Hướng dẫn complex to real python - trăn phức tạp đến thật

Số phức theo nghĩa đen

Cách nhanh nhất để xác định một số phức trong Python là bằng cách nhập trực tiếp theo nghĩa đen của nó vào mã nguồn:

Mặc dù điều này trông giống như một công thức đại số, biểu thức ở bên phải của dấu bằng đã là một giá trị cố định không cần đánh giá thêm. Khi bạn kiểm tra loại của nó, bạn sẽ xác nhận rằng nó thực sự là một số phức tạp:

>>>

>>> type(z)
<class 'complex'>

Làm thế nào khác với việc thêm hai số với toán tử cộng? Một giveaway rõ ràng là chữ

>>> 2 + 3j + 4 + 5j
(6+8j)

>>>

>>> z = 3 + 2

>>> type(z)
<class 'int'>

Làm thế nào khác với việc thêm hai số với toán tử cộng? Một giveaway rõ ràng là chữ

>>> 2 + 3j + 4 + 5j
(6+8j)

>>>

>>> z = 3.14 + 2.71j
>>> type(z)
<class 'complex'>

Làm thế nào khác với việc thêm hai số với toán tử cộng? Một giveaway rõ ràng là chữ

>>> 2 + 3j + 4 + 5j
(6+8j)

>>> 2 + 3j + 4 + 5j
(6+8j)

>>> 2 + 3j + 4 + 5j
(6+8j)

Nhân tiện, bạn cũng có thể sử dụng các số điểm nổi để tạo các số phức tạp:

Các chữ số phức tạp trong Python bắt chước ký hiệu toán học, còn được gọi là dạng tiêu chuẩn, dạng đại số hoặc đôi khi là dạng chính tắc, của một số phức. Trong Python, bạn có thể sử dụng chữ thường

>>> 2 + 3j + 4 + 5j
(6+8j)

>>> 2 + 3j + 4 + 5j
(6+8j)

• Nếu bạn đã tìm hiểu về các số phức tạp trong lớp toán học, bạn có thể đã thấy chúng được thể hiện bằng cách sử dụng

  >>> 2 + 3j + 4 + 5j
  (6+8j)
  

  4 thay vì

  >>> 2 + 3j + 4 + 5j
  (6+8j)
  

  1. Nếu bạn tò mò về lý do tại sao Python sử dụng

  >>> 2 + 3j + 4 + 5j
  (6+8j)
  

  1 thay vì

  >>> 2 + 3j + 4 + 5j
  (6+8j)
  

  4, thì bạn có thể mở rộng phần thu gọn bên dưới để tìm hiểu thêm.
• Ký hiệu truyền thống cho các số phức tạp sử dụng chữ cái

  >>> 2 + 3j + 4 + 5j
  (6+8j)
  

  4 thay vì

  >>> 2 + 3j + 4 + 5j
  (6+8j)
  

  1 vì nó là viết tắt của đơn vị tưởng tượng. Bạn có thể cảm thấy một sự khó chịu nhỏ với quy ước Python, nếu bạn có một nền tảng toán học. Tuy nhiên, có một vài lý do có thể biện minh cho sự lựa chọn gây tranh cãi của Python:
• Đó là một quy ước đã được các kỹ sư thông qua để tránh các vụ va chạm tên với dòng điện, được biểu thị bằng chữ

  >>> 2 + 3j + 4 + 5j
  (6+8j)
  

  4.

Trong tính toán, chữ

>>> 2 + 3j + 4 + 5j
(6+8j)

Chữ

>>> 2 + 3j + 4 + 5j
(6+8j)

4 có thể dễ dàng bị nhầm lẫn với

>>> 3 + 0j
(3+0j)
>>> 0 + 3j
3j

3 hoặc

>>> 3 + 0j
(3+0j)
>>> 0 + 3j
3j

4 trong mã nguồn.

Điều này đã được đưa lên trên trình theo dõi lỗi Python, hơn một thập kỷ trước, và người tạo ra Python, chính Guido Van Rossum, đã đóng vấn đề này với nhận xét này:

Điều này sẽ không được sửa chữa. Đối với một điều, chữ cái ‘I, hoặc trường hợp trên Tôi trông quá giống như các chữ số. Cách các số được phân tích cú pháp bởi trình phân tích cú pháp ngôn ngữ (trong mã nguồn) hoặc theo các hàm tích hợp (int, float, phức tạp) không nên được định hình hoặc có thể định cấu hình theo bất kỳ cách nào; Điều đó yêu cầu những thất vọng lớn xuống đường. Nếu bạn muốn phân tích các số phức tạp bằng cách sử dụng ‘I, thay vì‘ J, bạn đã có sẵn rất nhiều giải pháp. (Nguồn)

>>>

>>> 3 + 2j == 2j + 3
True

Tương tự, bạn có thể thay thế bổ sung cho phép trừ trong một số phức tạp theo nghĩa đen vì dấu trừ chỉ là một ký hiệu tốc ký cho một dạng tương đương:

>>>

>>> 3 - 2j == 3 + (-2j)
True

Có một số phức tạp theo nghĩa đen trong Python luôn phải bao gồm hai số? Nó có thể có nhiều hơn? Họ được đặt hàng? Để trả lời những câu hỏi này, hãy để Lừa điều hành một số thí nghiệm. Không có gì đáng ngạc nhiên, nếu bạn chỉ định chỉ một số, không có chữ cái

>>> 2 + 3j + 4 + 5j
(6+8j)

>>>

>>> z = 3.14
>>> type(z)
<class 'float'>

Mặt khác, việc thêm chữ cái

>>> 2 + 3j + 4 + 5j
(6+8j)

>>>

>>> z = 3.14j
>>> type(z)
<class 'complex'>

Nói đúng ra, từ quan điểm toán học, bạn đã tạo ra một số tưởng tượng thuần túy, nhưng Python có thể đại diện cho nó như một loại dữ liệu độc lập. Do đó, không có phần khác, nó chỉ là một số phức.imaginary number, but Python can’t represent it as a stand-alone data type. Therefore, without the other part, it’s just a complex number .

