Đã gửi 06-01-2017 - 17:47
KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HSG TỈNH LỚP 9 NĂM 2016-2017 THÀNH PHỐ VINH Câu 1: (4,5đ) a) Giải pt nghiệm nguyên: $2y^{2}x+x+y+1=x^{2}+2y^{2}+xy$ b) Cho a,b,c,d,e là 5 số tự nhiên thỏa mãn: $a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}+e^{4}=2009^{2008}$ Chứng minh tích abcde chia hết cho $10^{4}$ Câu 2: (4,5đ) a) Giải pt: $x^{2}-2x+7+\sqrt{x+3}=2\sqrt{1+8x}+\sqrt{1+\sqrt{1+8x}}$ b) Cho 2 đa thức P(x) và Q(x) thảo mãn P(x)=Q(x) + Q(1-x) với mọi số thực x. Biết rằng các hệ số của đa thức p(x) là các số tự nhiên và P(0)=0. Tính P(P(2017)) Câu 3: (4đ) Tìm min, max của: $P=\sqrt{2x+1}+\sqrt{3y+1}+\sqrt{4z+1}$ biết x,y,z là các số thực không âm và x+y+z=4 Câu 4: (6đ) Cho tam giác ABC cân có $\measuredangle ABC=120$ nội tiếp (O). Tiếp tuyến qua A của (O) cắt đường thẳng BC tại D. Đường thẳng DO lần lượt cắt AB,AC tại E,F. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và AC. H là giao điểm của đường thẳng AO và (O). CMR: a) EA=2EB và E,H,N thẳng hàng b) AO, MF, NE đồng quy Câu 5: (1đ) Cho AB cố định. C là 1 điểm chuyển động trên nửa đ.tròn đường kính AB. Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AB, AC tại M,N. Tìm vị trị của C để MN đạt giá trị lớn nhất
Đã gửi 07-01-2017 - 11:30
$2y^{2}x+x+y+1=x^{2}+2y^{2}+xy$ $\Leftrightarrow \left ( x^{2}-1 \right )-(2y^{2}x-2y^{2})+(xy-y)=x$ $\Leftrightarrow (x-1)(x+1-2y^{2}+y)=x$ Nếu x-1=0 => y=1 Nếu $x-1\neq 0$ $\Leftrightarrow x+1-2y^{2}+y=\frac{x}{x-1}=1+\frac{1}{x-1}$ => x-1 là ước của 1 Từ đó tìm ra nghiệm của phương trình
Every thing will be alright
Đã gửi 07-01-2017 - 14:40
Có cách tách khác nhé  1a) $2y^{2}x-2y^{2}-x^{2}+x-xy+y=-1$ $2y^2(x-1)-x(x-1)-y(x-1)=-1$ $(x-1)(2y^2-x-y)=-1$
Đã gửi 07-01-2017 - 15:09
1b gọi r là số dư khi chia abcde cho $10^{4}$ ta có $2009^{2}\equiv 1(mod 5)\Rightarrow 2009^{2008}\equiv 1(mod 5)$ Từ đây ta nhận xét rằng a=b=c=d=e thì nó không phải là nghiêm của $a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}+e^{4}=2009^{2008}$ Áp dụng BĐt AM-GM ta có $a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}+e^{4}\geq 5a^{4}b^{4}c^{4}d^{4}e^{4}> 5abcde$( vì dấu bằng không xảy ra) Suy ra $10^{4}\leq abcd< \frac{2009^{2008}}{5}\Rightarrow 0\leq r< 1(mod 10^{4})$ mà r phải là một số tự nhiên vì a,b,c,d,e là các số tự nhiên nên r=o đồng nghĩa là abcde $\vdots$ 10$10^{4}$(DPCM)
Đã gửi 07-01-2017 - 15:46
Bài 2 $x^{2}-2x+7+\sqrt{x+3}=2\sqrt{1+8x}+\sqrt{1+\sqrt{1+8x}}\Leftrightarrow (x+3)^{2}+\sqrt{x+3}= (1+\sqrt{1+8x})^{2}+\sqrt{1+\sqrt{1+8x}}$ Đặt a=$\sqrt{x+3},b= \sqrt{1+\sqrt{1+8x}}$,a,b$\geq 0$ phương trình tương đương $a^{4}+a=b^{4}+b\Leftrightarrow (a-b)\left [ (a+b)(a^{2}+b^{2})+1 \right ]= 0$ vì $(a+b)(a^{2}+b^{2}+1)>0$ nên chỉ có trường hợp là a=b suy ra $\sqrt{x+3}= \sqrt{1+\sqrt{1+8x}}$$\Leftrightarrow x+2= \sqrt{1+8x}\Rightarrow x^{2}-4x+3= 0\Leftrightarrow x= 1 hoặc x=3 Vậy $S= \left \{ 1,3 \right \}$
Đã gửi 08-01-2017 - 03:59
Đọc qua chỉ biết làm câu này: Dễ chứng minh được:
Do đó: $\frac{EB}{EA}=\frac{DB}{AO}=\frac{DB}{AB}=\frac{1}{2}\Rightarrow EA=2EB$ Hình gửi kèmBài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cuongpa: 08-01-2017 - 04:01
Success doesn't come to you. You come to it.
