Các giả định về sai số hồi quy như sau đảm bảo cho các ước lượng hệ số hàm hồi quy tổng thể dựa trên mẫu theo phương pháp bình phương tối thiểu là ước lượng tuyến tính không chệch tốt nhất(BLUE). Giá trị kỳ vọng bằng 0:  Phương sai không đổi: Không tự tương quan: Không tương quan với X: Có phân phối chuẩn: Ở chương 5 chúng ta sẽ khảo sát hậu quả khi các giả thiết trên bị vi phạm. Phương pháp bình phương tối thiểu:Ý tưởng của phương pháp bình phương tối thiểu là tìm βˆ1 size 12{ { hat {β}} rSub { size 8{1} } } {} và βˆ2 size 12{ { hat {β}} rSub { size 8{2} } } {} sao cho tổng bình phương phần dư có giá trị nhỏ nhất. Từ hàm hồi quy (3.5) Vậy (3.6) Điều kiện để (3.6) đạt cực trị là: Từ (3.7) và (3.8) chúng ta rút ra Các phương trình (3.9) và (3.10) được gọi là các phương trình chuẩn. Giải hệ phương trình chuẩn ta được Thay (3.9) vào (3.8) và biến đổi đại số chúng ta có Đặt xi=Xi−Xˉ size 12{x rSub { size 8{i} } =X rSub { size 8{i} } - { bar {X}}} {} và yi=Yi−Yˉ size 12{y rSub { size 8{i} } =Y rSub { size 8{i} } - { bar {Y}}} {} ta nhận được Tính chất của hàm hồi quy mẫu theo OLSTính chất của tham số ước lượng βˆ1 size 12{ { hat {β}} rSub { size 8{1} } } {} và βˆ2 size 12{ { hat {β}} rSub { size 8{2} } } {} là duy nhất ứng với một mẫu xác định gồm n quan sát (Xi,Yi). βˆ1 size 12{ { hat {β}} rSub { size 8{1} } } {} và βˆ2 size 12{ { hat {β}} rSub { size 8{2} } } {} là các ước lượng điểm của βˆ size 12{ { hat {β}}} {}1 và βˆ2 size 12{ { hat {β}} rSub { size 8{2} } } {} . Giá trị của βˆ1 size 12{ { hat {β}} rSub { size 8{1} } } {} và βˆ2 size 12{ { hat {β}} rSub { size 8{2} } } {} thay đổi theo mẫu dùng để ước lượng. Tính chất của hàm hồi quy mẫu Phần chứng minh các tính chất ở phần này có thể tìm đọc ở Gujarati, Basic Econometrics,3rd Edition, p56-59. Hàm hồi quy mẫu đi qua giá trị trung bình của dữ liệu Thật vậy, từ (3.11) ta có Yˉ=βˆ1−βˆ2Xˉ size 12{ { bar {Y}}= { hat {β}} rSub { size 8{1} } - { hat {β}} rSub { size 8{2} } { bar {X}}} {} Thu nhập X (XD) Hình 3.4. Đường hồi quy mẫu đi qua giá trị trung bình của dữ liệu Giá trị trung bình của ước lượng bằng giá trị trung bình của quan sát đối với biến phụ thuộc: EYˆ=Yˉ size 12{E left ( { hat {Y}} right )= { bar {Y}}} {}. Giá trị trung bình của phần dư bằng 0: Eei=0 size 12{E left (e rSub { size 8{i} } right )=0} {} Các phần dư ei và Yi không tương quan với nhau: Các phần dư ei và Xi không tương quan với nhau: Phân phối của βˆ1 size 12{ { hat {β}} rSub { size 8{1} } } {} và βˆ2 size 12{ { hat {β}} rSub { size 8{2} } } {} Có thể tính toán chứng minh các biểu thức này dựa vào các định nghĩa và định lý về kỳ vọng và phương sai. Tham khảoVũ Thiếu và đồng sự, Kinh tế lượng, PL chương 2, trang 61. Ước lượng βˆ1 size 12{ { hat {β}} rSub { size 8{1} } } {}βˆ2 size 12{ { hat {β}} rSub { size 8{2} } } {} Kỳ vọng Eβˆ1=β1 size 12{E left ( { hat {β}} rSub { size 8{1} } right )=β rSub { size 8{1} } } {}Eβˆ2=β2 size 12{E left ( { hat {β}} rSub { size 8{2} } right )=β rSub { size 8{2} } } {} Phương sai Sai số chuẩn Phân phối Hiệp phương sai của hai hệ số ước lượng Trong các biểu thức trên σ2=varεi size 12{σ rSup { size 8{2} } ="var" left (ε rSub { size 8{i} } right )} {} với giả định εi~N(0,σ2) size 12{ε rSub { size 8{i} } "~" N \( 0,σ rSup { size 8{2} } \) } {} |