Làm thế nào về điều ngược lại? Để tạo một số phức mà không có phần tưởng tượng, bạn có thể tận dụng 0 và thêm hoặc trừ nó như vậy:

>>>

>>> z = 3.14 + 0j
>>> type(z)
<class 'complex'>

Trong thực tế, cả hai phần của số phức luôn luôn ở đó. Khi bạn không thấy một, điều đó có nghĩa là nó có giá trị bằng không. Hãy để kiểm tra những gì xảy ra khi bạn thử nhét nhiều thuật ngữ vào tổng hơn trước:

>>>

>>> 2 + 3j + 4 + 5j
(6+8j)

Lần này, biểu hiện của bạn không còn là một nghĩa đen vì Python đã đánh giá nó thành một số phức chỉ bao gồm hai phần. Hãy nhớ rằng các quy tắc cơ bản của đại số chuyển sang các số phức tạp, vì vậy nếu bạn nhóm các thuật ngữ tương tự và áp dụng bổ sung theo thành phần, thì bạn sẽ kết thúc với

>>> 3 + 0j
(3+0j)
>>> 0 + 3j
3j

Lưu ý cách Python hiển thị các số phức theo mặc định. Biểu diễn văn bản của họ chứa một cặp dấu ngoặc đơn, chữ thường

>>> 2 + 3j + 4 + 5j
(6+8j)

Những con số phức tạp cũng là những con số tưởng tượng thuần túy xuất hiện mà không có dấu ngoặc đơn và chỉ tiết lộ phần tưởng tượng của chúng:

>>>

>>> 3 + 0j
(3+0j)
>>> 0 + 3j
3j

Điều này giúp phân biệt các số tưởng tượng với hầu hết các số phức tạp được tạo thành từ các phần thực và tưởng tượng.

>>> z = 3 + 2 >>> type(z) <class 'int'> 00 Chức năng nhà máy

Python có chức năng tích hợp,

>>> z = 3 + 2

>>> type(z)
<class 'int'>

Trong hình thức này, nó giống như một tuple hoặc một cặp số thông thường được đặt hàng. Sự tương tự là rất xa. Các số phức tạp có một cách giải thích hình học trong hệ tọa độ Cartesian mà bạn sẽ khám phá một chút. Bạn có thể nghĩ về những con số phức tạp là hai chiều.Cartesian coordinate system that you’ll explore in a bit. You can think of complex numbers as two-dimensional.

Hàm nhà máy số phức tạp chấp nhận hai tham số số. Phần đầu tiên đại diện cho phần thực, trong khi phần thứ hai đại diện cho phần tưởng tượng được biểu thị bằng chữ cái

>>> 2 + 3j + 4 + 5j
(6+8j)

>>> 2 + 3j + 4 + 5j
(6+8j)

>>>

>>> z = 3 + 2

>>> type(z)
<class 'int'>

Cả hai tham số đều là tùy chọn, với các giá trị mặc định bằng 0, điều này làm cho việc xác định các số phức hơn mà không có phần tưởng tượng hoặc cả phần thực và phần tưởng tượng:

>>>

>>> z = 3 + 2

>>> type(z)
<class 'int'>

Phiên bản đơn lẻ có thể hữu ích trong việc đúc loại. Ví dụ: bạn có thể vượt qua một giá trị không phải là một chuỗi theo nghĩa đen để có được một đối tượng

>>> z = 3 + 2

>>> type(z)
<class 'int'>

>>> z = 3 + 2

>>> type(z)
<class 'int'>

>>>

>>> z = 3 + 2

>>> type(z)
<class 'int'>

Sau đó, bạn sẽ tìm ra cách làm cho các lớp học của bạn tương thích với cơ chế đúc loại này. Thật thú vị, khi bạn chuyển một số phức lên

>>> z = 3 + 2

>>> type(z)
<class 'int'>

>>>

>>> z = 3 + 2

>>> type(z)
<class 'int'>

Điều đó phù hợp với cách các loại số khác trong Python hoạt động bởi vì tất cả chúng đều bất biến. Để tạo một bản sao riêng biệt của một số phức, bạn phải gọi lại chức năng với cả hai đối số hoặc khai báo một biến khác với số phức theo nghĩa đen:immutable. To make a distinct copy of a complex number, you must call the function with both arguments again or declare another variable with the complex number literal:

>>>

>>> z = 3 + 2

>>> type(z)
<class 'int'>

Khi bạn cung cấp hai đối số cho hàm, chúng phải luôn là số, chẳng hạn như

>>> z = 3 + 2

>>> type(z)
<class 'int'>

>>> z = 3 + 2

>>> type(z)
<class 'int'>

>>> z = 3 + 2

>>> type(z)
<class 'int'>

>>> z = 3 + 2

>>> type(z)
<class 'int'>

>>> z = 3 + 2

>>> type(z)
<class 'int'>

>>>

>>> z = 3 + 2

>>> type(z)
<class 'int'>

Mọi thứ dường như kỳ lạ hơn khi bạn cung cấp chức năng nhà máy

>>> z = 3 + 2

>>> type(z)
<class 'int'>

>>>

>>> z = 3 + 2

>>> type(z)
<class 'int'>

Tuy nhiên, khi có hai đối số có mặt và ít nhất một trong số chúng là một số phức, bạn sẽ nhận được kết quả có thể khó giải thích từ cái nhìn đầu tiên:

>>>

>>> z = 3 + 2

>>> type(z)
<class 'int'>

Để có được câu trả lời, hãy để Lừa xem qua chức năng của nhà máy, tài liệu trực tuyến hoặc tài liệu trực tuyến, điều này giải thích những gì diễn ra dưới mui xe khi bạn gọi

>>> z = 3 + 2

>>> type(z)
<class 'int'>

Trả về một số phức với giá trị real + hình ảnh*1j hoặc chuyển đổi một chuỗi hoặc số thành một số phức. (Nguồn)

Trong giải thích này,

>>> z = 3 + 2

>>> type(z)
<class 'int'>

>>> z = 3 + 2

>>> type(z)
<class 'int'>

>>> 2 + 3j + 4 + 5j
(6+8j)

