Độ cao y (m) của một điểm thuộc vòng cung thành cầu cảng Sydney có thể biểu thị theo độ dài x (m) tính từ chân cầu bên trái dọc theo đường nối với chân cầu bên phải như sau (Hình 10): y = – 0,00188(x – 251,5)2 + 118. Hàm số y = – 0,00188(x – 251,5)2 + 118 có gì đặc biệt? Lời giải: Sau bài này ta sẽ trả lời được câu hỏi này như sau: Hàm số y = – 0,00188(x – 251,5)2 + 118 là hàm số bậc hai và có đồ thị hàm số là một đường cong Parabol. 1. Hàm số bậc hai Hoạt động 1 trang 39 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hàm số y = – 0,00188(x – 251,5)2 + 118
Lời giải:
⇔ y = – 0,00188(x2 – 503x + 63252,25) + 118 ⇔ y = – 0,00188x2 + 0,94564x – 118,91423 + 118 ⇔ y = – 0,00188x2 + 0,94564x – 0,91423 Vậy công thức hàm số được viết về dạng đa thức theo lũy thừa giảm dần của x là y = – 0,00188x2 + 0,94564x – 0,91423.
Đa thức – 0,00188x2 + 0,94564x – 0,91423 có bậc là 2 Vậy bậc đa thức đã cho là 2.
+ Hệ số của x2 là: –0,00188 + Hệ số của x là: 0,94564 + Hệ số do là: – 0,91423. Luyện tập 1 trang 39 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hai ví dụ về hàm số bậc hai. Lời giải: Một số ví dụ về hàm số bậc hai là: + Hàm số y = x2 - 5x + 8 là hàm số bậc hai với a = 1 ≠ 0, b = -5 và c = 8 + Hàm số y = −12x2 + 15x là hàm số bậc hai với a = −12≠0, b = 15 và c = 0. 2. Đồ thị hàm số bậc hai Hoạt động 2 trang 39 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hàm số y = x2 + 2x – 3
x – 3 – 2 – 1 0 1 y ? ? ? ? ?
Lời giải:
+) Thay x = – 3 vào hàm số đã cho ta được: y = (– 3)2 + 2 . (– 3) – 3 = 0. +) Thay x = – 2 vào hàm số đã cho ta được: y = (– 2)2 + 2 . (– 2) – 3 = – 3. +) Thay x = – 1 vào hàm số đã cho ta được: y = (– 1)2 + 2 . (– 1) – 3 = – 4. +) Thay x = 0 vào hàm số đã cho ta được: y = 02 + 2 . 0 – 3 = – 3. +) Thay x = 1 vào hàm số đã cho ta được: y = 12 + 2 . 1 – 3 = 0. Vậy ta hoàn thành bảng như sau: x – 3 – 2 – 1 0 1 y 0 – 3 – 4 – 3 0
Phương trình trục đối xứng của parabol là: x = – 1. Đồ thị hàm số đã cho quay bề lõm hướng lên trên. Hoạt động 3 trang 40 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hàm số y = – x2 + 2x + 3.
