Dạng tổng quát của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn là gì? Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn? Cần nắm được kiến thức gì về hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn, hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, hệ phương trình bậc 2 hai ẩn? Lý thuyết, phương pháp, cách giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn như nào? Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế? Cần lưu ý gì trong cách giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn bằng định thức?… Đây là những vấn đề được rất nhiều các em học sinh quan tâm. Trong nội dung bài viết dưới đây, hãy cùng DINHNGHIA.VN đi tìm câu trả lời nhé!

Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn là gì?

Định nghĩa hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng : \(\left\{\begin{matrix} ax+by=c\\ a’x+b’y=c’ \end{matrix}\right.\)

Trong đó, \(a,b,c,a’,b’,c’ \in \mathbb{R}\)

Minh họa tập nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn:

Gọi (d): ax + by = c; (d’): a’x + b’y = c’. Khi đó ta có

• \((d)\parallel (d’)\) thì hệ vô nghiệm
• \((d)\times (d’)\) thì hệ có nghiệm duy nhất
• \((d)\equiv (d’)\) thì hệ có vô số nghiệm

Hệ phương trình tương đương là gì? Hai hệ phương trình tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm.

Phương pháp giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

• Bước 1 : chọn một phương trình biểu diễn nghiệm đơn giản nhất.
• Bước 2 : thế vào phương trình còn lại.

Giải hệ phương trình bằng phương pháp đại số

• Bước 1 : cộng hay trừ từng vế hai phương trình của hệ phương trình cho ra phương trình mới.
• Bước 2 : dùng phương trình mới ấy thay thế cho một trong hai phương trình của hệ (và giữ nguyên phương trình kia).

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

• Ví dụ về bất phương trình bậc nhất hai ẩn: \(\left\{\begin{matrix} 8x + 2y > 9\\ 3x – 7y < 22 \end{matrix}\right.\)
• Trong mặt phẳng tọa độ, ta gọi tập hợp các điểm có tọa độ thỏa mãn mọi bất phương trình trong hệ là miền nghiệm của hệ. Vậy miền nghiệm của hệ là giao các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ
• Để xác định miền nghiệm của hệ, ta dùng phương pháp biểu diễn hình học như sau:
• Với mỗi bất phương trình trong hệ, ta xác định miền nghiệm của nó và gạch bỏ miền còn lại.
• Sau khi làm như trên lần lượt đối với tất cả các bất phương trình trong hệ trên cùng một mặt phẳng tọa độ, miền còn lại không bị gạch chính là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Một số dạng hệ phương trình bậc 2 hai ẩn

Dạng 1: Hệ phương trình gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai

Phương pháp áp dụng

Để giải hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} Ax + By +C = 0\, (1)\\ ax^{2} + bxy + cy^{2} + dx + ey + f = 0 \, (2) \end{matrix}\right.\)

Chúng ta có thể lựa chọn một trong ba cách sau:

Cách 1: Phương pháp thế

Ta thực hiện theo các bước sau:

• Bước 1: Từ phương trình (1) rút x hoặc y rồi thế vào phương trình (2). Khi đó, ta được phương trình bậc hai theo x hoặc y, giả sử: f(x, m) = 0. (3)
• Bước 2: Thực hiện giải (3) theo yêu cầu của đầu bài.

Cách 2: Phương pháp đồ thị

Ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Ta có:

• Tập hợp các điểm thoả mãn (1) thuộc đường thẳng (d): Ax + By + C = 0
• Tập hợp các điểm thoả mãn (2) với b = 0 thuộc đường cong \((S) = ax^{2} + cy^{2} +D_{x} +ey +f =0\)

Bước 2: Khi đó số nghiệm của hệ là số giao điểm của đường thẳng (d) với đường (S).

Chú ý: Khi sử dụng phương pháp này các em học sinh cần nhớ lại điều kiện tiếp xúc của đường thẳng (d) với đường tròn, Elíp, Hypebol, Parabol.