Khi nào bạn muốn sử dụng chức năng nhà máy

>>> z = 3 + 2

>>> type(z)
<class 'int'>

Nhập phân cấp cho các số trong Python

Các lớp cơ sở trừu tượng, được biểu thị bằng màu đỏ trên sơ đồ trên, có thể bỏ qua cơ chế kiểm tra kế thừa thông thường bằng cách đăng ký các lớp không liên quan làm các lớp con ảo của chúng. Đó là lý do tại sao một giá trị điểm nổi trong ví dụ dường như là một ví dụ là

>>> z = 3 + 2

>>> type(z)
<class 'int'>

>>> z = 3 + 2

>>> type(z)
<class 'int'>

>>>

>>> z = 3.14 + 2.71j
>>> type(z)
<class 'complex'>

Mô-đun

>>> z = 3 + 2

>>> type(z)
<class 'int'>

>>> z = 3 + 2

>>> type(z)
<class 'int'>

>>>

>>> z = 3.14 + 2.71j
>>> type(z)
<class 'complex'>

Mô-đun

>>> z = 3 + 2

>>> type(z)
<class 'int'>

>>> z = 3 + 2

>>> type(z)
<class 'int'>

>>>

>>> z = 3.14 + 2.71j
>>> type(z)
<class 'complex'>

Mô-đun

>>> z = 3 + 2

>>> type(z)
<class 'int'>

>>> z = 3 + 2

>>> type(z)
<class 'int'>

Giá trị điểm nổi >>> z = 3 + 2 >>> type(z) <class 'int'> 18 là một số thực cũng là một số phức nhưng không phải là một tích phân. Lưu ý rằng bạn có thể sử dụng các loại tích hợp trực tiếp trong một thử nghiệm như vậy:

Sự khác biệt giữa

>>> z = 3 + 2

>>> type(z)
<class 'int'>

>>> z = 3 + 2

>>> type(z)
<class 'int'>

>>>

>>> z = 3.14 + 2.71j
>>> type(z)
<class 'complex'>

Mô-đun

>>> z = 3 + 2

>>> type(z)
<class 'int'>

>>> z = 3 + 2

>>> type(z)
<class 'int'>

>>>

>>> z = 3.14 + 2.71j
>>> type(z)
<class 'complex'>

Mô-đun

>>> z = 3 + 2

>>> type(z)
<class 'int'>

>>> z = 3 + 2

>>> type(z)
<class 'int'>

>>>

>>> z = 3.14 + 2.71j
>>> type(z)
<class 'complex'>

Mô-đun

>>> z = 3 + 2

>>> type(z)
<class 'int'>

>>> z = 3 + 2

>>> type(z)
<class 'int'>

Truy cập các phần thực và tưởng tượng

Để có được các phần thực và tưởng tượng của một số phức trong Python, bạn có thể đạt được các thuộc tính

>>> z = 3 + 2

>>> type(z)
<class 'int'>

>>> z = 3 + 2

>>> type(z)
<class 'int'>

>>>

>>> z = 3.14 + 2.71j
>>> type(z)
<class 'complex'>

Cả hai thuộc tính đều chỉ đọc được vì các số phức là bất biến, vì vậy cố gắng gán một giá trị mới cho một trong số chúng sẽ thất bại:

Vì mỗi số trong Python là một loại cụ thể hơn của một số phức, các thuộc tính và phương thức được xác định trong

>>> z = 3 + 2

>>> type(z)
<class 'int'>

>>> z = 3 + 2

>>> type(z)
<class 'int'>

>>> z = 3 + 2

>>> type(z)
<class 'int'>

>>>

>>> z = 3.14 + 2.71j
>>> type(z)
<class 'complex'>

Phần tưởng tượng của những con số như vậy luôn luôn bằng không.

Tính toán liên hợp của một số phức

Các con số phức tạp Python chỉ có ba thành viên công cộng. Ngoài các thuộc tính

>>> z = 3 + 2

>>> type(z)
<class 'int'>

>>> z = 3 + 2

>>> type(z)
<class 'int'>

>>> z = 3 + 2

>>> type(z)
<class 'int'>

>>>

>>> z = 3.14 + 2.71j
>>> type(z)
<class 'complex'>

Đối với các số có phần tưởng tượng bằng 0, nó đã giành được bất kỳ hiệu ứng nào:

>>>

>>> 3 + 2j == 2j + 3
True

Bạn cũng có thể sử dụng toán tử Minus Min (-) để tạo âm của một số phức:unary minus operator (-) to make the negative of a complex number:

>>>

>>> 3 + 2j == 2j + 3
True

Điều này đảo ngược cả phần thực và phần tưởng tượng của số phức.

Phép nhân

Sản phẩm của hai hoặc nhiều số phức tạp trở nên thú vị hơn:

>>>

>>> 3 + 2j == 2j + 3
True

Làm thế nào trên trái đất bạn kết thúc với một số âm chỉ trong số các số tích cực? Để trả lời câu hỏi này, bạn phải nhớ lại định nghĩa của đơn vị tưởng tượng và viết lại biểu thức theo các phần thực và tưởng tượng:

Quan sát chính để thực hiện là

>>> 2 + 3j + 4 + 5j
(6+8j)

>>> 2 + 3j + 4 + 5j
(6+8j)

>>> 2 + 3j + 4 + 5j
(6+8j)

>>> z = 3 + 2

>>> type(z)
<class 'int'>

>>> z = 3 + 2

>>> type(z)
<class 'int'>

Phân công

Chia các số phức tạp có thể trông đáng sợ ở cuộc gặp gỡ đầu tiên:

>>>

>>> 3 + 2j == 2j + 3
True

Dù bạn có tin hay không, bạn có thể nhận được kết quả tương tự bằng cách sử dụng không có gì ngoài bút và giấy! .

Mẫu số trở thành một mô đun bình phương của ước số. Bạn sẽ tìm hiểu thêm về mô đun của các số phức tạp sau này. Khi bạn tiếp tục lấy công thức, đây là những gì bạn sẽ nhận được:modulus of the divisor. You’ll learn more about the modulus of complex numbers later. When you continue deriving the formula, this is what you’ll get:

Lưu ý rằng các số phức tạp không hỗ trợ phân chia sàn, còn được gọi là phân chia số nguyên:

>>>

>>> 3 + 2j == 2j + 3
True

Điều này được sử dụng để làm việc trong Python 2.x nhưng sau đó đã được gỡ bỏ để tránh sự mơ hồ.