Lời giải: a) Thay x = – 1 vào đồ thị hàm số đã cho ta được: y = – (– 1)2 + 2 . (– 1) + 3 = 0. Thay x = 0 vào đồ thị hàm số đã cho ta được: y = – 02 + 2 . 0 + 3 = 3. Thay x = 1 vào đồ thị hàm số đã cho ta được: y = – 12 + 2 . 1 + 3 = 4. Thay x = 2 vào đố thị hàm số đã cho ta được: y = – 22 + 2 . 2 + 3 = 3. Thay x = 3 vào đồ thị hàm số đã cho ta được: y = – 32 + 2 . 3 + 3 = 0. Vậy tọa độ các điểm cần tìm là: A(– 1; 0), B(0; 3), C(1; 4), D(2; 3), E(3; 0) và được vẽ lên mặt phẳng tọa độ như sau:
Phương trình trục đối xứng của parabol là: x = 1. Đồ thị hàm số đó quay bề lõm hướng xuống dưới. Luyện tập 2 trang 41 Toán lớp 10 Tập 1: Vẽ đồ thị mỗi hàm số bậc hai sau:
Lời giải:
Ta có: a = 1, b = – 4, c = – 3, ∆ = (– 4)2 – 4 . 1 . (– 3) = 28. - Tọa độ đỉnh I = −b2a;−Δ4a=−−42.1;−284.1 \= (2; – 7). - Trục đối xứng x = −b2a=−−42.1 \= 2. Ta có bảng sau: x -2 0 2 4 6 y = x2 – 4x – 3 9 -3 -7 -3 9 - Đồ thị hàm số đi qua các điểm có A(-2; 9), B(0; -3), I(2; -7), D(4; -3) và E(6; 9). - Vì a > 0 nên bề lõm của đồ thị hướng lên trên. Vẽ parabol đi qua các điểm được xác định ở trên, ta nhận được đồ thị hàm số y = x2 – 4x – 3 như hình dưới.
Ta có: a = 1, b = 2, c = 1, ∆ = 22 – 4 . 1 . 1 = 0. - Tọa độ đỉnh I = −b2a;−Δ4a=−22.1;−04.1 \= (-1; 0). - Trục đối xứng x = −b2a=−22.1 \= -1. Ta có bảng sau: x -3 -2 -1 0 1 y = x2 + 2x + 1 4 1 0 1 4 Đồ thị hàm số đi qua các điểm A(-3; 4), B(-2; 1), I(-1; 0), D(0; 1) và E(1; 4). - Vì a = 1 > 0 nên bề lõm của đồ thị hướng lên trên. Vẽ parabol đi qua các điểm được xác định ở trên, ta nhận được đồ thị hàm số y = x2 + 2x + 1 như hình dưới.
Ta có: a = – 1, b = 0, c = – 2, ∆ = 02 – 4 . (– 1) . (– 2) = – 8. - Tọa độ đỉnh I = −b2a;−Δ4a=−02.−1;−−84.−1 \= (0; -2). - Trục đối xứng x = −b2a=−02.−1=0. Ta có bảng sau: x -2 -1 0 1 2 y = -x2 - 2 -6 -3 -2 -3 -6 Đồ thị hàm số đi qua các điểm A(-2; -6), B(-1; -3), I(0; -2), C(1; -3) và D(2; -6). - Do a = -1 < 0 nên bề lõm của đồ thị hướng xuống dưới. Vẽ parabol đi qua các điểm được xác định ở trên, ta nhận được đồ thị hàm số y = – x2 – 2 như hình dưới. Hoạt động 4 trang 41 Toán lớp 10 Tập 1:
Lời giải:
+ Trong khoảng (– ∞; – 1) đồ thị hàm số đã cho “đi xuống” nên hàm số nghịch biến trên khoảng (– ∞; – 1). + Trong khoảng (– 1; + ∞) đồ thị hàm số đã cho “đi lên” nên hàm số đồng biến trên khoảng (– 1; + ∞). Khi đó ta có bảng biến thiên sau:
+ Trong khoảng (– ∞; 1) đồ thị hàm số đã cho “đi lên” nên hàm số đồng biến trên khoảng (– ∞; 1). + Trong khoảng (1; + ∞) đồ thị hàm số trên đi xuống nên hàm số nghịch biến trên khoảng (1; + ∞). Ta có bảng biến thiên Luyện tập 3 trang 42 Toán lớp 10 Tập 1: Lập bảng biến thiên của mỗi hàm số sau:
Lời giải:
Khi đó: ∆ = (– 3)2 – 4 . 1 . 4 = – 7,−b2a=−−32=32, −Δ4a=−−74.1=74. Do đó hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng −∞;32và đồng biến trên khoảng 32;+∞. Ta có bảng biến thiên:
Do đó hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (– ∞; 0) và nghịch biến trên khoảng (0; + ∞). Ta có bảng biến thiên: 3. Ứng dụng Luyện tập 4 trang 43 Toán lớp 10 Tập 1: Trong bài toán ở phần mở đầu, độ cao y (m) của một điểm thuộc vòng cung thành cầu cảng Sydney đạt giá trị lớn nhất là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)? Lời giải: Ta có: y = – 0,00188(x – 251,5)2 + 118 ⇔ y = – 0,00188x2 + 0,94564x – 0,91423 là hàm số bậc hai với a = -0,00188, b = 0,94564 và c = -0,91423. Khi đó: ∆ = (0,94564)2 – 4 . (– 0,00188) . (– 0,91423) = 0,88736 Suy ra: −Δ4a=−0,887364.−0,00188=118 Ta có: a = – 0,00188 < 0 ta có bảng biến thiên sau: Vậy độ cao lớn nhất cần tìm là 118 m. Bài tập Bài 1 trang 43 Toán lớp 10 Tập 1: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số bậc hai? Với những hàm số bậc hai đó, xác định a, b, c lần lượt là hệ số của x2, hệ số của x và hệ số tự do.