Ví dụ 1: Cho hệ phương trình:

\(\left\{\begin{matrix} x – y +1 = 0\\ 2mx^{2} -my^{2} +4x +2m -3 =0 \end{matrix}\right.\). Giải hệ phương trình với m = 3

Cách giải

Biến đổi hệ phương trình về dạng: \(\left\{\begin{matrix} y = x+1\\ 2mx^{2} – m(x+1)^{2} + 4x +2m – 3=0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y = x+1\\ mx^{2} – 2(m-2)x +m -3 =0 \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y = x+1\\ 6x^{2} – 3(x+1)^{2} + 4x + 3=0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y= x+1\\ \left[\begin{array}{l} x=0 \\ x=\frac{2}{3} \end{array}\right. \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \left\{\begin{matrix} x = 0\\ y = 1 \end{matrix}\right.\\ \left\{\begin{matrix} x = \frac{2}{3}\\ y = \frac{5}{3} \end{matrix}\right. \end{array}\right.\)

Vậy với m = 3, phương trình có 2 cặp nghiệm là \((0;1), (\frac{2}{3};\frac{5}{3})\)

Dạng 2: Hệ phương trình quy về hệ phương trình bậc hai hai ẩn

Phương pháp giải cụ thể như sau:

Đưa về phương trình tích

Việc phân tích thành tích có thể có ngay từ một phương trình trong hệ hoặc qua phép biến đổi đại số(phép thế, cộng đại số) ta thu về được phương trình tích.

Đặt ẩn phụ

Điều quan trọng là ta cần phát hiện ra ẩn phụ. Thường chúng ta cần biến đổi đại số(cộng trừ nhân, chia với mộ số, biểu thức) thì mới xuất hiện ẩn phụ.

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau:

\(\left\{\begin{matrix} x^{2} + y^{2} + 6xy – \frac{1}{(x-y)^{2} + \frac{9}{8} = 0}\\ 2y – \frac{1}{x – y} + \frac{5}{4} = 0 \end{matrix}\right.\)

Cách giải:

Điều kiện: \(x \neq y\)

Hệ đã cho tương đương:

\(\left\{\begin{matrix} 2(x+y)^{2} – (y-x)^{2} – \frac{1}{(y-x)^{2}} + \frac{9}{8} = 0\\ (y-x+\frac{1}{y-x} + (x+y)+\frac{5}{4} = 0) \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2(x+y)^{2} – (y-x+\frac{1}{y-x})^{2}+\frac{25}{8} = 0\\ (y-x+\frac{1}{y-x})+ (x+y)+\frac{5}{4} = 0 \end{matrix}\right.\)

Đặt \(\left\{\begin{matrix} x+y = a\\ y-x +\frac{1}{y-x} = b \end{matrix}\right.\)

\(\left | b \right |\geq 2\)

\(\left | b \right |\geq 2\)

Hệ trở thành:

\(\left\{\begin{matrix} a+b = \frac{5}{4}\\ 2a^{2} – b^{2} = -\frac{25}{8} \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a = \frac{5}{4}\\ b = -\frac{5}{2} \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \left\{\begin{matrix} y + x = \frac{5}{4}\\ y – x = -2 \end{matrix}\right.\\ \left\{\begin{matrix} y + x = \frac{5}{4}\\ y – x = -\frac{1}{2} \end{matrix}\right. \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \left\{\begin{matrix} x = \frac{13}{8}\\ y = -\frac{3}{8} \end{matrix}\right.\\ \left\{\begin{matrix} x = \frac{7}{8}\\ y = \frac{3}{8} \end{matrix}\right. \end{array}\right.\)

=> Vậy hệ có nghiệm \((x;y) = (\frac{7}{8};\frac{3}{8}),\, (\frac{13}{8}; -\frac{3}{8})\)

Bài viết trên đây đã cung cấp cho các bạn những kiến thức về hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn, hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Bên cạnh đó, những thông tin trong bài viết đã giúp bạn nắm được về lý thuyết, phương pháp, cách giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn. Chúc bạn luôn học tốt!

Please follow and like us:

1. Các kiến thức cần nhớ

Khái niệm phương trình bậc nhất hai ẩn

+) Phương trình bậc nhất hai ẩn là phương trình có dạng $ax + by = c$

Trong đó $a,b,c$  là những số cho trước $a \ne $$0$  hoặc $b \ne 0$ .

- Nếu các số thực ${x_0},\,{y_0}$ thỏa mãn $ax + by = c$ thì cặp số $({x_0},\,{y_0})$ được gọi là nghiệm của phương trình $ax + by = c$.

- Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , mỗi nghiệm $({x_0},\,{y_0})$ của phương trình $ax + by = c$ được biểu diễn bới điểm có tọa độ $({x_0},\,{y_0})$.

Tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương trình bậc nhất hai ẩn $ax + by = c$ luôn có vô số nghiệm.

Tập nghiệm của phương trình được biểu diễn bởi đường thẳng $d:ax + by = c.$

+) Nếu $a \ne 0$ và $b = 0$ thì phương trình có nghiệm  $\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{c}{a}\\y \in R\end{array} \right.$

và đường thẳng $d$  song song hoặc trùng với trục tung.

+) Nếu $a = 0$ và $b \ne 0$ thì phương trình có nghiệm  $\left\{ \begin{array}{l}x \in R\\y = \dfrac{c}{b}\end{array} \right.$

và đường thẳng $d$  song song hoặc trùng với trục hoành.

+) Nếu $a \ne 0$ và $b \ne 0$ thì phương trình có nghiệm  $\left\{ \begin{array}{l}x \in R\\y =  - \dfrac{a}{b}x + \dfrac{c}{b}\end{array} \right.$

và đường thẳng $d$  là đồ thị hàm số $y =  - \dfrac{a}{b}x + \dfrac{c}{b}$

2. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tìm điều kiện của tham số để một cặp số cho trước là nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn.

Phương pháp:

Nếu cặp số thực $({x_0},\,{y_0})$thỏa mãn $ax + by = c$ thì nó được gọi là nghiệm của phương trình $ax + by = c$.

Dạng 2: Viết công thức nghiệm tổng quát của phương trình bậc nhất hai ẩn. Biểu diễn tập nghiệm trên hệ trục tọa độ.

Phương pháp:

Xét phương trình bậc nhất hai ẩn $ax + by = c$.

1. Để viết công thức nghiệm tổng quát của phương trình, trước tiên ta biểu diễn $x$ theo $y$ ( hoặc $y$ theo $x$) rồi đưa ra công thức nghiệm tổng quát.

2. Để biểu diễn tập nghiệm của phương trình trên mặt phẳng tọa độ, ta vẽ đường thẳng d có phương trình $ax + by = c$.

Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để đường thẳng $ax + by = c$ thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp:

Ta có thể sử dụng một số lưu ý sau đây khi giải dạng toán này:

1. Nếu \(a \ne 0\) và \(b = 0\) thì phương trình đường thẳng $d: ax + by = c$ có dạng $d:x = \dfrac{c}{a}$.  Khi đó $d$ song song hoặc trùng với $Oy$ .

2. Nếu \(a = 0\) và \(b \ne 0\) thì phương trình đường thẳng $d: ax + by = c$ có dạng $d:y = \dfrac{c}{b}$.  Khi đó $d$ song song hoặc trùng với $Ox$ .

3. Đường thẳng $d:ax + by = c$ đi qua điểm $M({x_0},\,{y_0})$ khi và chỉ khi $a{x_0} + b{y_0} = c$.

Dạng 4: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương pháp:

Để tìm các nghiệm nguyên của phương trình bậc nhất hai ẩn $ax + by = c$, ta làm như sau:

Cách 1:

Bước 1: Rút gọn phương trình, chú ý đến tính chia hết của các ẩnBước 2:  Biểu thị ẩn mà hệ số của nó có giá trị tuyệt đối nhỏ (chẳng hạn $x$ ) theo ẩn kia.Bước 3:  Tách riêng giá trị nguyên ở biểu thức của $x$ Bước 4:  Đặt điều kiện để phân bố trong biểu thức của $x$ bằng một số nguyên \(t\), ta được một phương trình bậc nhất hai ẩn $y$ và \(t\)

-  Cứ tiếp tục như trên cho đến khi các ần đều được biểu thị dưới dạng một đa thức với các hệ số nguyên.

Cách 2:

Bước 1. Tìm một nghiệm nguyên $({x_0},\,{y_0})$ của phương trình.

Bước 2. Đưa phương trình về dạng $a(x - {x_0}) + b(y - {y_0}) = 0$ từ đó dễ dàng tìm được các nghiệm nguyên của phương trình đã cho.