Số mũ

Bạn có thể nâng các số phức lên một nguồn sử dụng toán tử số liệu nhị phân (

>>> z = 3 + 2

>>> type(z)
<class 'int'>

>>> z = 3 + 2

>>> type(z)
<class 'int'>

>>> z = 3 + 2

>>> type(z)
<class 'int'>

>>> z = 3 + 2

>>> type(z)
<class 'int'>

>>> z = 3 + 2

>>> type(z)
<class 'int'>

>>> z = 3 + 2

>>> type(z)
<class 'int'>

>>>

>>> 3 + 2j == 2j + 3
True

Cả cơ sở và số mũ có thể thuộc bất kỳ loại số nào, bao gồm số nguyên, điểm nổi, tưởng tượng hoặc phức tạp:base and the exponent can be of any numeric types, including integer, floating-point, imaginary, or complex:

>>>

>>> 3 + 2j == 2j + 3
True

Số lượng nhân thủ công của các số phức tạp trở nên rất khó khăn khi chúng được thể hiện ở dạng tiêu chuẩn. Nó thuận tiện hơn nhiều để viết lại số ở dạng lượng giác và tính năng lượng bằng cách sử dụng một số lượng giác cơ bản. Nếu bạn quan tâm đến toán học liên quan, hãy xem công thức De Moivre, cho phép bạn làm điều đó.trigonometric form and calculate the power using some basic trigonometry. If you’re interested in the math involved, check out De Moivre’s formula, which lets you do that.

Nhận tọa độ

Tam giác Bermuda là một khu vực huyền thoại được biết đến với các hiện tượng huyền bí trải dài trên khắp mũi phía nam của Florida, Puerto Rico và hòn đảo nhỏ của Bermuda. Các đỉnh của nó được chỉ định xấp xỉ bởi ba thành phố lớn có tọa độ địa lý như sau:

1. Miami: 25 ° 45, 42.054 N N, 80 ° 11, 30.438 25° 45’ 42.054” N, 80° 11’ 30.438” W
2. San Juan: 18 ° 27, 58,8 N, 66 ° 6, 20.598 18° 27’ 58.8” N, 66° 6’ 20.598” W
3. Hamilton: 32 ° 17, 41,64 N N, 64 ° 46, 58.908 32° 17’ 41.64” N, 64° 46’ 58.908” W

Sau khi chuyển đổi các tọa độ này thành các độ thập phân, bạn sẽ kết thúc với hai số điểm nổi cho mỗi thành phố. Bạn có thể sử dụng kiểu dữ liệu

>>> z = 3 + 2

>>> type(z)
<class 'int'>

>>> 3 + 2j == 2j + 3
True

Các giá trị kinh độ âm đại diện cho bán cầu tây, trong khi các giá trị vĩ độ dương đại diện cho bán cầu bắc.

Hãy nhớ rằng đây là những tọa độ hình cầu. Để chiếu chính xác chúng lên một mặt phẳng phẳng, bạn cần phải tính đến độ cong của Trái đất. Một trong những phép chiếu bản đồ đầu tiên được sử dụng trong bản đồ là phép chiếu Mercator, giúp các thủy thủ điều hướng tàu của họ. Nhưng hãy để Lừa bỏ qua tất cả những điều đó và cho rằng các giá trị đã được thể hiện trong hệ tọa độ hình chữ nhật.spherical coordinates. To correctly project them onto a flat plane, you’d need to account for the curvature of Earth. One of the first map projections used in cartography was the Mercator projection, which helped sailors navigate their ships. But let’s ignore all that and assume that values are already expressed in the rectangular coordinate system.

Khi bạn vẽ các số trên một mặt phẳng phức tạp, bạn sẽ nhận được một mô tả sơ bộ về tam giác Bermuda:

Trong các tài liệu đồng hành, bạn sẽ tìm thấy một cuốn sổ tay Jupyter tương tác vẽ hình tam giác Bermuda bằng thư viện Matplotlib. Để tải xuống mã nguồn và tài liệu cho hướng dẫn này, nhấp vào liên kết bên dưới:

Nếu bạn không thích gọi chức năng nhà máy

>>> z = 3 + 2

>>> type(z)
<class 'int'>

>>> 3 + 2j == 2j + 3
True

Nếu bạn cần đóng gói nhiều thuộc tính hơn trên một thành phố, bạn có thể sử dụng một tuple có tên hoặc một lớp dữ liệu hoặc tạo một lớp tùy chỉnh.

Tính độ lớn

Độ lớn, còn được gọi là mô đun hoặc bán kính của một số phức, là chiều dài của vectơ mô tả nó trên một mặt phẳng phức tạp:magnitude, also known as the modulus or radius of a complex number, is the length of the vector that depicts it on a complex plane:

Bạn có thể tính toán nó từ Định lý Pythagore bằng cách lấy căn bậc hai của tổng của phần thực bình phương và phần tưởng tượng bình phương:

Bạn sẽ nghĩ rằng Python sẽ cho phép bạn tính toán độ dài của một vectơ như vậy với

>>> z = 3 + 2

>>> type(z)
<class 'int'>

>>> z = 3 + 2

>>> type(z)
<class 'int'>

>>>

>>> 3 + 2j == 2j + 3
True

Hàm này loại bỏ dấu hiệu từ các số nguyên mà bạn chuyển vào, nhưng đối với các số phức, nó trả về độ lớn hoặc chiều dài vectơ:

>>>

>>> 3 - 2j == 3 + (-2j)
True

Hàm này loại bỏ dấu hiệu từ các số nguyên mà bạn chuyển vào, nhưng đối với các số phức, nó trả về độ lớn hoặc chiều dài vectơ:

Bạn có thể nhớ từ một phần trước đó rằng một số phức được nhân với liên hợp của nó tạo ra bình phương cường độ của nó.