Lời giải:
Bậc của đa thức là 4. Do đó hàm số này không phải là hàm số bậc hai.
Hàm số này có dạng y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) nên đây là hàm số bậc hai với hệ số a = 8, b = – 20 và c = 0. Bài 2 trang 43 Toán lớp 10 Tập 1: Xác định parabol y = ax2 + bx + 4 trong mỗi trường hợp sau:
Lời giải:
12 = a.12 + b.1 + 4 ⇔ a + b = 8 ⇔ a = 8 – b Thay x = – 3, y = 4 vào hàm số ta được: 4 = a.(-3)2 + (-3).b + 4 ⇔ 4 = 9a - 3b + 4 ⇔ 3a – b = 0 (1) Thế a = 8 - b vào (1) ta có: 3. (8 – b) – b = 0 ⇔ 24 – 4b = 0 ⇔ b = 6. ⇒ a = 8 – b = 8 – 6 = 2. Vậy parabol cần tìm là y = 2x2 + 6x + 4.
Khi đó, ta có: −b2a=−3 a.−32+b.−3+4=−5 ⇔b=6a 9a−3b=−9 ⇔b=6a 9a−3.6a=−9 ⇔b=6a −9a=−9 ⇔b=6 a=1 Vậy parabol cần tìm là y = x2 + 6x + 4. Bài 3 trang 43 Toán lớp 10 Tập 1: Vẽ đồ thị của mỗi hàm số sau:
Lời giải:
Ta có: a = 2, b = – 6, c = 4, ∆ = (– 6)2 – 4 . 2 . 4 = 4. - Tọa độ đỉnh I=−b2a;−Δ4a=−−62.2;−44.2=32;−12. - Trục đối xứng x=−b2a=−−62.2=32. - Ta có bảng sau: x 0 1 32 2 3 y = 2x2 – 6x + 4 4 0 −12 0 4 Đồ thị hàm số là các đường thẳng đi qua các điểm A(0; 4), B(1; 0), I32;−12, C(2; 0) và D(3; 4). - Do a > 0 nên đồ thị có bề lõm hướng lên trên. Vẽ đường cong đi qua các điểm trên ta được đồ thị hàm số y = 2x2 – 6x + 4 như hình vẽ dưới.
Ta có: a = – 3, b = – 6, c = – 3, ∆ = (– 6)2 – 4 . (– 3) . (– 3) = 0. - Tọa độ đỉnh I=−b2a;−Δ4a=−−62.−3;−04.−3=−1;0. - Trục đối xứng x=−b2a=−−62.−3=−1. - Tọa độ đỉnh I(– 1; 0). - Trục đối xứng x = – 1. - Ta có bảng sau: x -3 -2 -1 0 1 y = – 3x2 – 6x – 3 -12 -3 0 -3 -12 Đồ thị hàm số là các đường thẳng đi qua các điểm A(-3; -12), B(-2; -3), I(-1; 0), C(0; -3) và D(1; -12). - Do a < 0 nên bề lõm của đồ thị hướng xuống. Vẽ đường cong đi qua các điểm trên ta được đồ thị hàm số y = – 3x2 – 6x – 3 như hình dưới. Bài 4 trang 43 Toán lớp 10 Tập 1: Cho đồ thị hàm số bậc hai ở Hình 15.
