I. Khái niệm bất phương trình một ẩn Show 1. Bất phương trình một ẩn Bất phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến có dạng: $f\left( x \right) < g\left( x \right)\left( {f\left( x \right) \le g\left( x \right)} \right)$ (1) trong đó f(x) và g(x) là những biểu thức của x. Ta gọi f(x) và g(x) lần lượt là vế trái và vế phải của bất phương trình (1). Số thực ${x_0}$ sao cho $f\left( {{x_0}} \right) < g\left( {{x_0}} \right)\left( {f\left( {{x_0}} \right) \le g\left( {{x_0}} \right)} \right)$ là mệnh đề đúng được gọi là một nghiệm của phương trình (1). Giải phương trình là tìm tập nghiệm của nó, khi tập nghiệm rỗng thì ta nói bất phương trình vô nghiệm. 2. Điều kiện của một bất phương trình Tương tự đối với phương trình, ta gọi các điều kiện của ẩn số x để f(x) và g(x) có nghĩa là điều kiện xác định (hay gọi tắt là điều kiện) của bất phương trình (1). 3. Bất phương trình chứa tham số Trong một bất phương trình, ngoài các chữ đóng vai trò ẩn số còn có thể có các chữ khác được xem như những hằng số và được gọi là tham số. II. Hệ bất phương trình một ẩn Hệ bất phương trình ẩn x gồm một số bất phương trình ẩn x mà ta phải tìm các nghiệm chung của chúng. Mỗi giá trị của x đồng thời là nghiệm của tất cả các phương trình của hệ được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. Giải hệ phương trình là tìm tập nghiệm của nó. Để giải một hệ bất phương trình ta giải từng bất phương trình rồi lấy giao của các tập nghiệm. III. Một số phép biến đổi bất phương trình 1. Bất phương trình tương đương Hai bất phương trình (hệ bất phương trình) được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm. 2. Phép biến đổi tương đương Kí hiệu D là tập các số thực thỏa mãn điều kiện của bất phương trình P(x) < Q(x). 3. Cộng (trừ) $P\left( x \right) < Q\left( x \right) + f\left( x \right) \Leftrightarrow P\left( x \right) + f\left( x \right) < Q\left( x \right) + f\left( x \right)$ $P\left( x \right) < Q\left( x \right) + f\left( x \right) \Leftrightarrow P\left( x \right) - f\left( x \right) > Q\left( x \right)$ 4. Nhân (chia) $P\left( x \right) < Q\left( x \right) \Leftrightarrow P\left( x \right).f\left( x \right) < Q\left( x \right).f\left( x \right)$ nếu $f\left( x \right) > 0,\forall x$ $P\left( x \right) < Q\left( x \right) \Leftrightarrow P\left( x \right).f\left( x \right) > Q\left( x \right).f\left( x \right)$ nếu $f\left( x \right) < 0,\forall x$ 5. Bình phương $P\left( x \right) < Q\left( x \right) \Leftrightarrow {P^2}\left( x \right) < {Q^2}\left( x \right)$ nếu $P\left( x \right) \ge 0,Q\left( x \right) \ge 0,\forall x$ 6. Chú ý a) Khi biến đổi các biểu thức ở hai vế của một bất phương trình thì điều kiện của bất phương trình có thể bị thay đổi. Vì vậy, để tìm nghiệm của một bất phương trình ta phải tìm các giá trị của x thỏa mãn điều kiện của bất phương trình đó và là nghiệm của bất phương trình mới. b) Khi nhân (chia) hai vế của bất phương trình P(x) < Q(x) với biểu thức f(x) ta cần lưu ý đế điều kiện về dấu của f(x). Nếu f(x) nhận cả giá trị dương lẫn giá trị âm thì ta phải lần lượt xét từng trường hợp. Mỗi trường hợp dẫn đến một hệ bất phương trình. c) Khi giải phương trình P(x) < Q(x) mà phải bình phương hai vế thì ta lần lượt xét hai trường hợp: - P(x), Q(x) cùng có giá trị không âm, ta bình phương hai vế bất phương trình. - P(x), Q(x) cùng có giá trị âm ta viết $P\left( x \right) < Q\left( x \right) \Leftrightarrow - Q\left( x \right) < - P\left( x \right)$ rồi bình phương hai vế phương trình mới. Page 2 SureLRN
Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn là một trong những chuyên đề quan trọng nhất của chương trình toán đại lớp 10. Từ những kiến thức này, chúng ta có thể rút ra những kỹ năng cho bản thân. Để có thể dễ dàng mở rộng, rèn luyện ở các dạng toán khác sau này. Như các dạng toán về bất phương trình hai ẩn. Hãy cùng Itoan đi tìm hiểu và thực hành luyện tập nhé! Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩnLý thuyết về bất phương trình một ẩnKhái niệmBất phương trình có một ẩn x là một mệnh đề có dạng sau đây: f(x) < g(x) (f(x) ≤ g(x)) Hoặc ngược lại: g(x) > f(x) g(x) ≥ f(x) Trong đó, x là ẩn số f(x) và g(x) là các biểu thức có chứa biến x Nghiệm của bất phương trình là các số thực. Ở đây tạm gọi là x0 sao cho khi thay x0 vào bất phương trình thỏa mãn điều kiện: f(xo) < g(xo) hay f(xo) ≤ g(xo) Khi đề bài yêu cầu giải bất phương trình, các em cần tìm các tập nghiệm cho bất phương trình đó. Nếu không có nghiệm x0 nào thỏa mãn điều kiện của đề bài. Ta kết luận phương trình đó vô nghiệm. Điều kiện tồn tại cho bất phương trình một ẩnĐể tìm điều kiện của bất phương trình, ta tìm các điều kiện của x. Sao cho với mọi x nằm trong điều kiện, các biểu thức f(x) và g(x) có nghĩa. Bất phương trình có chứa tham sốTham số là một hằng số tồn tại trong một bất phương trình bên cạnh những thành phần khác. Như hệ số, ẩn số. ví dụ như với BPT sau đây: 2x + m > 0,2x – m Ở đây, m là tham số, 1 và 0,2 là hệ số và x là ẩn. Lý thuyết về hệ bất phương trình một ẩn – Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩnĐịnh nghĩaHệ bất phương trình x bao gồm một số bất phương trình ẩn x. Giải bất phương trình là quá trình đi tìm kiếm những nghiệm chung của các bất phương trình trong hệ đó. Một cặp nghiệm (x0, y0) chỉ có thể được coi là nghiệm của hệ phương trình. Khi và chỉ khi chúng đồng thời là nghiệm của cả hai phương trình của hệ. Một số phép biến đổi1. Bất phương trình tương đươngTa đã biết hai bất phương trình có cùng tập nghiệm (có thể rỗng) là hai bất phương trình tương đương và dùng kí hiệu “<=>” để chỉ sự tương đương của hai bất phương trình đó. Tương tự, khi hai hệ bất phương trình có cùng một tập nghiệm ta cũng nói chúng tương đương với nhau và dùng kí hiệu “<=>” để chỉ sự tương đương đó. 2. Phép biến đổi tương đươngĐể giải một bất phương trình (hệ bất phương trình) ta liên tiếp biến đổi nó thành những bất phương trình (hệ bất phương trình) tương đương cho đến khi được bất phương trình (hệ bất phương trình) đơn giản nhất mà ta có thể viết ngay tập nghiệm. Các phép biến đổi như vậy được gọi là các phép biến đổi tương đương. 3. Cộng (trừ)Cộng (trừ) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình ta được một bất phương trình tương đương. P(x) < Q(x) <=> P(x) – f(x) < Q(x) – f(x) 4. Nhân (chia)Nhân (chia) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức luôn nhận giá trị dương (mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình) ta được một bất phương trình tương đương. Nhân (chia) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức luôn nhận giá trị âm (mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình) và đổi chiều bất phương trình ta được một bất phương trình tương đương. P(x) < Q(x) <=> P(x).f(x) < Q(x).f(x), f(x) > 0, ∀x P(x) < Q(x) <=> P(x).f(x) > Q(x).f(x), f(x) < 0, ∀x 5. Bình phươngBình phương hai vế của một bất phương trình có hai vế không âm mà không làm thay đổi điều kiện của nó ta được một bất phương trình tương đương. P(x) < Q(x) <=> P2(x) < Q2(x), P(x) ≥ 0, Q(x) ≥ 0, ∀x Bài tập luyện tậpBài 1 (trang 87 SGK Đại Số 10): Tìm các giá trị x thỏa mãn điều kiện của mỗi bất phương trình sau: Lời giải Vậy tập giá trị của x thỏa mãn điều kiện xác định là D = R\{0; –1} BPT xác định khi Vậy tập giá trị của x thỏa mãn điều kiện xác định là D = R\{–2; 1; 2; 3}
Vậy tập giá trị của x thỏa mãn điều kiện xác định là D = R\{–1} Bài 2 (trang 88 SGK Đại Số 10): Chứng minh các bất phương trình sau vô nghiệm: Lời giải a) Điều kiện xác định x ≥ –8 Ta có: Do đó BPT b) Tập xác định: D = R. Do đó BPT c) Tập xác định D = R. Ta có: Lời kếtTrên đây là bài viết nội dung về chủ đề Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn. Hy vọng đây sẽ là những kiến thức bổ ích dành cho các bạn học sinh. Đặc biệt là quý phụ huynh có nhu cầu ôn tập và giảng dạy cho các em. Trong quá trình học tập và ôn luyện, nếu có nhu cầu tìm kiếm đơn vị học tập uy tín, chất lượng. Hoặc muốn được giải đáp về những kiến thức liên quan đến môn học, hãy liên hệ với Itoan để được giải đáp nhanh nhất có thể |