Tìm khoảng cách giữa hai điểmgeometric center and the distances to it from the three cities that form its boundaries. First, you need to sum all coordinates and divide the result by their count to take the average:

>>> 3 - 2j == 3 + (-2j)
True

Hãy cùng tìm thấy trung tâm hình học của Tam giác Bermuda và khoảng cách với nó từ ba thành phố tạo thành ranh giới của nó. Đầu tiên, bạn cần tổng hợp tất cả các tọa độ và chia kết quả cho số lượng của họ để lấy trung bình:

Điều này sẽ cung cấp cho bạn một điểm nằm ở Đại Tây Dương, ở đâu đó trong Tam giác:

>>> 3 - 2j == 3 + (-2j)
True

Bây giờ bạn có thể tạo các vectơ neo ở các thành phố và hướng về trung tâm hình học của tam giác. Các vectơ được tạo bằng cách trừ nguồn từ điểm đích:

>>>

>>> 3 - 2j == 3 + (-2j)
True

Hàm này loại bỏ dấu hiệu từ các số nguyên mà bạn chuyển vào, nhưng đối với các số phức, nó trả về độ lớn hoặc chiều dài vectơ:

Bạn có thể nhớ từ một phần trước đó rằng một số phức được nhân với liên hợp của nó tạo ra bình phương cường độ của nó.

Tìm khoảng cách giữa hai điểmtranslated by the length of the vector indicated by the geometric center but in the opposite direction:

>>> 3 - 2j == 3 + (-2j)
True

Hãy cùng tìm thấy trung tâm hình học của Tam giác Bermuda và khoảng cách với nó từ ba thành phố tạo thành ranh giới của nó. Đầu tiên, bạn cần tổng hợp tất cả các tọa độ và chia kết quả cho số lượng của họ để lấy trung bình:

Điều này sẽ cung cấp cho bạn một điểm nằm ở Đại Tây Dương, ở đâu đó trong Tam giác:flip it horizontally, you’ll have to use the negative of the real part, which corresponds to the horizontal direction. To flip it vertically, you’ll take the negative of the imaginary part:

>>> 3 - 2j == 3 + (-2j)
True

Bây giờ bạn có thể tạo các vectơ neo ở các thành phố và hướng về trung tâm hình học của tam giác. Các vectơ được tạo bằng cách trừ nguồn từ điểm đích:

>>> 3 - 2j == 3 + (-2j)
True

Vì bạn trừ các số phức, mỗi vectơ cũng là một số phức tạp được tạo thành từ hai phần. Để có được khoảng cách của bạn, hãy tính độ lớn của từng vectơ:

>>> 3 - 2j == 3 + (-2j)
True

Những chiều dài vector này không phản ánh khoảng cách có ý nghĩa nhưng là xấp xỉ tốt cho một ví dụ đồ chơi như thế này. Để thể hiện kết quả chính xác trong các đơn vị hữu hình, bạn phải chuyển đổi tọa độ từ hình cầu sang hình chữ nhật trước hoặc tính khoảng cách bằng phương pháp vòng tròn lớn thay thế.

Dịch, lật, mở rộng và xoay is similar to translating, but instead of adding an offset, you’re going to multiply each vertex by a constant factor, which must be a real number:

>>> 3 - 2j == 3 + (-2j)
True

Có thể làm phiền bạn rằng tam giác xuất hiện trong phần tư thứ hai của hệ tọa độ Cartesian. Hãy để di chuyển nó để trung tâm hình học của nó phù hợp với nguồn gốc. Tất cả ba đỉnh sẽ được dịch theo chiều dài của vectơ được biểu thị bởi trung tâm hình học nhưng theo hướng ngược lại:

Lưu ý rằng bạn có thể thêm hai số phức tạp lại với nhau, thực hiện bổ sung yếu tố của chúng. Đây là một phép biến đổi affine vì nó không thay đổi hình dạng của tam giác hoặc vị trí tương đối của các đỉnh của nó:rotating it around the coordinate system’s origin. That’s vastly different from how you’d typically multiply vectors by each other. For example, a dot product of two vectors will result in a scalar, while their cross product returns a new vector in three-dimensional space, which is perpendicular to the surface they define.

Một phản xạ gương của tam giác xung quanh trục thực hoặc tưởng tượng đòi hỏi phải đảo ngược thành phần tương ứng trong các đỉnh của nó. Ví dụ, để lật nó theo chiều ngang, bạn sẽ phải sử dụng âm của phần thực, tương ứng với hướng ngang. Để lật nó theo chiều dọc, bạn sẽ lấy phần tiêu cực của phần tưởng tượng:

Làm thế nào để bạn tìm thấy một số phức tạp cụ thể sẽ xoay một số phức khác theo bất kỳ góc mong muốn nào khi cả hai được nhân? Đầu tiên, hãy xem bảng sau, tóm tắt các vòng quay liên tiếp bằng 90 °:

>>> 2 + 3j + 4 + 5j
(6+8j)

>>> 2 + 3j + 4 + 5j
(6+8j)

>>> 2 + 3j + 4 + 5j
(6+8j)

>>> 2 + 3j + 4 + 5j
(6+8j)

>>> 2 + 3j + 4 + 5j
(6+8j)

>>> 2 + 3j + 4 + 5j
(6+8j)

>>> 2 + 3j + 4 + 5j
(6+8j)

>>> 2 + 3j + 4 + 5j
(6+8j)

>>> 2 + 3j + 4 + 5j
(6+8j)

>>> 2 + 3j + 4 + 5j
(6+8j)

>>> 2 + 3j + 4 + 5j
(6+8j)

>>> 2 + 3j + 4 + 5j
(6+8j)

>>> 2 + 3j + 4 + 5j
(6+8j)

>>> 2 + 3j + 4 + 5j
(6+8j)

>>> 2 + 3j + 4 + 5j
(6+8j)

>>> 2 + 3j + 4 + 5j
(6+8j)

>>> 2 + 3j + 4 + 5j
(6+8j)

>>> 2 + 3j + 4 + 5j
(6+8j)

>>> 2 + 3j + 4 + 5j
(6+8j)

