định thức A chính là tích đường chéo: 1.(-1).3.0=0

Bài tập định thức ma trận

Tính định thức cấp 2 sau:

Biết các số 204,527,255 chia hết cho 17. Chứng minh định thức d chia hết cho 17

Giải

Nhân cột thứ nhất với 100 rồi cộng vào cột cuối

Nhân cột thứ hai với 10 rồi cộng vào cột cuối

Kết luận định thức chia hết cho 17 vì tích có thừa số 17