Đã gửi 08-01-2017 - 07:39
Mượn tạm cái nình của anh Cuongpa Từ phần $(a)$ dễ dàng suy ra được: $\frac{ME}{MA}=\frac{1}{3}$ Mặt khác, $\frac{HA}{HO}=2,$ và $\frac{FO}{FE}=\frac{AO}{AE}=\frac{AB}{AE}=\frac{3}{2}$ Do đó: $\frac{ME}{MA}.\frac{HA}{HO}.\frac{FO}{FE}=1.$ Áp dụng định lí $Menelaus$ cho $\Delta AEO$ ta được $M,F,H$ thẳng hàng. Suy ra đpcm.
$\color{red}{\mathrm{\text{How I wish I could recollect, of circle roud}}}$ $\color{red}{\mathrm{\text{The exact relation Archimede unwound ! }}}$
Đã gửi 08-01-2017 - 08:52
Câu 4: a) Cách khác Dễ dàng chứng minh được ABD là tam giác vuông Mà $\measuredangle DBA=60$ => $\frac{BD}{AB}=\frac{1}{2}$ Mặt khác: AB=AO(ABO là tam giác đều) => $\frac{BD}{AO}=\frac{1}{2}$ => $\frac{EB}{EA}=\frac{BD}{AO}=\frac{1}{2}$ (vì BD//AO)
Đã gửi 08-01-2017 - 08:54 Câu max, min Tìm min áp dụng bđt căn(1+x)+căn(1+y) >=1+căn(1+x+y) dấu = xảy ra khi x.y>=0 Min bằng 5 khi x=4 và y=z=0
Đã gửi 08-01-2017 - 08:58
Nhầm một chút bđt luôn đúng với xy>=0 dấu bằng xảy ra khi xy=0
Đã gửi 08-01-2017 - 09:09
Câu 3: Max $P=\frac{1}{\sqrt{6}}\sqrt{12x+6}+\frac{1}{2}\sqrt{12y+4}+\frac{1}{\sqrt{3}}\sqrt{12z+3}$ Áp dụng BĐT Bu-nhi-a ta có: $P^{2} \leq (\frac{1}{6}+\frac{1}{4}+\frac{1}{3})(12x+6+12y+4+12z+3)$ = $ \frac{3}{4} 61 = \frac{183}{4}$ => $P \leq \frac{\sqrt{183}}{2}$ Dấu ''=''... <=> tính hơi lâu Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi datdo: 08-01-2017 - 09:10
Đã gửi 08-01-2017 - 09:34
nốt ý 2 phần a bài hình có : HA/HO . NO/NB . BE/EA = 2.1.1/2 = 1 => E ,N , H thẳng hàng ( định lí Menelaus đảo )
Đã gửi 08-01-2017 - 10:15
Câu 4: 4a) Chứng minh E,N,H thẳng hàng (cách khác): Ta có: ONH=180-NOH-AHE=180-120-AHE=60-AHE(1) BNE=180-EBN-BEN=180-60-BEN=120-BEN=120-(180-AEN)=120-[180-(180-EAN-AHE)]=120-[180-(180-60-AHE)]=60-AHE(2) Từ (1) và (2) => ONH=BNE => E,N,H thẳng hàng
Đã gửi 08-01-2017 - 12:23
Hình như còn mỗi bài cuối nên mình chém nốt Không biết làm như này có đúng không Dễ thấy CMIN là hình vuông $MN=\sqrt{2}.CM=\frac{\sqrt{2}}{2}.\left (CA+CB-AB \right )\leq \frac{\sqrt{2}}{2}\left ( \sqrt{2(CA^2+CB^2)}-2R \right )=\frac{\sqrt{2}}{2}(\sqrt{2.4R^2}-2R)=(2-\sqrt{2})R$ Vậy $MNmax=(2-\sqrt{2})R$ khi C là điểm chính giữa cung Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Subtract Zero: 08-01-2017 - 12:24
Tôi không lười biếng, tôi đơn giản chỉ: "Tiết kiệm năng lượng" ---Oreki Houtarou---
Đã gửi 08-01-2017 - 18:57
câu2b) Cho 2 đa thức P(x) và Q(x) thảo mãn P(x)=Q(x) + Q(1-x) với mọi số thực x. Biết rằng các hệ số của đa thức p(x) là các số tự nhiên và P(0)=0. Tính P(P(2017)) Từ gt suy ra P(x)=P(1-x) và P(1)=P(0)=0 suy ra tổng các hệ số bằng 0 mà các hệ số là số tự nhiên suy ra P(x)=0 với mọi x P(P(2017))=P(0)=0 |