>>> 2 + 3j + 4 + 5j
(6+8j)

>>> 2 + 3j + 4 + 5j
(6+8j)

>>> 2 + 3j + 4 + 5j
(6+8j)

>>> 2 + 3j + 4 + 5j
(6+8j)

>>> 2 + 3j + 4 + 5j
(6+8j)

>>> 2 + 3j + 4 + 5j
(6+8j)

>>> 2 + 3j + 4 + 5j
(6+8j)

>>> 2 + 3j + 4 + 5j
(6+8j)

>>> 2 + 3j + 4 + 5j
(6+8j)

>>> 2 + 3j + 4 + 5j
(6+8j)

>>> 2 + 3j + 4 + 5j
(6+8j)

>>> 2 + 3j + 4 + 5j
(6+8j)

>>> 2 + 3j + 4 + 5j
(6+8j)

>>> 2 + 3j + 4 + 5j
(6+8j)

>>> 2 + 3j + 4 + 5j
(6+8j)

>>> 2 + 3j + 4 + 5j
(6+8j)

450 °

Z ×

>>> 2 + 3j + 4 + 5j
(6+8j)

>>> 2 + 3j + 4 + 5j
(6+8j)

>>> 2 + 3j + 4 + 5j
(6+8j)

>>> 2 + 3j + 4 + 5j
(6+8j)

>>> 2 + 3j + 4 + 5j
(6+8j)

>>> 2 + 3j + 4 + 5j
(6+8j)

>>> 3 - 2j == 3 + (-2j)
True

540 °exponential form to make the calculations more straightforward:

Z ×

>>> 2 + 3j + 4 + 5j
(6+8j)

>>> 2 + 3j + 4 + 5j
(6+8j)

>>> 2 + 3j + 4 + 5j
(6+8j)

>>> 2 + 3j + 4 + 5j
(6+8j)

>>> 2 + 3j + 4 + 5j
(6+8j)

>>> 2 + 3j + 4 + 5j
(6+8j)

>>> z = 3.14
>>> type(z)
<class 'float'>

>>> 2 + 3j + 4 + 5j
(6+8j)

630 °

>>> 2 + 3j + 4 + 5j (6+8j) 18

Khi bạn thể hiện phép nhân lặp đi lặp lại bằng

>>> 2 + 3j + 4 + 5j
(6+8j)

Ví dụ, số mũ giữa vòng quay đầu tiên bằng 0,5 và biểu thị góc 45 °:polar coordinates that also let you find it unambiguously with two distances:

1. Vì vậy, nếu bạn biết rằng một sức mạnh của một đại diện cho góc phù hợp và bất cứ điều gì ở giữa các thang đo theo tỷ lệ, thì bạn có thể lấy được công thức chung này cho các vòng quay tùy ý: is the length of the radius measured from the origin.
2. Lưu ý rằng việc xoay trở nên tự nhiên hơn khi bạn thể hiện các số phức tạp của bạn trong tọa độ cực, đã mô tả góc. Sau đó, bạn có thể tận dụng hình thức theo cấp số nhân để làm cho các tính toán đơn giản hơn: is the angle measured between the horizontal axis and the radius.

Có hai cách để xoay một số bằng tọa độ cực:radius, also known as the modulus, corresponds to the complex number’s magnitude, or the vector’s length. The angle is commonly referred to as the phase or argument of a complex number. It’s useful to express the angle in radians rather than degrees when working with trigonometric functions.

Bạn có thể tổng hợp các góc hoặc nhân số phức của bạn với một vectơ đơn vị.

Bạn sẽ tìm hiểu thêm về những người trong phần tiếp theo.

Việc chuyển đổi giữa hai hệ tọa độ được thực hiện với một vài chức năng bị chôn vùi trong mô -đun

>>> 2 + 3j + 4 + 5j
(6+8j)

>>> z = 3.14 + 2.71j
>>> type(z)
<class 'complex'>

>>>

>>> z = 3.14
>>> type(z)
<class 'float'>

Nó sẽ trả lại một tuple, trong đó phần tử thứ nhất là bán kính và phần tử thứ hai là góc trong radian. Lưu ý rằng bán kính có cùng giá trị với độ lớn mà bạn có thể tính toán bằng cách gọi

>>> z = 3 + 2

>>> type(z)
<class 'int'>

>>> z = 3.14 + 2.71j
>>> type(z)
<class 'complex'>

>>>

>>> z = 3.14
>>> type(z)
<class 'float'>

Nó sẽ trả lại một tuple, trong đó phần tử thứ nhất là bán kính và phần tử thứ hai là góc trong radian. Lưu ý rằng bán kính có cùng giá trị với độ lớn mà bạn có thể tính toán bằng cách gọi

>>> z = 3 + 2

>>> type(z)
<class 'int'>

>>> z = 3.14 + 2.71j
>>> type(z)
<class 'complex'>

Góc có thể thu được bằng cách sử dụng lượng giác cơ bản vì phần thực, phần tưởng tượng và độ lớn cùng nhau tạo thành một tam giác vuông:arcsine, either from

>>> z = 3 + 2

>>> type(z)
<class 'int'>

>>> 2 + 3j + 4 + 5j
(6+8j)

>>>

>>> z = 3.14
>>> type(z)
<class 'float'>

Nó sẽ trả lại một tuple, trong đó phần tử thứ nhất là bán kính và phần tử thứ hai là góc trong radian. Lưu ý rằng bán kính có cùng giá trị với độ lớn mà bạn có thể tính toán bằng cách gọi

>>> z = 3 + 2

>>> type(z)
<class 'int'>

>>> z = 3.14 + 2.71j
>>> type(z)
<class 'complex'>

>>> z = 3.14 + 2.71j
>>> type(z)
<class 'complex'>

>>>

>>> z = 3.14
>>> type(z)
<class 'float'>

Nó sẽ trả lại một tuple, trong đó phần tử thứ nhất là bán kính và phần tử thứ hai là góc trong radian. Lưu ý rằng bán kính có cùng giá trị với độ lớn mà bạn có thể tính toán bằng cách gọi