Lời giải:
- Đồ thị hàm số đi xuống trên khoảng (– ∞; 2) nên hàm số nghịch biến trên (– ∞; 2). - Đồ thị hàm số đi lên trên khoảng (2; + ∞) nên hàm số đồng biến trên (2; + ∞).
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại (0; 3): Thay x = 0 và y = 3 vào đồ thị hàm số (1), ta được: 3 = a.02 + b.0 + c ⇔ c = 3. Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm (1; 0) và (3; 0) Thay x = 1 và y = 0 vào đồ thị hàm số (1), ta được: 0 = a.12 + b.1 + c ⇔ a + b + c = 0 Mà c = 3 nên a + b + 3 = 0 Thay x = 3 và y = 0 vào đồ thị hàm số (1), ta được: 0 = a.32 + b.3 + c ⇔ 9a + 3b + c = 0 Mà c = 3 nên 9a + 3b + 3 = 0 Khi đó ta có hệ phương trình: a+b+3=09a+3b+3=0⇔a=−b−39−b−3+3b+3=0⇔a=−b−3−6b−24=0⇔a=1b=−4 Vậy công thức xác định của hàm số là: y = x2 – 4x + 3. Bài 5 trang 43 Toán lớp 10 Tập 1: Nêu khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của mỗi hàm số sau:
Lời giải:
Ta có: a = 5 > 0, b = 4, −b2a=−42.5=−25, Δ = 42 – 4.5.(-1) = 16 + 20 = 36, −Δ4a=−364.5=−95. Khi đó ta có bảng biến thiên sau: Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng −∞;−25 và đồng biến trên khoảng −25;+∞.
Ta có: a = – 2 < 0, b = 8, −b2a=−82.−2=2, Δ = 82 – 4.(-2).6 = 64 + 48 = 112, −Δ4a=−1124.−2=14. Khi đó, ta có bảng biến thiên: Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (– ∞ ; 2) và nghịch biến trên khoảng (2; + ∞). Bài 6 trang 43 Toán lớp 10 Tập 1: Khi du lịch đến thành phố St.Louis (Mỹ), ta sẽ thấy một cái cổng lớn có hình parabol hướng bề lõm xuống dưới, đó là cổng Arch. Giả sử ta lập một hệ tọa độ Oxy sao cho một chân cổng đi qua gốc O như Hình 16 (x và y tính bằng mét), chân kia của cổng có vị trí tọa độ (162; 0). Biết một điểm M trên cổng có tọa độ là (10; 43). Tính chiều cao của cổng (tính từ điểm cao nhất trên cổng xuống mặt đất), làm tròn kết quả đến hàng đơn vị. Lời giải: Quan sát đồ thị hàm số, ta thấy: Cổng Arch có dạng hình parabol nên có dạng: y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) (1) Ta có parabol này đi qua gốc tọa độ O(0; 0), điểm M(10; 43) và điểm có tọa độ (162; 0). Vì điểm O(0; 0) thuộc đồ thị hàm số nên thay x = 0 và y = 0 vào đồ thị hàm số (1) ta được: 0 = a . 02 + b . 0 + c ⇔ c = 0 Vì điểm M(10; 43) thuộc đồ thị hàm số nên thay x = 10 và y = 43 vào đồ thị hàm số (1) ta được: 43 = a.102 + b.10 + c ⇔ 100a + 10b = 43 (do c = 0) Vì điểm có tọa độ (162; 0) thuộc đồ thị hàm số nên thay x = 162 và y = 0 vào đồ thị hàm số (1) ta được: 0 = a.1622 + b. 162 + c |