>>> z = 3 + 2

>>> type(z)
<class 'int'>

>>> z = 3.14 + 2.71j
>>> type(z)
<class 'complex'>

Góc có thể thu được bằng cách sử dụng lượng giác cơ bản vì phần thực, phần tưởng tượng và độ lớn cùng nhau tạo thành một tam giác vuông:

>>>

>>> z = 3.14
>>> type(z)
<class 'float'>

Nó sẽ trả lại một tuple, trong đó phần tử thứ nhất là bán kính và phần tử thứ hai là góc trong radian. Lưu ý rằng bán kính có cùng giá trị với độ lớn mà bạn có thể tính toán bằng cách gọi

>>> z = 3 + 2

>>> type(z)
<class 'int'>

>>> z = 3.14 + 2.71j
>>> type(z)
<class 'complex'>

>>>

>>> z = 3.14
>>> type(z)
<class 'float'>

Góc có thể thu được bằng cách sử dụng lượng giác cơ bản vì phần thực, phần tưởng tượng và độ lớn cùng nhau tạo thành một tam giác vuông:

>>>

>>> z = 3.14j
>>> type(z)
<class 'complex'>

Bạn có thể sử dụng các hàm lượng giác nghịch đảo, chẳng hạn như arcsine, từ

>>> z = 3 + 2

>>> type(z)
<class 'int'>

>>> 2 + 3j + 4 + 5j
(6+8j)

>>>

>>> z = 3.14j
>>> type(z)
<class 'complex'>

Tuy nhiên, có một chi tiết nhỏ để cẩn thận khi sử dụng hàm Arctangent, điều này đã khiến nhiều ngôn ngữ lập trình phát triển một triển khai thay thế gọi là

>>> z = 3.14 + 2.71j
>>> type(z)
<class 'complex'>

Lưu ý cách >>> z = 3.14 + 2.71j >>> type(z) <class 'complex'> 24 không nhận ra hai điểm khác nhau nằm trong các góc phần tư đối diện của hệ tọa độ. Mặt khác, >>> z = 3.14 + 2.71j >>> type(z) <class 'complex'> 23 mong đợi hai đối số thay vì một để bảo tồn các dấu hiệu riêng lẻ trước khi chia cho nhau và cũng tránh các vấn đề khác.

Để có được độ thay vì radian, bạn có thể thực hiện chuyển đổi cần thiết bằng cách sử dụng mô -đun

>>> z = 3 + 2

>>> type(z)
<class 'int'>

• Đảo ngược quá trình, đó là, chuyển đổi cực sang tọa độ hình chữ nhật trên các chức năng khác. Tuy nhiên, bạn có thể chỉ cần vượt qua cùng một tuple mà bạn có được từ

  >>> z = 3.14 + 2.71j
  >>> type(z)
  <class 'complex'>
  

  18 kể từ khi

  >>> z = 3.14 + 2.71j
  >>> type(z)
  <class 'complex'>
  

  28 mong đợi hai đối số riêng biệt:
• Đó là một ý tưởng tốt để giải nén bộ tuple trước tiên khi thực hiện một bài tập và đưa ra các yếu tố đó nhiều tên mô tả hơn. Bây giờ bạn có thể gọi

  >>> z = 3.14 + 2.71j
  >>> type(z)
  <class 'complex'>
  

  28 chính xác:
• Bạn có thể gặp lỗi làm tròn trên đường đi trong khi Python thực hiện các tính toán. Đằng sau hậu trường, nó gọi các hàm lượng giác để truy xuất các phần thực và tưởng tượng:
• Một lần nữa, không quan trọng cho dù bạn sử dụng

  >>> z = 3 + 2
  
  >>> type(z)
  <class 'int'>
  

  47 hay

  >>> 2 + 3j + 4 + 5j
  (6+8j)
  

  0 trong trường hợp này vì kết quả sẽ giống hệt nhau.

Đại diện cho các số phức tạp khác nhau

Bất kể hệ tọa độ, bạn có thể diễn đạt cùng một số phức trong một vài hình thức tương đương về mặt toán học:

Đại số (Tiêu chuẩn)

>>> 2 + 3j + 4 + 5j
(6+8j)

Lượng giác

z = | z | (cos (x/| z |) + ________ 81Sin (y/| z |)))

>>>

>>> z = 3.14j
>>> type(z)
<class 'complex'>

z = r (cos (φ) + ________ 81sin (φ)))

số mũ

Kiểm tra bình đẳng của các số phức tạp

Về mặt toán học, hai số phức là bằng nhau khi chúng có các giá trị giống hệt nhau bất kể hệ tọa độ được thông qua. Tuy nhiên, việc chuyển đổi giữa các tọa độ phân cực và hình chữ nhật thường đưa ra các lỗi làm tròn trong Python, vì vậy bạn cần coi chừng sự khác biệt nhỏ khi so sánh chúng.

Ví dụ, khi bạn xem xét một điểm trên một vòng tròn đơn vị có bán kính bằng một và được nghiêng ở 60 °, thì lượng giác hoạt động độc đáo, làm cho việc chuyển đổi bằng bút và giấy đơn giản:

>>>

>>> z = 3.14j
>>> type(z)
<class 'complex'>

Mặc dù bạn biết rằng

>>> z = 3.14 + 2.71j
>>> type(z)
<class 'complex'>

>>> z = 3.14 + 2.71j
>>> type(z)
<class 'complex'>

>>> z = 3 + 2

>>> type(z)
<class 'int'>

>>> 2 + 3j + 4 + 5j
(6+8j)

>>>

>>> z = 3.14 + 2.71j
>>> type(z)
<class 'complex'>

>>> z = 3.14 + 2.71j
>>> type(z)
<class 'complex'>

>>> z = 3 + 2

>>> type(z)
<class 'int'>

>>> 2 + 3j + 4 + 5j
(6+8j)

>>> z = 3.14j
>>> type(z)
<class 'complex'>

Hãy nhớ luôn luôn sử dụng chúng khi so sánh các số phức tạp! Nếu dung sai mặc định không đủ tốt cho các tính toán của bạn, bạn có thể thay đổi nó bằng cách chỉ định các đối số bổ sung.

Đặt hàng số phức

>>>

>>> z = 3.14j
>>> type(z)
<class 'complex'>

Mặc dù bạn biết rằng

>>> z = 3.14 + 2.71j
>>> type(z)
<class 'complex'>

>>> z = 3.14 + 2.71j
>>> type(z)
<class 'complex'>

>>> z = 3 + 2

>>> type(z)
<class 'int'>

>>> 2 + 3j + 4 + 5j
(6+8j)

>>>

>>> z = 3.14j
>>> type(z)
<class 'complex'>

Mặc dù bạn biết rằng

>>> z = 3.14 + 2.71j
>>> type(z)
<class 'complex'>

>>> z = 3.14 + 2.71j
>>> type(z)
<class 'complex'>

>>> z = 3 + 2

>>> type(z)
<class 'int'>

>>> 2 + 3j + 4 + 5j
(6+8j)

>>>

>>> z = 3.14j
>>> type(z)
<class 'complex'>

Mặc dù bạn biết rằng

>>> z = 3.14 + 2.71j
>>> type(z)
<class 'complex'>

>>> z = 3.14 + 2.71j
>>> type(z)
<class 'complex'>

>>> z = 3 + 2

>>> type(z)
<class 'int'>

>>> 2 + 3j + 4 + 5j
(6+8j)

>>> z = 3 + 2

>>> type(z)
<class 'int'>

>>>

>>> z = 3.14j
>>> type(z)
<class 'complex'>

Mặc dù bạn biết rằng

>>> z = 3.14 + 2.71j
>>> type(z)
<class 'complex'>

>>> z = 3.14 + 2.71j
>>> type(z)
<class 'complex'>

>>> z = 3 + 2

>>> type(z)
<class 'int'>

>>> 2 + 3j + 4 + 5j
(6+8j)

>>> z = 3.14j >>> type(z) <class 'complex'> 4

Hãy nhớ luôn luôn sử dụng chúng khi so sánh các số phức tạp! Nếu dung sai mặc định không đủ tốt cho các tính toán của bạn, bạn có thể thay đổi nó bằng cách chỉ định các đối số bổ sung.

Đặt hàng số phức

>>>

>>> z = 3.14j
>>> type(z)
<class 'complex'>

Mặc dù bạn biết rằng

>>> z = 3.14 + 2.71j
>>> type(z)
<class 'complex'>

>>> z = 3.14 + 2.71j
>>> type(z)
<class 'complex'>

>>> z = 3 + 2

>>> type(z)
<class 'int'>

>>> 2 + 3j + 4 + 5j
(6+8j)

>>>

>>> z = 3.14 + 0j
>>> type(z)
<class 'complex'>

Mặc dù bạn biết rằng

>>> z = 3.14 + 2.71j
>>> type(z)
<class 'complex'>

>>> z = 3.14 + 2.71j
>>> type(z)
<class 'complex'>

>>> z = 3 + 2

>>> type(z)
<class 'int'>

>>> 2 + 3j + 4 + 5j
(6+8j)

>>>

>>> z = 3.14 + 0j
>>> type(z)
<class 'complex'>

Mặc dù bạn biết rằng

>>> z = 3.14 + 2.71j
>>> type(z)
<class 'complex'>

>>> z = 3.14 + 2.71j
>>> type(z)
<class 'complex'>

>>> z = 3 + 2

>>> type(z)
<class 'int'>

>>> 2 + 3j + 4 + 5j
(6+8j)

>>>

>>> z = 3.14 + 0j
>>> type(z)
<class 'complex'>

Mặc dù bạn biết rằng

>>> z = 3.14 + 2.71j
>>> type(z)
<class 'complex'>

>>> z = 3.14 + 2.71j
>>> type(z)
<class 'complex'>

>>> z = 3 + 2

>>> type(z)
<class 'int'>

>>> 2 + 3j + 4 + 5j
(6+8j)

>>>

>>> z = 3.14 + 0j
>>> type(z)
<class 'complex'>

Mặc dù bạn biết rằng

>>> z = 3.14 + 2.71j
>>> type(z)
<class 'complex'>

>>> z = 3.14 + 2.71j
>>> type(z)
<class 'complex'>

>>> z = 3 + 2

>>> type(z)
<class 'int'>

>>> 2 + 3j + 4 + 5j
(6+8j)

>>> z = 3.14j >>> type(z) <class 'complex'> 4

Hãy nhớ luôn luôn sử dụng chúng khi so sánh các số phức tạp! Nếu dung sai mặc định không đủ tốt cho các tính toán của bạn, bạn có thể thay đổi nó bằng cách chỉ định các đối số bổ sung.bound vectors. You might calculate their dot product and do some trigonometry. Alternatively, you can take advantage of complex numbers.

Đặt hàng số phức

>>> z = 3.14 + 0j
>>> type(z)
<class 'complex'>

Nếu bạn quen thuộc với Tuples, thì bạn sẽ biết rằng Python có thể sắp xếp chúng:

Theo mặc định, các bộ dữ liệu riêng lẻ được so sánh bên trái:

>>> z = 3.14 + 0j
>>> type(z)
<class 'complex'>

Trong trường hợp đầu tiên, số

>>> z = 3.14 + 2.71j
>>> type(z)
<class 'complex'>

>>> z = 3.14 + 2.71j
>>> type(z)
<class 'complex'>

>>> z = 3 + 2

>>> type(z)
<class 'int'>

>>>

>>> z = 3.14 + 0j
>>> type(z)
<class 'complex'>

Trong một số trường hợp, bạn không phải thực hiện loại loại này tự đúc. Hãy cùng xem một ví dụ trong thực tế:

>>>

>>> z = 3.14 + 0j
>>> type(z)
<class 'complex'>

Bạn đã có hai vectơ được xác định bởi bốn điểm riêng biệt. Tiếp theo, bạn chuyển chúng trực tiếp đến

>>> z = 3.14 + 2.71j
>>> type(z)
<class 'complex'>

Có phải là người đẹp không? Bạn đã tự cứu mình khỏi việc gõ rất nhiều mã dễ bị lỗi bằng cách cõng những con số phức tạp và một chút ma thuật Python.